2020-2021深圳市高三数学上期末试卷(及答案)

1、2020-2021深圳市高三数学上期末试卷(及答案)一、选择题1.已知点Ma,b与点N 0, 1在直线3x 4y 5 0的两侧，给出以下结论: 33 4b 50;当a 0时，a b有最小值，无最大值；a2 b2 1;当a 0且a 1时,的取值范围是正确的个数是(A. 1B. 2C.D. 42.若函数y=f(x)满足：集合 A= f(n)| n C N*中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f(x)是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是 y=2x+1; y=log2x； y = 2x+1;y= sin ( x )44A.B. 2C.D. 43.ABC的内角A,B, C的对边

2、分别为A.ABC的面积为(2 2.3)B. 3C.4.若直线ax by 10 a 0,b把圆16分成面积相等的两部分,12 .一一则的取小值为2a bA.10B.C. 5D.5.设x, y满足约束条件3xy的最小值是A.B.6.在 ABC中,4c分别是角A,C.D.2c,11a V6，ABC的面积为(A,后B. 3152内的动点，点A 1,41 ,O为坐标原点，设y7.已知点P x,y是平面区域xxuuu uuuOP OAR的最小值为M ,若MJ2恒成立，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.8.设x,A.109.A.y 7, 0,y满足约束条件 x3xB. 8在 ABC中，若tanAB.3

3、y3，c3 .3410.在等差数列an中，若a10a9正整数n的最大值是（A.15B.16已知a,bR ,且aA.1,4B.2,12.变量x, y满足条件A.3-22、填空题13.设 x>0, y>0,14.在等差数列 anB. -.5x+ 2y=4,则在遗漏掉一项的情况下，求得余下r15.已知向量ar1,x ,bx,y16.在等差数列an中,2,17.在数列an中,'Nnbn的前n项和Sn为1, 0,则 z 2x5 0,C.BC1,C.且它的前C.y的最大值为（D. 2则ABC的面积$是（）,38D.4n项和Sn有最大值，则使 Sn 0成立的17D.145,则a b的取值

4、范围是（）C. (2,4)D.(4,)，则（x 2）2 y2的最小值为（C. 5D.(x 4)( y 2),-1的最小值为xy3,公差d 2,若某学生对其中连续 10项进行求和,9项的和为185,则此连续10项的和为2 ,其中x 0,若r , ra与b共线，则y的最小值为 xa3a510,则 a7N* ，又 bn1,则数列anan 118 .设无穷等比数列 an的公比为q，若ai a3 a4a5，则q .i 一19 .已知Sn是数列an的前n项和，Sn 2 2an 1 ,若a2 ,则S5 .2S420 .已知等比数列 an的公比为2,前n项和为Sn,则一二.a2三、解答题21 .某厂家拟在20

5、20年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产k量)m万件与年促销费用x万兀，满足m 3 - (k为常数)，如果不搞促销活动，x 1则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2020年该产品的利润 y (万元)表示为年促销费用 X (万元)的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22 .在 ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且2csinB 3atanA.

6、22(1)求b 2c的值; a(2)若a 2,求 ABC面积的最大值.23. ZXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(73sin B cosC) (c b) cos A .(1)求 A;(2)若b J3,点D在BC边上，CD 2, ADC ,求AABC的面积.324.在4ABC 中, 3cos( B C) 1角A、B、C的对边分别为a6cos BcosC , 1 1)求 cosAb、c,已知(2)若a 3, ABC的面积为2J2，求b> c25.已知数列 an2的首项a1-,an 132an;,nan 11,2,3,.(1)证明：数列1一 1是等比数列;an(2)数列-

7、an的前n项和Sn.26.已知等差数列an的前n项和为Sn，且2a2a420,S32a18.(1)求数列 an的通项公式；(2)当n为何值时，数列 an的前n项和最大？【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除、选择题1. B解析：B【解析】【分析】【详解】点M(a,b)与点N(0,-1)在直线3x-4 y+5=0的两侧， y /个如心-5二03a 4b 5 3 0 4 50,即 3a 4b 5 0,故错误;5一 ， 当a 0时,a b , a+b即无最小值，也无最大值，故错误;4设原点到直线3x-4 y+5=0的距离为d,则d1，则 a2b2>1,故正确;,-,b 1 一 一当a 0且aw

8、l时，表布点a 1M(a,b)与P(1,-1)连线的斜率.,5 一，当 a 0,b=5时，b 19，又直线3x-4 y+5=0的斜率为4b 1故U的取值范围为a 1正确命题的个数是 2个.故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意 z前面的系数为负时，截距越大，z值越小；分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离2. C解析：C【解析】y=2x+1, nCN*,是等差源函数；因为10g21, log22, log24构成等差数

9、列，所以 y=log2x是等差源函数；y=2x+1不是等差源函数，因为若是，则2(2P+1)=(2m+1)+(2n+1),则2p+ 1=2m+2n,所以2P+=n=2mn+1,左边是偶数，右边是奇数，故y=2x+1不是等差源函数；y=sin x 是周期函数，显然是等差源函数.44答案：C.3. B解析：B【解析】T7试题分析：根据正弦定理，一一二,解得E =一笈,并且sin 5 sin C125in 上无 = 匚 + " ,所以 S 二be sin /= J5 +11241考点：1.正弦定理；2.面积公式.4. B解析：B【解析】【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标

10、代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值.【详解】圆的圆心为4, 1 ,由于直线将圆平分，故直线过圆心，即 4ab 1 0,即，的 1212, b8a,八 b 8a4ab 1 ,故4ab4 42j 8,当且仅2ab 2ab2ab2a b、“ b 8a1 . 1当 ，即a -,b 时，取得最小值为 8.故选B.2ab82【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆222的标傕万程是 x a y b r ,圆心是 a, b ,所以本题的圆心是4

11、, 1 ,而不是4,15. C解析：C【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.由z 3x y可彳y y 3x z .平移直线y3x z,结合图形可得，当直线y 3x z经过可行域内的点 A时，直线在y轴上的截距最小，此时 z也取得最小值.32 332 ,故点A的坐标为（3,-）.32 22一 .3. 3一 ， zmin 3 （ -） 二3 .选 C.226. D解析：D【解析】【分析】三角形的面积公式为S ABC1.-bcsinA ,故需要求出边 b与c,由余弦te理可以解得 b与c. 2222解：在 ABC 中，cosA b一c将b 2c, a .、.6代入上式得2bc224c c

12、4c2解得：c由 cosA8 得 sInA J1所以，S1 . abc -bcsinA2158故选D.【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是111 一一（底 局），一是一 bcsinA.借助一（底222高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1 . bcsinA时，需要求出三角形两边 2及其夹角的正弦值.7. C解析：C【解析】试题分析：直线xm y 4恒过定点（0,4）,当y0时，约束条件x的可行域如图，则直线对应4uuu uuuOP OAR的最小值为0,满足m J20时,uuuOPuuuOAyxuuuOB ,2 ;m1y与y轴重合，平面区域x为图中y轴右侧的阴影区域，则R的最

13、小值为M 0 ,满足0时，由约束条件表示的可行域如图，点 P与点B重合时,.y联立xm(y4)解得B(m m4m、F)'uuuOPuuuOAR的最小值为I uuu L 所以OB V24mm 1C.1 一",所以5综上所述，实数 m的取值范围是考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出的最值，试题有一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数 的难度，属于难题.8. B解析：B【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直

14、线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最 优解的坐标，代入目标函数即可求解.【详解】x 3y由图象可知，当直线过点 A时，直线在y轴上截距最小，z有最大值2 5-2 8. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题9. A解析：A由正弦定理求出C,【详解】A是三角形内角,tan A1.一， sin A 3,10,10由正弦定理sin Asin C2- rr 5b 2abcosC ,即一a sin Csin A1 b2b2. 3b0, b2,3 3(b2一S ABC1,八一 absin C 21 sin150.10102bcos15013 3 31 sin150

15、.10b2 1 V3b,【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系.解三角形 中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式.要有统筹安 排，不致于凌乱.10. C解析：C【解析】 【分析】由题意可得a90 , a。 0 ,且a9 a10 0 ,由等差数列的性质和求和公式可得结论.【详解】等差数列an的前n项和有最大值,.等差数列an为递减数列,又一a9一 a90,ai00,a9a10又S1818ai80，S1717 a1 a1717a9 0,0成立的正整数n的最大值是17,- Sn故选C.【点睛】 本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求

16、和公式，属中档题.11. A解析：A【解析】分析:a,b1ab,可得T ab111b - -5,可得a b1ab化简整理即可得出.详解:a,b1 ab,可得ab5,可得1abb 1 -4- a b2化为 a b 5ab 40,解得1 a b 4,则a b的取值范围是 1,4 .故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12. C解析：C【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值 5,选C.、填空题13. 9【解析】【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x+ 2y=4即当且仅当等号成立

17、故原式故填 9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查 等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析：9【解析】【分析】将分式展开，利用基本不等式求解即可【详解】(x 4)(y 2) xy 8 2x 4y xy 16 d 161- 1 xyxyxyxy又x+2y=4 2必亍,即xy 2 ,当且仅当x 2,y 1等号成立，故原式 9故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件14. 200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列解析：200【解析】*.试题分析：等差数列an中的连续10项为ax,ax+1,

18、ax 2, ,ax 9,(x N )，遗漏的项为*ax+n,n N 且 19,则(ax ax 9) 102化简得44 9xax43(ax ax 18) 10 (ax 2n)= 9(3 + 2x-2)-2m + 90 =1S5 2n 52,所以 x 5, as11,则连续10项的和为(11 11+18) 10=200 .2考点：等差数列.15. 【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】二.其中且与共线.的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线即.当且仅当即时取等号解析：2.2【解析】【分析】y2根据两个向量平行的充要条

19、件，与出向量的坐标之间的关系，之后得出- x -,利用xx基本不等式求得其最小值，得到结果 .【详解】r / rr . r .a 1,x , b x, y 2 ,其中x 0 ,且a与b共线 . 1 y 2 x x ,即 y x2 2yx2 222一 yx-2x-272 ,当且仅当x4即x后 时取等号xxxx的最小值为2" 2 . x【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目 .16 . 8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8解析：8【解析】 【分析】 【详解】设等差数列an的公差为贝 U

20、a3 a§ a a7 2a16d 10,所以 a7 10 a1 10 28 ,故答案为8.217 .【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求 和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前 n项和故答案为【点睛】本题考 查数列的前项和首先运用数列的裂项法对项进行分解然后重新组合最终达 二，一 4n解析：生n 1【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得ann 1工，可得2bnanan 11-,由数列的裂项相消求和，化简可得所求和.1解：an则bnanan 1可得数列bn的前n项和Sn4nn 1一 ， 4n故答案为-4n-.n 1【点睛】本题考查数列的前n项和，首先

21、运用数列的裂项法对项进行分解,然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题.18.【解析】【分析】由可知算出用表示的极限再利用性质计算得出即可【详 解】显然公比不为1所以公比为的等比数列求和公式且故此时当时求和极限为 所以故所以故又故故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列求和公式当时5 1解析:【解析】【分析】由 a1a3a4a5可知q 1,算出a3 a4 a5用ai表木的极限，再利用性质计算得出q即可.【详解】显然公比不为1,所以公比为q的等比数列 斗求和公式Snq(i qn)且 aa3a4a5，故0 q1.此时Sna1(1 qn)当时，求和极限为工1 q所以a3a4

22、a5一，故 a1 qa3a4a5a31 I所以a12aq故答案为:q,52产又01,故q本题主要考查等比数列求和公式Sn1 时 limnSna11 q【详解】由19 .【解析】【分析】由题意首先求得然后结合递推关系求解即可题意可知：且：整理可得：由于故【点睛】本题主要考查递推关系的应用前 项和与通项公式的关系等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力31 解析：一16【解析】【分析】 由题意首先求得§ ,然后结合递推关系求解 S5即可.【详解】由题意可知：S1 2 2a2 1,且：Sn2 2Sn1Sn,整理可得：Sn1 2 1Sn2 ,24由于 s 21,故 S5 211, S5 3

23、1.21616【点睛】本题主要考查递推关系的应用，前n项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20 .【解析】由等比数列的定义 $4=0什a2+a3+ a4=+ a2+a2q+a2q25+1 + q+ q2=解析：152【解析】 -a2.由等比数列的te义，S4=ai + a2+a3+ a4=F a2+a2q + a2q2,q得盘 + 1 + q + q2= 15a2 q2三、解答题21 . (1) y6- x 28(x 0); (2)厂家2020年的促销费用投入 3万元时，厂家x 1的利润最大，为21万元.【解析】【分析】(1)由不搞促销活动，则该产品的年销售量只能

24、是1万件，可求k的值，再求出每件产品销售价格的代数式，则利润 y (万元)表示为年促销费用x (万元)的函数可求.(2)由(1)得y26- x 28,再根据均值不等式可解.注意取等号.x 1【详解】(1)由题意知，当x 0时，m 1,2所以 1 3 k,k 2,m 3 ,x 1每件产品的销售价格为1.5 8 16m元.m所以 2020年的利润 y 1.5 8 16mm 8 16m x6- x 28(x 0);mx 1(2)由(1)知，y 1- x 28 卫(x 1) 29 21 ,x 1x 1当且仅当6- (x 1),即x 3时取等号， x 1该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润

25、最大，为21万元.考查均值不等式的应用以及给定值求函数的参数及解析式.题目较易，考查的均值不等式,要注意取等号.卜2222. (1) 5券 4 (2)日a【解析】【分析】(I)由题意2csin B 3atan A,利用正、余弦定理化简得b2 c2 4a2,即可得到答案6(II )因为a 2,由(I)知b2 c2 4a2 16 ,由余弦定理得cosA进而利用bc6.基本不等式，得到 bc ，且A (0,一),再利用三角形的面积公式和三角函数的性cos A2质，即可求解面积的最大值 .【详解】解：(I) 2csinB 3atanA,2csinBcosA 3asinA,由正弦定理得2cbcosA 3

26、a2 ,222由余弦定理得2cb沸一c- 2bc3a2,化简得 b2 c2 4a2,22b c4.(II )因为a 2,由由余弦定理得cosAI ）知 b2 c2 4a2 16 ,222b c a 6 , 2bc bc根据重要不等式有b2 c2 2bc,即8 bc,当且仅当b c时“=”成立,.cosA 6384q 66 一由cosA ,得bc ,且AbccosA0,21 16ABC 的面积 S bcsinA - sinA 3tanA.2 2 cosA2 A2 A2 A/一 ，2 八 , sin A cos A sin A 1- 1 tan A 1 2- 2 2，cos A cos A cos

27、 A，八 1.16.7 tanA.:2 1、1 .,cos2 A. 93S 3tanA 、. 7 .ABC的面积S的最大值为 币.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.23. (1) ASv_3.3ABC4【解析】【分析】1(1)由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：sin A -,结合范围6

28、2A 0,可得A ,进而可求A的值.66 6(2)在4ADC中，由正弦定理可得 sin CAD 1,可得 CAD = ,利用三角形内角和2定理可求 C, B,即可求得AB AC J3,再利用三角形的面积公式即可计算得解.【详解】(1) . a V3sinB cosC c b cosA,sinBcosA,，由正弦定理可得：3sinAsinB sinAcosC= sinCcosA，可得：、3sinAsinB sinBcosA= sinCcosAsinAcosC可得:6sinB /3sinA cosA sinB,sinB 0,0, bcosA2sin Asin A 6可得:J3,点D在BC边上，CD=2,在VADC中，由正弦定理ACCD可得:sin ADCsin CAD2sin CAD，可得:sin CAD= 1,CAD=一,可得:2CAD ADCB=AB AC 小,. 一 1 .【点睛】本题主要考查了正弦定理、公式在解三角形中的应用,-SVABC