2020-2021学年高一数学下学期期中测试卷02(必修二第六七八章)(解析版)

1、2020-2021学年高一下学期期中测试卷02（本卷满分150分，考试时间120分钟）（人教A版2019）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的.1.已知平面向量" = （?, 4）,方=（一1,6+ 3）,若存在实数入<0,使得:=/,则实数"，的值为（）。A、-4D12B、5C、-1D、1【答案】D【解析】： a = hb, （加,-4）=入（一1，m+ 3）,则，解得九=4或九=一1.-4 =人（? + 3）乂九 < 0 , 二九=1, m = 1,故选 D u2 .下列说法中错误的是（

2、）。A、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D、斜二测坐标系取的角可能是135。【答案】B（解析】平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B错误，由斜二测画法的基本要求可知A、C、D正确，故选B。3 .在下列命题中，正确命题的个数为（）。两个复数不能比较大小：若（x2-l） + （x2 +3x+ 2）i是纯虚数，则实数x = ±1 ：z是虚数的一个充要条件是z + WeH ：若。是两个相等的实数，则S ） + （ +"是纯虚数：zeR的一个充要条件是z = z ：_1

3、lzl=l的充要条件是z=。A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，错，x = T时，(x2-1) + (x2+3x + 2)/ = 0,错, z为实数时，也有z + ZwR,错，。=0时，(一/?) + (+/?" = 0, Q)错， ©正确，故选B4 .设a、。是两个不同的平而，则弓_1。的充要条件是()oA、平面a内任意一条直线与平面。垂直B、平面a、0都垂直于同一条直线C、平面a、0都垂直于同一平而D、平面a内存在一条直线与平而。垂直【答案】D【解析】若a _Lp，则平面a内存在直线L T而。不垂直，选项A不正确：1平面a、。都垂直于同

4、一条直线，则平而aq。平行，选项B不正确；若平面a、。都垂直于同一平面，则平而a、。可以平行，也可以相交，选项C不正确； 若平而a内存在一条直线。平而。垂直，则根据而面垂直的判定定理，可知a_Lp, 若仪，。，则由面面垂直的性质定理知，平面a内垂直于两个平面的交线的直线 定垂直于平而B，故选项D正确； 故选D。5 .如图，在长方体A3COAXC77中，用截面截下一个棱锥C ADD',则棱锥CA'M 的体积与剩余 部分的体积之比为()oD、1：2【答案】A【解析】设=AD = b, DD'=c，则长方体ABCDA'XCTX的体枳V = a匕c，又Sdd，且三棱锥C

5、- ADD1的高为CO=a ,，嗔核键C-HDO。=!。儿则剩余部分的几何体体枳V利=4反一。儿=?。儿.3666则匕梭池c-A7）o：=abc：ahc=：5 » 故选 A06 .四而体A-3co中，AB=CD=0, AC = BD = 2用,AD = 3。=,则四面体A-3C£)外接球的表面积为（）oA、50kB、100kC、200兀D、300ka1 +h2 = 136 b2 +c2 =164 , /+,2 = 100设长方体的长、宽、高分别为a、c，则根据图形可有则外接球的直径2、灭=必行工？ = 丽= 10&, ：.R = 5yf2 ,A、14B、26C、38

6、D、42【答案】C【解析】将四而体A 3CD置于一个长方体中，四而体A-88的外接球即为长方体的外接球.则球的表面积为5 = 4兀*= 200兀.故选C。7 .下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图。其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为 1,且相邻的圆都相切，a、c、 d是其中四个圆的圆心，贝）«【答案】【解析】如图所通建立以芍、6为一组基底的基向量,其中11=1牝1=1且q、与的夹角为60。,f _2_2/. ab cd = (2i +4e2)-(4g + 2e2) = 84 + Se2一 一+ 20“ -e2=8 + 8 + 20xlxlX = 26,故选 B.8

7、.在长方体中，AA, =A£> = 1, A3=2, P、。分别为上底面的边AO、CO的中点,过户、。的平面与底面交于A、S两点，R、S分别在下底面的边4G、4用上，BR = ；,平 面尸SR。与棱441交于点丁，则直线灯与侧而4AD4所成角的正切值为（）。A、B、2C、V3D、V52【答案】【解析】延长PT和SR交于点E，连接QR,/ PQ u 平面 ABCD,平面 ABCD/ 平面 AB£R ,： PQABGD且qQAC4G，丁 PQKS' fl A隅= RS' , :. PQURS .D = q=且 r< 2 =1 - 2-1 - 4 14

8、=-2-2 g 丽 一一 = 阳 G SE £用 A A = : R - 训 c s /A£5 -4 =R及1 -2=PAHE-r A-A =p TA - A3 -4-1 - 2=笨=等I，又Ar+Ar = A4|=i, ,.卡=(,3又直线TS与侧面A.D.DA所成角为ZAJS，则tanZAJS =甘=>,故选A。5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.9 .设i为虚数单位，则下列命题错误的是（）。A、VaeH,复数a 3T是纯虚数B、在复平而内，（2-i）对

9、应的点位于第三象限C、若复数2=-1一方，则存在复数4，使得zz】eRD、xe R ,方程/+以=0无解【答案】ABD】A选项，只有当。=3时，复数。-3-i是纯虚数.B选项(2T) = 2i + l,对应的点位于第一象限，错,C选项，若复数z = -l2i，则存在复数口=一1 + 2"使得zz】eR,对,D选项，x = 0方程F+立=0或匕铝, 故选ABDo10 .如图所示，在正方体ABCO44GA中，M、N分别是3与、3c的中点, 体的六个而上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的()0，C选项为在COQ£卜.的投影。C> (b -c)a-(c

10、 -a)b 不与c 垂直且相互不共线，则下列命题是真命题的有(则图中阴影部分在正方D、(37 +涕)(32-25) = 902 -4lBF【答案】BD【解析】A选项，平而向量的数量积不满足结合律，故A假，B选项，由向量的减法运算可知1%1、Rl、加恰为一个三角形的三条边长, 由“两边之差小于第三边”，故B真，C 选项，V (h . c)a - (c a)b c = (b- c)a c-(c a)b c = 0 »5，-0吃防与】垂直,故c假,D 选项，(3二 + 2彳)(3二一2芯)=3>37 2鼠涕=9|"|2一4花|2 ,成立，故 D 真，故选BD,12.如图，在

11、直角梯形A3c。中，BCLCD, AELCD,且七为的中点，M、N分别是AO、BE的中点，将三角形AD石沿AE折起，则下列说法正确的是（）oA、不论。折至何位置（不在平面A3c内），都有MN平而CUEB、不论0折至何位置（不在平面A3c内），都有MN_LAEC、不论。折至何位置（不在平面ABC内），都有MN/ABD、在折起过程中，一定存在某个位置，使CK_LAO【答案】ABD【解析】由已知，在未折叠的原梯形中，AB”DE，BE”AD，四边形A3ED为平行四边形，. BE=AD，折叠后如图所示，A选项，过点M作。石，交AE于点尸，连接NP，: M、N分别是A。、3石的中点，DECCE = E.，

12、点P为AE的中点，故NPHCE、又M尸0帅=0， ，平而MNP平面COE，故MN平而COE，对,B 选项，由已知，AELDE. AE1CD. ：. AE±PM . AELPN,又 PMCPN = P, ，AEJJFffiiPMN,又 MNu 平 iffjPMN, ：. MN LAE,对，C选项，假设MNA8，则MN'AB确定平而肋VA4，从而3石u、面MNB4，AOu平而"N&b与4石和40是异而直线矛盾，错，D 选项，当 CE_LO石时，CEYAD，VCE1AE- CE 工 DE，AEQDE = E ,，CEL平而AOE，ADu平而ADE，：.CE

13、7;AD 对，故选ABDo三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13计算l（2 + 2，严+（-2后+叶°_3 M+扃9+（"2/y0【答案】-511【解析】原式=23x(2/)6 +12"x(l + i严 ("24)项1 .v/hxG-2)1002214.已知在正四而体A8CO中，M是棱A。的中点，。是点A在底面8c。内的射影，则异而直线与AO所成角的余弦值为，【答案】3【解析】设正四面体的棱长为1,则设点在底面内的射影是N，则=火， 26NBWN即为所求异而直线BM与AO所成角，则8S/8WN =丝='。 BM 315 .已知非零向

14、量工、了满足1加=2,"工芯，且分与芯的夹角为60。，贝iJlZl的取值范围是。【答案】(2,+ 8)【解析】令C = 4一1，则a =7 + c , h jc的夹角为60°,/Jfl|2 + cl2=+2Z；.c + c2 =Jcl2+2x2xlclxcos60c+22=lcl2+2lcl-+4 = (lcl+l)2+3， 又Gl>0, ：.a2>4.，日I的取值范围是(2,+8)16 .如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4, 一只小虫从圆锥的底而圆上的点P出发，绕圆【答案】128JI兀81【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示:锥爬行一周后回到

15、点夕处，若该小虫爬行的最短路程为4追，则这个圆锥的体积为该小虫爬行的最短路程为PP,由余弦定理可得cos /P'OP = 叫 +("-""二="1, 20P OP' 2,"” =，成g的半径为r,则有2w =33解得，, 二 ，这个圆锥的高为万=J16 ,=浮,这个圆锥的体积为V = -Sh = -x兀产x = 1 = 1kx X= 3333 39381四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .(本小题满分10分)已知Z=+ U、z2 = (a-2 + a)i ,对于任意xeR,均有Iz1

16、1>1 z? I成立，试求实数"的取值范围。【解析】Izj>lz2l，/+/ + 1>。2+“)2，2 分A (1 - 2a)x2 + (1 - ,J)> o 对 工 6 r 恒成立，4 分当1一攵=0,即。=，时，不等式恒成立，6分21一2>01当 1一2。0时，=一1<<1,9 分一 4(1 一 切(1一。2)<0210分综上，18 .（本小题满分12分）已知三个点 42,1），3（3,2）,。（一1,4）0（1）求证：ABLADx若四边形ABC。为矩形，求点C的坐标以及矩形A3C。两对角线所夹锐角的余弦值。【解析】证明： 42,1

17、), 3(323。(一 1,4)，A月= (1J), AD = (-3,3) ,2 分V AB AD = 1x(-3) +1x3 = 0. ：.AB LAD ,即 A5«LA£；4 分(2)解：9 AB LAD,四边形 A3c。为矩形，：.AB = DC,5 分设C点坐标为(x, y),则诙=。+1,)，一4),6分x +1 = 1, x = 0A 4 解得，点C坐标为（05）,7分y-4 = 1y = 5从而（一2有，BD = （-4,2）,且1元1=26，I95|=2小，怒.诟= 8 + 8 = 16,9分设念与方的夹角为6,则cos6='”=r=4,U分AC

18、BD 20 54工矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为（012行19 . （12分）如图，底而为菱形的直棱柱ABC。-44GA中，E、尸分别为棱儿与、AQ1的中点。（1）在图中作一个平而a,使得3Oua,且平面AEFa：（不必给出证明过程，只要求作出a与直棱柱 "co44GA的截面。）若AB = A41=2, NE4Q=60。，求点C到所作截而a的距离°【解析】（D如图，取为CrGA的中点M、N,连接3M、MN、ND,则平面3MNZ）即为所求平面a ：二到平而5MND的距离为力，由等体枳法行：匕_也加=匕«,又vm-bcd = -S坐cd=-x-!-xBCx

19、CDxsin60sxBB1=氾310分12分,: BM = DN =BB：+BM=格,又 BD = 2MN = 2,乙、乙乙7llll/衿晨 一晒一26.,4757乂川 VC-BDM = VM-BCD 倚： "DM '卜=H = , . h =20.（本小题满分12分）如图，在以A、B、C、D、E、尸为顶点的五而体中，平面。£产，平面A8CO, EF/CD. BF = CF， 四边形ABC。为平行四边形，且N8CO=45Z求证：BF1CD:（2）若A3=2, EF = DE = 1, BC =四,求此五面体的体积。【解析】（1）过尸作交8于O,连接30，由平面。石尸

20、，平面ABC。.平而CDEF （T平而ABCD= CD，得尸O_L 平面 A8CO, ,: BF = CF、FO=FO, /FOC = /FOB =琳, ：. ABFOACFO, ：. BO = CO.由已知N8CQ =45。得A5OC为等腰直角三角形，Z. BO VCD,4分又 FO1CD, BOCFO = O. BO、">u平而8R7,:.CDL 平面 BFO, CD 上 BF；6 分(2)取 A8中点 G,连接 EG、OG ,由(1)可知，OD = EF = 1,又 EFIICD.四边形ODE尸为平行四边形，棱柱OFG-OE4为斜棱柱11 AOBF为此斜棱柱的直截面, 在

21、四棱锥F-OC8G中，由(1)知，FOtCD，又平而。£花尸上平面ABCD,：.尸。，平而OG3C,*匕面体E/T8CD = % 性柱OFG-DEA + % 校镀尸-0C8G = SBFO - EF + - - S四边形。函7。尸=xlxlxl + -!-x2x xlx 1x1 = + -!- = - o12 分2322 3 621.（本小题满分12分）如图所示的空间几何体中，平面ACO_L平面ABC，AB = BC=CA=DA = DC = BE = 2. 3石和平面A3c所成的角为60。，且点石在平面A3C上的射影落在NA8C的平分线上，(1)求证：。石平面ABC；(2)求多面体ANCDE的体枳。【解析】(1)证明：由题意知，MBC. A4C。都是边长为2的等边三角形，取AC中点O,连接30、DO,则 3O_LAC, DOLAC :平面 AC。，平面 A3C._L 平而 A3C，2 分 作平而A8C,则石厂£>。，根据题意点尸落在30上，A ZEBF = 60°,易求得EF = DO = K. 四边形。石FO是平行四边形，DEI I OF ,4分丁 OE2平而ABC,。下u平而ABC, : DE平而ABC；5分(2)解：:平面从。_1平面ABC, OB1AC.工03 J_平面ACD,又丁。七