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文档简介

1、求实系数一元三次方程根的实用公式    在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：    设，    则它的三个根的表达式如下：                其中，    我们先用该公式解一个一元三次方程：。解：Q p=- 9，q=6， T=- 3，D=- 18，    原

2、方程的三个根为                这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：    其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、表达式不明确。    其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。    因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。    下面我们推导一个

3、实用的改进型求根公式。    实系数一元三次方程可写为 （1）令 ，代入（1）得 （2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。不妨设p、q均不为零，令y=u+v （3）代入（2）得， （4）选择u、v，使得，即 （5）代入（4）得， （6）将（5）式两边立方得， （7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：， 且问题归结于上述方程组的求解。即求关于t的一元二次方程的两根、，设，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，其中，为1的两个立方虚根。以下分三种情形讨论：1）若，即D>0，则、均为实数，可求得，取，在，组成的九个数中，有且只有

4、下面三组满足，即、；、；、，也就是满足， 方程（2）的根为，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。2）若，即时，可求得，取同理，可求得 方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。3）若，即D<0时，Q ， p<0，则、均为虚数，求出、并用三角式表示，就有，其中T，都是实数，Q 同理，其中，且取，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，具体表示出来就为：其中 当时，方程（2）有三个实根。综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根， ，3）当时，方程有三个实根，上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是实用性的。这里用以下几个解一元三次方程的实例来说明该公式的应用。例一、解方程。解：Q p=- 27，q=54， D=0， 原方程的根为，。例二、解方程。解：Q p=9，q=4， D=31>0， 原方程有一个实根和两个共轭虚根：例三、解方程。解：Q p=- 9，q=6， D=- 1

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