教案（椭圆）

1、1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的热点，两热点间的距离叫做椭圆的焦距.集合PM|MF1MF22a，F1F22c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1 (a>b>0)1(a>b>0)图形性质范围a*abybb*baya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A

2、2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F22c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2【学问拓展】点P(*0，y0)和椭圆的关系(1)点P(*0，y0)在椭圆内<1.(2)点P(*0，y0)在椭圆上1.(3)点P(*0，y0)在椭圆外>1.【思考辨析】判定下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(×)(2)椭圆上一点P与两热点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()(3)椭圆的

3、离心率e越大，椭圆就越圆.(×)(4)方程m*2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲线是椭圆.()(5)1 (ab)表示热点在y轴上的椭圆.(×)(6)1 (a>b>0)与1(a>b>0)的焦距相等.()1.(教材改编)椭圆1的焦距为4，则m_.答案4或8解析当热点在*轴上时，10m>m2>0，10m(m2)4，m4.当热点在y轴上时，m2>10m>0，m2(10m)4，m8.2.(2015·广东)已知椭圆1(m>0)的左热点为F1(4,0)，则m_.答案3解析由题意知25m216，解得m29，

4、又m>0，所以m3.3.已知椭圆C：1 (a>b>0)的左、右热点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为_.答案1解析AF1B的周长为4，4a4，a，离心率为，c1，b，椭圆C的方程为1.4.假如方程*2ky22表示热点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_.答案(0,1)解析将椭圆方程化为1，由于热点在y轴上，则>2，即k<1，又k>0，所以0<k<1.5.(教材改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及热点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_.答案或解析设P(*，

5、y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到*轴的距离为1，所以y±1，把y±1代进1，得*±，又*>0，所以*，P点坐标为或.题型一椭圆的定义及标准方程命题点1椭圆定义的应用例1如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内确定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是_.答案椭圆解析由条件知PMPF.POPFPOPMOMR>OF.P点的轨迹是以O，F为热点的椭圆.命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短

6、轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为_.答案(1)y21或1(2)1 解析(1)若热点在*轴上，设方程为1(a>b>0)，椭圆过P(3,0)，1，即a3，又2a3×2b，b1，方程为y21.若热点在y轴上，设方程为1(a>b>0).椭圆过点P(3,0).1，即b3.又2a3×2b，a9，方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.(2)设椭圆方程为m*2ny21(m>0，n>0且mn).椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方

7、程.则两式联立，解得所求椭圆方程为1.思维升华(1)求椭圆的方程多采纳定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定外形时，确定要留意常数2a>F1F2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定热点所在位置，然后再依据条件建立关于a，b的方程组.假如热点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为掌握题便利，也可把椭圆方程设为m*2ny21 (m>0，n>0，mn)的形式.(1)已知圆(*2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是_.(2)过点(，)，且与椭圆1有相同热点的椭圆

8、的标准方程为_.(3)(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：*21(0<b<1)的左，右热点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若AF13F1B，AF2*轴，则椭圆E的方程为_.答案(1)椭圆(2)1(3)*2y21解析(1)点P在线段AN的垂直平分线上，故PAPN，又AM是圆的半径，PMPNPMPAAM6>MN，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.(2)方法一椭圆1的热点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所求椭圆的标准方程为1.方法二所求椭圆与椭圆1的热点相同，其热点在y轴上，且c225916.设它的标准

9、方程为1(a>b>0).c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，即1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.(3)设点B的坐标为(*0，y0).*21，F1(，0)，F2(，0).AF2*轴，可取A(，b2).AF13F1B，3，(2，b2)3(*0，y0).*0，y0.点B的坐标为.将B代进*21，得b2.椭圆E的方程为*2y21.题型二椭圆的几何性质例(1)已知点F1，F2是椭圆*22y22的左，右热点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是_.(2)(2015·浙江)椭圆1(ab0)的右热点F(c，0)关于直线y*的对称点Q

10、在椭圆上，则椭圆的离心率是_.答案(1)2(2)解析(1)设P(*0，y0)，则(1*0，y0)，(1*0，y0)，(2*0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值2.(2)设椭圆的另一个热点为F1(c,0)，如图，连结QF1，QF，设QF与直线y*交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OMFQ.又O为线段F1F的中点，F1QOM，F1QQF，F1Q2OM.在RtMOF中，tanMOF，OFc，可解得OM，MF，故QF2MF，QF12OM.由椭圆的定义得QFQF12a，整理得bc，ac，故e.方法二设Q(*0，y0)，则FQ的中点坐标，kFQ，依题意解得又由于(*0，y

11、0)在椭圆上，所以1，令e，则4e6e21，离心率e.思维升华(1)利用椭圆几何性质的留意点及技巧留意椭圆几何性质中的不等关系：在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中*，y的范围，离心率的范围等不等关系.利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的冲突时，要结合图形进行争论，当涉及顶点、热点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.(2)求椭圆的离心率冲突的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消往b，即可求得离心率或离心率的范围.(1)已知椭圆1(a>b>0)与双

12、曲线1(m>0，n>0)有相同的热点(c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是_.(2)已知两定点A(1,0)和B(1,0)，动点P(*，y)在直线l：y*2上移动，椭圆C以A，B为热点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为_.答案(1)(2)解析(1)在双曲线中m2n2c2，又2n22m2c2，解得m，又c2am，故椭圆的离心率e.(2)A(1,0)关于直线l：y*2的对称点为A(2，1)，连结AB交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为AB，所以椭圆C的离心率的最大值为.题型三直线与椭圆的综合冲突命题点1由直线与椭圆的位置关

13、系争论椭圆的性质例4(2015·重庆)如图，椭圆1(ab0)的左，右热点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQPF1.(1)若PF12，PF22，求椭圆的标准方程；(2)若PF1PQ，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，2aPF1PF2(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2cF1F22，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)方法一连结F1Q，如图，设点P(*0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则1，*yc2，求得*0± ，y0±.由PF1PQPF2得*00，从而PF2.2(a2b2)2a(a)2.

14、由椭圆的定义，PF1PF22a，QF1QF22a，从而由PF1PQPF2QF2，有QF14a2PF1.又由PF1PQ，PF1PQ，知QF1PF1，因此，(2)PF14a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e.方法二如图，由椭圆的定义，PF1PF22a，QF1QF22a.从而由PF1PQPF2QF2，有QF14a2PF1.又由PF1PQ，PF1PQ，知QF1PF1，因此，4a2PF1PF1，得PF12(2)a，从而PF22aPF12a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知PFPFF1F(2c)2，因此e.命题点2由直线与椭圆的位置关系争论直线的性质例5(2015·江苏)如图

15、，在平面直角坐标系*Oy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右热点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程.解(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当AB*轴时，AB，又CP3，不合题意.当AB与*轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(*1)，A(*1，y1)，B(*2，y2)，将AB的方程代进椭圆方程，得(12k2)*24k2*2(k21)0，则*1,2，C的坐标为，且AB.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，

16、不合题意.从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.由于PC2AB，所以，解得k±1.此时直线AB的方程为y*1或y*1.思维升华解决直线与椭圆的位置关系的相关冲突，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关冲突.涉及弦中点的冲突时用“点差法”解决，往往会更简洁.(2015·北京)已知椭圆C：*23y23，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线*3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于*轴，求直线BM的斜率；(3)试判定直线BM与直线DE的位置关系，并说

17、明理由.解(1)椭圆C的标准方程为y21，所以a，b1，c.所以椭圆C的离心率e.(2)由于AB过点D(1,0)且垂直于*轴，所以可设A(1，y1)，B(1，y1)，直线AE的方程为y1(1y1)(*2)，令*3，得M(3,2y1)，所以直线BM的斜率kBM1.(3)直线BM与直线DE平行，证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM1.又由于直线DE的斜率kDE1，所以BMDE，当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(*1)(k1)，设A(*1，y1)，B(*2，y2)，则直线AE的方程为y1(*2).令*3，得点M，由得(13k2)*26k2*3k230，所以*1*2，*1*2，

18、直线BM的斜率kBM，由于kBM10所以kBM1kDE，所以BMDE.综上可知，直线BM与直线DE平行.8.高考中求椭圆的离心率冲突典例(1)(2015·福建)已知椭圆E：1(ab0)的右热点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3*4y0交椭圆E于A，B两点.若AFBF4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_.(2)(2014·江西)设椭圆C：1(a>b>0)的左，右热点为F1，F2，过F2作*轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_.解析(1)如图，设左热点为F0，连结F0A，F0B，则四边形

19、AFBF0为平行四边形.AFBF4，AFAF04，a2.设M(0，b)，则，1b2.离心率e .(2)直线AB：*c，代进1，得y±.A(c，)，B(c，).kBF1.直线BF1：y0(*c).令*0，则y，D(0，)，kAD.由于ADBF1，·1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e.e>0，e.答案(1)(2)温馨提示离心率是椭圆的重要几何性质，是高考要点考查的一个学问点.这类冲突一般有两类：一类是依据确定的条件求椭圆的离心率；另一类是依据确定的条件求离心率的取值范围.无论是哪类冲突，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式

20、)，并且最终要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率冲突难点的根本方法. 方法与技巧1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、把握定义是要害，应留意定义中的常数大于F1F2，幸免了动点轨迹是线段或不存在的状况.2.求椭圆方程的方法，除了挺直依据定义外，常用待定系数法.当椭圆的热点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为1 (m>0，n>0，且mn)可以幸免争辩和烦琐的计算，也可以设为A*2By21 (A>0，B>0，且AB)，这种形式在解题中更简便.3.争辩椭圆的几何性质时，离心率冲突是要点，求离心率的常用方法有以下两种：(1

21、)求得a，c的值，挺直代进公式e求得；(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后依据b2a2c2，消往b，转化成关于e的方程(或不等式)求解.失误与防范1.判定两种标准方程的方法为比较标准形式中*2与y2的分母大小.2.留意椭圆的范围，在设椭圆1 (a>b>0)上点的坐标为P(*，y)时，则|*|a，这往往在求与点P有关的最值冲突中用到，也是简洁被忽视而导致求最值错误的缘由.A组专项前提练习(时间：40分钟)1.设F1，F2分别是椭圆1的左，右热点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，OM3，则P点到椭圆左热点的距离为_.答案4解析由题意知，在PF1F2中 ，OMPF23，

22、PF26，PF12aPF21064.2.椭圆1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右热点分别是F1、F2，若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为_.答案解析由题意知AF1ac，F1F22c，F1Bac，且三者成等比数列，则F1FAF1·F1B，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.3.已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个热点，过F2且垂直于*的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB3，则C的方程为_.答案1解析设椭圆C的方程为1(a>b>0)，则c1.由于过F2且垂直于*轴的直线与椭圆交于A，B两点，且AB3，所以，

23、b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.4.已知椭圆1上有一点P，F1，F2是椭圆的左，右热点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有_个.答案6解析当PF1F2为直角时，依据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个.5.已知椭圆y21的左、右热点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线，与椭圆的一个交点为P，则使得·<0的点M的概率为_.答案解析设P(*，y)，(c*，y)，(c*，y)，

24、·(c*，y)·(c*，y)*2y2c2*232<0，<*<.使得·<0的点M的概率为.6.已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(*3)2y21和圆(*3)2y24上的点，则PMPN的最小值为_.答案7解析由题意知椭圆的两个热点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1PF210，从而PMPN的最小值为PF1PF2127.7.已知椭圆1(a>b>0)的离心率等于，其热点分别为A、B、C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的值等于_.答案3解析在ABC中，由正弦定理得，由于点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CACB2a，而AB2

25、c，所以3.8.已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(a>b>0)的两个热点，P为椭圆上一点，且·c2，则此椭圆离心率的取值范围是_.答案解析设P(*，y)，则·(c*，y)·(c*，y)*2c2y2c2，将y2b2*2代进式解得*2，又*20，a2，2c2a23c2，e.9.如图，在平面直角坐标系*Oy中，椭圆C：1 (a>b>0)的右准线方程为*4，右顶点为A，上顶点为B，右热点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线

26、时，试确定直线l的斜率.解(1)由题意知，直线l的方程为y2(*a)，即2*y2a0，所以右热点F到直线l的距离为，所以ac1.又由于椭圆C的右准线为*4，即4，所以c，代进上式解得a2，c1，所以b23，所以椭圆C的方程为1.(2)由(1)知B(0，)，F(1,0)，所以直线BF的方程为y(*1)，联立方程组解得(舍往)或所以P，所以直线l的斜率k.10.(2015·安徽)设椭圆E的方程为1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满意BM2MA，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b

27、)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.解(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而，进而得ab，c2b，故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB1，从而有解得b3.所以a3，故椭圆E的方程为1.B组专项力量提升(时间：30分钟)11.从椭圆1(a>b>0)上一点P向*轴作垂线，垂足恰为左热点F1，A是椭圆与*轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心

28、率是_.答案解析由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代进椭圆方程得1，2，e.12.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左热点，P为C上一点，满意OPOF，且PF4，则椭圆C的方程为_.答案1解析设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，焦距为2c，右热点为F，连结PF，如图所示.由于F(2，0)为C的左热点，所以c2.由OPOFOF知，PFFFPO，OFPOPF，所以PFFOFPFPOOPF180°，知FPOOPF90°，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，得PF8.由椭圆定义，得PFPF2a4812，从而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆的方程为1.13.椭圆y21的左，右热点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_.答案(，)解析设椭圆上一点P的坐标为(*，y)，则(*，y)，(*，y).F1PF2为钝角，·<0，即*23y2<0，y21，代进得*231<0，*2&