等比数列的前n项和#

1、等比数列的前 n 项和 （ 第一课时） 一 教材分析。（1）教材的地位与作用： 等比数列的前 n 项和选自普通高中课程标准数学教科书数学（5）,是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际 应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分 类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。（2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等 比数列”内容的延续、 不仅加深对函数思想的理解， 也为以后学数列的求和， 数学归纳法 等做好铺垫 。二学情分析。（1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概

2、念，等差数列的通项公式和求和公式 与方法，等比数列的概念与通项公式。（2）教学对象： 高二理科班的学生， 学习兴趣比较浓 ,表现欲较强 , 逻辑思维能力也初步 形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力， 但由于年龄的原因， 思维尽管活跃、 敏捷， 却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。（3）从学生的认知角度来看： 学生很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差 数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q二1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

3、三教学目标。根据教学大纲的要求、 本节教材的特点和本班学生的认知规律， 本节课的教学目标确 定为：（ 1）知识技能目标理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、 公式的特 点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。（2）过程与方法目标通过对公式推导方法的探索与发现， 向学生渗透特殊到 一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维 能力和逆向思维的能力（3）情感，态度与价值观培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获 得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的 简洁美。四重点 , 难点分析。教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。

4、教学难点：公式的推导方法及公式应用中 q与1的关系。五教法与学法分析 .培养学生学会学习、 学会探究是全面发展学生能力的重要前提， 是高中新课程改革的 主要任务。 如何培养学生学会学习、 学会探究呢？建构主义认为： “知识不是被动吸收的， 而是由认知主体主动建构的。 ”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传 授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导 和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心， 视学生为认知的主体， 教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。 因此，本节课采用了 启发式和探究式相结合的教学方法，

5、让老师的主导性和学生的主体性有机结合， 使学生能 够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法， 比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。 一句话： 还课堂以生命力，还学生以活力。六课堂设计（一）创设情境，提出问题。 （时间设定： 3 分钟）利用投影展示 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大 为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格 放 1 粒小麦，第二格放 2粒，第三格放 4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，

6、国王大吃一惊。为什么呢?设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性.故事内容紧扣本节课的主题与重点提出问题1:同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？ 引导学生写出麦粒总数1 2 22 23川263（二）师生互动，探究问题5分钟提出问题2: 1+ 2 + 22 +23 +263究竟等于多少呢？有学生会说：用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。）提出问题3:同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？（学生会发现，后一项都是 前一项的2倍）提出问题4:如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两 边同以2,得到另一式：利用投影展示

7、HI 2642 222324.母 1 2 22 23 I" 263.（1）2S64比较（1） （2 ）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（1）、（ 2）两式有许多相 同的项）提出问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。（学生会发现：S64 2 64 1这五个问题的设计意图：层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种 方法的神奇这时，老师向同学们介绍错位相减法，并提出问题6:同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什么（1）式两边要同乘以2呢？这个问题的设计意图：让学生对错位相减

8、法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公 式的推导做好铺垫提出问题7:设等比数列an的首项为a1,公比为q,求它的前项和Sn即Sn ai a2 a| a°学生开展合作学习，讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学板书在黑板上。设计意图：从特殊到一般，从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验(四) 分析比较，开拓思维。时间设定：5分钟如项和种方法:将不同的的方法进等比析评价。根据公生的为识状况它的能有错位相减法1：Sna1n 2n 1aq aq错位相减法提出公比qqSnnaiq(1 q)S等比数列Sn a1J a1q2a1qn

9、 2 a1qnna1a1qan,公比为q，它的前n项和a2 a3 Ii12a3a n 1ananqa n 1 a nqSn(1 q)Sn a1 a“q等比数列an,公比为q，它的前n项和Sn a1 a2 a32a1 a1q a1qSnan 1 ann 2agagn 1ayn 2、aq )a1 q (Snn 1、ag)(1q)Sn a1nag等比数列J an,公比为q,它的前q aia2a34 1 ana2aea3a?qa4a3qanan 1qa2a3anq(a1a2a3ai q(ai aiq累加法4 / 7word.Snaiq( Snn 3n项和an 1 )(1 q)Sn aian)anq可能

10、也有同学会想到由等比定理得S a1 a2a3Ml11an丨 a1a2an 1a2a31ana1 a2 |an 1即 Sn a1qSnan(1 q)Sn%anqqqanIII【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美】（五）.归纳提炼，构建新知。时间设定：3分钟提出问题8：由（1- q）sn = ai - aiqn得Sn = ai一-对不对？这里的q能不能等于1?等比数列中的公比i-q能不能为1？ q 1时是什么数列？此时Sn ？【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，增强思维的严谨性】提出问题9：等比数列的前n项和公式怎样？4(1 qn)1学生归纳出S

11、n1 q ，qSnn aq 1a1anq一,qqna1，q 1【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解】 （六）层层深入，掌握新知。时间设定：15分钟基础练习1已知an是等比数列，公比为q21(1) 若a!=-,q= 3,则Q33(2) .则a!2,q1则Sn练习2判断是非1 (1 2n)1 ( 2).1 2 22 23川2n1 (1 2n).1-2+4-8+16-+ -2238 a(1 a ).a川a【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量.进行正反两方面的“短、浅、快” 练习.通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征.】例1已知数列an是等比数列，完成下表题号a1

12、qnanSn(1)1/21/28(2)272/38(3)-2-96-63【设计意图：渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力.掌握 公式中”知三求二”的题型】练习3:求等比数列拥魯希，前8项和；变式1、等比数列1,1,1,前多少项的和是63 ；2 4 8 1664变式2、等比数列1,1,1,昙，求第5项到第10项的和；2 4 8 16变式3、等比数列a,a2,a3,an,|求前2n项中所有偶数项的和。（先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生 中的闪光点，给予热情表扬。）【设计意图：变式训练，深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模

13、式识别能力， 渗透转化思想】.练习4有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求， 这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资为20元， 以后每个月的工资是上月工资的 2倍，此时，老板不假思索就选择了第二种方案， 于是他 们之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析一下，老板的选择是否正确？【设计意图：让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学.】（七）总结归纳，加深理解。时间设定：2分钟（1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？（2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？【设计意图：形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼， 优化学生的认知结构】（八）课后作业，巩固提高。时间设定：1分钟必做：（1） P66练习1研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论”选做：求和：1 2 2 22 3 23 4 24 | n 2n【设计意图：为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题”；“选做题”又为学有余力者留有自由发展的空间，布置了 “探究题”以利于学生开展研究性学习，拓展学生的视野】七、教学反思：本节课立足课本，着力挖掘，设计合理