第三章连续时间系统的频域分析

1、第三章.连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法( )信号分解的目的：将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。1 .正交函数集任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：f (t) Cigi (t) C2g2(t)Crgr(t)Cngn(t)nCrgr(t)r 1原函数t20, m ngl t ,g2 tgr t 相互正交：t gm(t) gn(t)dt1Km, m ngr t称为完备正交函数集的基底。一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处，如易实现等，我 们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。2 .能量

2、信号和功率和信号( 6.6 一)设i t为流过电阻R的电流，瞬时功率为P(t) i2(t)R一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。T0T0 f2(t)dt令R = 1傢则在整时间域内，实信号 f t的能量，平均功率为:1 To2PlimT1 Af (t)dtT00 2讨论上述两个式子，只可能出现两种情况:0 W(有限值)P 00 P(有限值)W满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。3. 帕斯瓦尔定理设gr(t)为完备的正交函数集，即t2t2t22 2 2 2f t dtCr gr t dtCrgr(t) dtt!r 1t!r 1 t!信号的能量基底信号的能量各分量此式称为帕斯瓦尔定理P

3、331式(6-81)(P93, P350)左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。物理意义：一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率)之和。二、周期信号的频谱分析一一傅里叶级数(1) 周期信号傅里叶级数有 两种形式三角形式：f(t) a0an cos n 1t bns inn 1tn 1=CoCn cos(n 1tn)n 1指数形式：f(t) F(n 1)ejn 1tn(2) 周期信号的频谱是离散谱，三个性质收敛性n ,F(nJ谐波性：(离散性)谱线只出现在n 1处, 唯一性：f (t)的谱线唯一(3) 两种频谱图的关系三角形式：Cn ，n 单边频谱指数形式：

4、F (n 1) , n 双边频谱1两者幅度关系 F (n 1)= 5 n 0F c a。2指数形式的幅度谱为偶函数|F( nJ F( n J指数形式的 相位谱为奇函数(n 1)(n 1)引入负频率对于双边频谱，负频率(n 1)，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率？f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejn lt与e jn lt，才能保证f (t)实函数性质不变。(5)对特殊信号不一定满足上述三个性质例如：冲激序列T(t)(t nT)(n为整数)的付里叶级数ni1TT n1O分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性,其积分有确定值，傅里叶级数存在。即F

5、(n 1)1T2Jt e jn ltdtf(t)T(t)nitT(t)的频谱，有离散性，谐波性,无收敛性，频带无限宽周期信号的功率1. 描述周期信号的平均功率=各正交分量的平均功率之和(帕斯瓦尔定理)f (t) a0 an cos n 1tn 1bn sin n 1t平均功率：f2(t)dt2a。2ao1.2CnCn是三角形式傅里叶级数的余弦形式中振幅值。总平均功率=各次谐波的平均功率之和 对于指数形式的傅里叶级数Fn2, F 0 a01 P=T 0三、典型周期信号的傅立叶级数本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论其频谱的特点。频谱结构已知矩形脉冲信号的脉宽为 脉宽为，脉冲高度为E,周期为Ti三角形

6、式的谱系数f t是个偶函数bn0,只有 ao,an。指数形式的谱系数F(n1 Tii) = TL Ti： f(t)e jn ltdtsan i 频谱特点包络线按抽样形状变化xx频谱是离散的是n i的函数，只在 i的整数倍有值（谐波性 ）其最大值在n 0处，为Ti幅度谱线间隔i，时，1，为无限小，f t由周期信号T i非周期信号矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性11对比波形：Ti -s T2-s T3 is424 F(n 1)E5z1iZ4、 2丄卜017丄JF (n%0価1WM叽频带宽度周期矩形脉冲信号的频谱每当丄丄 m （ m取整数）时，通过零点。其中第2n 彳一

7、个零点在一-，即n 12，此后谐波的振幅相对减小。能量主要集中在第一个零点以内。信号一般主要集中在低频段。定义：在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范 围称为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：2 1B 或Bf丄，带宽与脉宽成反比。对于一般周期信号，将1幅度下降为一F n10max的频率区间定义为频带宽度。系统的通频带 信号的带宽，才能不失真四. 非周期信号的频谱分析一傅里叶变换傅里叶变换当T1时，f(t)：周期信号非周期信号谱系数:F(n 1)1T1T12f(t)ejn1tdt(1)当T1T1F n 1F时，单位频带上的频谱值lim T1F n 1

8、T1lim T12 f(t)e jn 1tdtT12f (t)e j tdtF称为频谱密度函数，简称频谱函数。由f (t)求F()称为傅立叶变换。F()一般为复信号，故可表示为F( ) |F( )|ej ()| F( )| :幅度频谱() :相位频谱反变换f t应是F的反变换。f(t)F ej td傅立叶变换对F()f(t)eJ tdtF f (t)f(t)eJtdiF f(t)称为付里叶变换对,简写，其中f(t)称为原函数，F()称为象函数。傅立叶变换的特殊形式F FejjX实部虚部，相位f (t)fe t奇函数(偶分量为零)为虚函数，只有X，相位Ff (t)e J tdtfe(t) fo(

9、t)cos tj sint dt20f e(t)cos tdtj2 fJ 0o(t)s intdt实部虚部R20fe(t)cos tdt关于的偶函数X20 fo (t)sin tdt关于的奇函数FrVR2 X2关于的偶函数tg 1X关于的奇函数R偶分量奇分量(奇分量为零)偶函数为实函数，只有RFt实信号奇偶虚实性傅里叶变换的物理意义f (t)为实函数f(t) 2ej tej t12Fej ()ej td1.1FcostdjF221Fcostdsin t2cos td cos求和振幅 正弦量由上式可得出，非周期信号可分解为:无穷多个幅度为无穷小（2）的连续指数信号之和，占据整个频域,无穷多个振幅

10、为无穷小）的连续余弦信号之和，频域范围:傅里叶变换存在的条件f t dt 有限值充分条件即f（t）绝对可积，F存在。所有能量信号均满足此条件。当引入函数的概念后，允许作变换的函数类型大大扩展了。五. 典型非周期信号的频谱矩形脉冲Sa 21f tE/2 0/2 ；幅度频谱：FE Sa相位频谱：2 1频宽：B或B f单边指数信号FEe tu t e j tdtE直流信号Ef (t) Ef t不满足绝对可积的条件，不能直接用定义求F利用矩形脉冲的频谱求极限。E 2t当f t1时，F 12符号函数f (t) sgn t1，t 0这个信号不满足绝对可积条件。处理方法:1,t 0做成一个双边函数 f1 t

11、sgn t e，求F1,，求极限得到Fsgn t2ne冲激函数F( )t e j tdt 1(t)11t看作丄的矩形脉冲，0时,B。冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t )不满足绝对可积条件,不能用定义求。10f tA tF对称性/10冲激偶的付里叶变换f t tdtf 0tt e j tdtFttt单位阶跃函数u(t)u(t)0六傅立叶变换的性质傅立叶变换具有唯一性。付氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论付里叶变换的性质，目的在于: 了解特性的内在联系；用性质求F ； 了解在通信系统领域中的实用。4微分性质时域微分 f(t) F()，则 f (t) j

12、 F()如果f t中有确定的直流分量，应先取出单独求付氏变换，余下部分再用微分性 质。频域微分若f (t) F()，则tf (t) jdF d或 jtf (t) d F d5尺度变换特性1若f (t) F()，则f(at) - F -，a为非零常数。|a|a信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。F( )e j t0to)F( ) ej ( j t06时移特性若 f(t) F()，则 f(t to)若F( )|F( )ej ()，则f (t幅度频谱无变化，只影响相位频谱,7当f(t)时移和尺度变换都有时若 f(t)F(则f at1f

13、bja _e , a8频移特性若 f(t)f(t)ej通信中调制与解调,F(ot频分复用则.f(t)e j oto为常数，注意 号9时域积分性质 若ft f，贝yF 00时，七 f d -jtFF 0 0时，f d F 0j七. 卷积定理1 .时域卷积定理若f1tF1,f2 tF2则f1 tf2 tF1F2意义：时域卷积对应频域频谱密度函数乘积2. 频域卷积定理若 f 1 t F i, f 2 tF 2贝U fl t f2 t*FiF2意义：时间函数的乘积各频谱函数卷积的12倍。3. 作用卷积定理：揭示了时间域与频率域的运算关系，在通讯理论中有重要作用4. 应用:用时间卷积定理求频谱密度函数求

14、t f d的傅立叶变换。求系统的响应f t g th t g t f t h t5. 调制原理与频分复用调制：将信号的频谱函数搬移到任何所需的较高频段上的过程。图1为幅度调制9 (AM)。解调将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。图 4所示为同步解调mOmG()m1AJ rA4C2l2 c0mm2 cGa1f41f2频分复用所谓频分复用，就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传 输体制。发信端：调制，将各信号搬移到不同的频率范围。收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调再利用一个低通滤波器（带宽m2 a m，），滤除再2 a附近的分量，即可取出f t ,完成解调。)成正比,离散谱Fn八.

15、 周期信号的傅立叶变换周期信号：f t傅里叶级数F n 1离散谱非周期信号f t傅里叶变换F n连续谱cosot0 0正弦信号：sin otj0 j0fT tjn1tF n 1 e般周期信号：nFtF n 1F ejn 1t2F n 1n可见：1 fT t的频谱由冲激序列组成 位置:n 1 谐波频率强度：2 F n 1 ,与F(n 1表示的是频谱密度1处,2谱线的幅度不是有限值，因为周期信号的F 只存在于 频率范围无限小，幅度为 由F 求F n 1 :TFofote2j tdtT1F单位冲激序列的tnT1F n 1 ejn-ejn 1tT12T1n4FT1211。1 21i1T t的频谱密度函

16、数仍是冲11111激序列，强度和间隔都是周期矩形脉冲序列的傅氏变换n 1F ( ) E 1 San 1九. 抽样信号的傅立叶变换f(t)理想抽样(周期单位冲激抽样)连续信号抽样信号 f tfs tt抽样脉冲p(t)T(t)(tnTs)s(n s)fs(t)f(t)T(t)f(n Ts)(t nTs)频域:FsF f tT t1 F 1FTFn s2Ts n若接一个理想低通滤波器，其增益为Ts 截止频率滤除高频成份，即可重现原信号抽样定理f smin2 fm是最小抽样率,称为奈奎斯特抽样率Tsmax 是最大抽样间隔,称为奈奎斯特抽样间隔max2 T m一个频率受限的信号f t ,如果频谱只占据m

17、0 m的范围,则信号ft可用等间隔的抽样值来 唯一地表示。其抽样间 隔必须 不大于丄，即Ts 匚(其中m 2 fm)，或者说最低抽样2fm2fmm m频率为2fm。抽样定理的应用-时分复用用于时分复用，在同一时间里传送不同信号。R() 响应信号的傅氏变换E()激励信号的傅氏变换物理意义表征系统固有的性质或特性h t为冲激响应，取决于系统本身的结构，描述了系统的固有性质。H也仅仅决定于系统结构，H是表征系统特性的重要参数。系统冲激响应的傅立叶变换当e(t) (t)时，r(t) h(t)，此时 (t)1,R( ) E( )H( ) H()，即 h(t) H (),或h(t) H (j )。系统的频率响应特性H( ) |H( )ej ()H( ) :系统的幅频特性() :相频特性系统的功能系统可以看作是一个信号处埋器：当激励信号的频谱密度 函数为E 时,则响应的频谱密度函数便是HE。系统改变了激励信号频谱。E()E()ej e( H()H( ) ej h()R()E()H( )r()e()h()系统可以看作是一个信号处埋器 ：H是一个加权函数，对信号各频率分量进行 加权。信号的幅度由|H ()加权，信号的相位由 修正。对于不同的频率 ，有不同的