第二章点、直线、平面之间的位置关系A组

1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1. 设 ，为两个不同的平面，I, m为两条不同的直线，且 I , m?，有如下的 两个命题：若/ ，则I / m;若I丄m,贝U丄那么（）.A .是真命题，是假命题B .是假命题，是真命题C.都是真命题D .都是假命题（第2题）2. 如图，ABCD AiBiCiDi为正方体，下面结论错误.的是（）.A. BD /平面 CBiDiB. ACi 丄BDC. ACi 丄平面 CBiDiD. 异面直线AD与CBi角为603 .关于直线m, n与平面 ，有下列四个命题 m /, n/且/，贝 U m / n;m, n丄且丄，贝U mn;ml , n/且/，

2、贝U m丄n;m /, n丄且丄，贝 U m / n.其中真命题的序-口.曰 号是().A .B .C.D .4. 给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若直线li, |2与同一平面所成的角相等，则li, 12互相平行 若直线li, |2是异面直线，则与li, |2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（）.A. iB . 2C. 3D . 45. 下列命题中正确的个数是 （）. 若直线l上有无数个点不在平面内，则I/ 若直线I与平面 平行，则I与平面 内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与

3、这个平面平行 若直线I与平面 平行，则I与平面 内的任意一条直线都没有公共点C. 2个D . 3个6. 两直线li与I2异面，过li作平面与I2平行，这样的平面（）.A .不存在B .有唯一的一个C.有无数个D .只有两个7. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A, B, C, D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）.A. 90B . 60C. 45D . 30&下列说法中不正确的.是（A .空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B. 同一平面的两条垂线一定共面C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D. 过

4、一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9.给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是（）.10 .异面直线a, b所成的角60,直线a丄c,贝U直线b与c所成的角的范围为（）.A. 30 90B . 60 90C. 30 60D . 30 120 二、填空题11. 已知三棱锥 P ABC的三条侧棱FA, PB, PC两两相互

5、垂直，且三个侧面的面积分别为 S1 , S2, S3,则这个三棱锥的体积为12. P是厶ABC所在平面外一点，过P作PO丄平面 ，垂足是 O,连PA, PB, PC.（1）若 PA = PB = PC,贝U O ABC 的心；（2）PA丄 PB, PA丄PC, PC丄 PB，贝U O 是厶 ABC 的心；（3）若点P到三边AB, BC, CA的距离相等，则 O是厶ABC的心；(4) 若 PA = PB = PC,/ C= 90o,贝 U O 是 AB 边的点；(5) 若PA = PB = PC, AB = AC,则点 O在厶ABC的线上.B(第13题)13. 如图，在正三角形 ABC中，D,

6、E, F分别为各边 的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将 ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后， GH与IJ所成角 的度数为.14. 直线I与平面 所成角为30 l n = A,直线m ，则m与I所成角的取值范围 是.15. 棱长为1的正四面体内有一点 P,由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为 di, d2, d3, d4,贝U d1+ d2+ d3+ d4 的值为.16. 直二面角 I- 的棱上有一点A，在平面 ，内各有一条射线 AB, AC与I成45 AB , AC ，则/ BAC =.三、解答题17. 在四面体 ABCD中， ABC与厶DBC都是边长为4的正三角

7、形.(1) 求证：BC丄AD ;(2) 若点D到平面ABC的距离等于3,求二面角ABC D的正弦值；(3) 设二面角A BC D的大小为 ，猜想 为何值B时，四面体 A BCD的体积最大.(不要求证明)A18. 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB2, BBi = BC= 1, E 为 DiCi 的中点，连结 ED , EC, EB 和 DB .(1) 求证：平面EDB丄平面EBC;(2) 求二面角E-DB C的正切值.(第18题)19* .如图，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中，AD / BC ,Z ABC = 901SA丄面 ABCD , SA=AB = BC =1,

8、AD =2(1) 求四棱锥S- ABCD的体积；(2) 求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.(提示：延长 BA, CD相交于点 E,则直线 SE是 所求二面角的棱.)(第19题)柱的体积.（提示：在 AAi上取一点P,过P作棱柱的截面，使 AAi垂直于这个截面.）（第20题）第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案A组一、选择题1. D解析：命题有反例，如图中平面I? , m?,且I / n, ml n,贝U m I，显然平面不垂直平面故是假命题；命题显然也是假命题,解析：异面直线 AD与CBi角为45.2. D解析：在、的条件下，m, n的位置关系不确定.3. D4. D门平面=直

9、线n,（第1题）解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案D.5. B解析：学会用长方体模型分析问题，AiA有无数点在平面ABCD夕卜，但AAi与平面ABCD相交，不正确；AiBi / 平面ABCD ,显然AiBi不平行于BD,不正确；AiBi / AB, AiBi /平面 ABCD，但AB?平面ABCD内，不正确；I与 平面a平行，则I与 无公共点，I与平面 内的所有直线（第5题）都没有公共点，正确，应选B .6. B解析：设平面过li,且I2 / ，则Ii上一定点P与I2确定一平面，与 的交线I3 / 12,且13过点P.又过点P与I2平行的直线只有一条，即 13有唯一性，所

10、以经过Ii和I3的平面是唯一的，即过Ii且平行于I2的平面是唯一的7. C解析：当三棱锥 D ABC体积最大时，平面 DAC丄ABC,取AC的中点0,则厶DBO是等腰直角三角形，即/DBO = 45 & D解析：A 一组对边平行就决定了共面；B 同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D 把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.9. B解析：因为正确，故选B .10. A解析：异面直线a , b所成的角为60直线c丄a，过空间任一点 P,作直线a a, b/ b, c c若a b c共面则b与c成30。角，否则 b 与c 所成的角的范围 为(30 90，所以直

11、线b与c所成角的范围为30 90 .二、填空题1 .11. - J2SS2S3 .3解析：设三条侧棱长为a, b, c.111贝 V ab = S1,bc= S2,ca= S3 三式相乘：2 2 2二-a2 b2 c2= S1S2S3,8 abc= 2 2 S,SS3 .T三侧棱两两垂直，111 - V= abc yZSSSs .3 2312. 外，垂，内，中， BC边的垂直平分.解析：(1)由三角形全等可证得O ABC的外心；(2) 由直线和平面垂直的判定定理可证得，OABC的垂心；(3) 由直线和平面垂直的判定定理可证得，OABC的内心；(4) 由三角形全等可证得，O为AB边的中点；(5)

12、 由(1)知，O在BC边的垂直平分线上，或说O在/ BAC的平分线上.13. 60解析：将厶ABC沿DE , EF, DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为6014. 30 90 .解析：直线l与平面 所成的30的角为m与I所成角的最小值，当m在 内适当旋转解析：作等积变换:手 X (d1+ d2+ d3+ d4)16. 60或 120解析：不妨固定AB,则AC有两种可能.三、解答题17. 证明：（1）取BC中点0,连结AO , D0. ABC , BCD都是边长为4的正三角形， A0丄BC , DO 丄 BC,且 AOA DO = O, BC丄平面 AOD .又 AD 平面AOD ,

13、BC 丄 AD .解：（2）由（1）知/ AOD为二面角A BC D的平面角，设/AOD =，则过点D作DE丄AD，垂足为E ./ BC丄平面 ADO，且BC 平面 ABC,平面 ADO丄平面 ABC .又平面 ADO门平面ABC= AO, DE丄平面ABC .线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE = 3.又DO =在 Rt DEO 中，sinDE =邑DO 2 BC 丄 DE . 又 ECBCC , DE丄平面EBC .平面DEB过DE，平面DEB丄故二面角A BC D的正弦值为 -.2（3）当 =90寸，四面体ABCD的体积最大.18. 证明：(1)在长方体 ABCD A1B1C1

14、D1 中，AB = 2,BB1 = BC = 1 ,E 为 D1C1 的中点. DD1E 为等腰直角三角形，/ D1ED = 45。.同理/ C1EC = 45 DEC 90，即 DE丄 EC.平面 D1DCC1 ,在长方体ABCD- AB1GD1中，BC丄平面D1DCC1，又DE平面EBC.（2）解：如图，过 E在平面D1DCC1中作EO丄DC于0在长方体 ABCD ABiCiDi中，面ABCD丄面DQCCi ,二E0丄面ABCD .过O在平面DBC中作OF丄DB于F，连结EF, / EF丄BD ./EFO为二面角E DB- C的平面角.利 用平面几何知识可得 OF = 1 ,(第18题)V

15、5又 0E= 1，所以，tan EFO =、5 .19* .解:(1)直角梯形ABCD的面积是M 底面=1( BC+ AD) AB =1+122113 1四棱锥 SABCD的体积是 V=丄 SA M底面=丄X 1X =丄.334 4(2)如图，延长BA , CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱./ AD / BC , BC= 2AD ,EA = AB = SA,. SEX SB/ SA丄面 ABCD，得面SEB丄面EBC, EB是交线.上的射影, CS丄SE,/ BSC是所求二面角的平面角.v li(第19题)又BC丄EB , BC丄面SEB, 故 SB是SC在面SEB/ SB= . SA2 + AB2 = .2 , BC = 1, BC