8.4直线、平面垂直的判定与性质

1、 1直线与平面垂直图形条件结论判定ab，b(b为内的任意一条直线)aam，an，m、n，mnOaab，ab性质a，baba，bab2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，假如它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直性质定理假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l【思考辨析】判定下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)直线l与平面内的许多条直线都垂直，则l.(×)(2)若直线a平面，直线b

2、，则直线a与b垂直()(3)直线a，b，则ab.()(4)若，aa.(×)(5)a，a.()(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面(×)1下列条件中，能判定直线l平面的是_l与平面内的两条直线垂直；l与平面内许多条直线垂直；l与平面内的某一条直线垂直；l与平面内任意一条直线垂直答案解析由直线与平面垂直的定义，可知正确2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的_条件答案充分不必要解析若，由于m，b，bm，所以依据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，由于bm，且a，m共面，确定有

3、ba，但不能保证b，所以不能推出.3已知平面，l，P是空间一点，且P到平面、的距离分别是1、2，则点P到l的距离为_答案解析如图，PO平面PAB，lPO.PO就是P到直线l的距离，四边形PAOB为矩形，PO.4 PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则确定相互垂直的平面有_对答案7解析由于PD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDA平面PDC，平面PAC平面PDB，平面PAB平面PAD，平面PBC平面PDC，共7对5在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PAPBPC，则点O是ABC的

4、_心(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心(2)如图2，延长AO、BO、CO分别交对边于H、D、G点，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB的高同理可证BD，AH为ABC底边上的高，即O为ABC的垂心.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(2014·辽宁)如图，ABC和BCD所在平面相互垂

5、直，且ABBCBD2，ABCDBC120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积(1)证明由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD.同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BGC.又因E，F分别为AC，DC的中点，所以EFAD，所以EF平面BCG.(2)解在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOAB·sin 60°，所以VDBCGVGBCDSDBC

6、3;h×BD·BC·sin 120°·.思维升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本熟悉(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求证：PACD.证明由于AB为圆O的直径，所以ACCB，在RtABC中，由ACBC得，A

7、BC30°，设AD1，由3ADDB得，DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DB·BCcos 30°3，所以CD2DB2BC2，即CDAO.由于PD平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDAOD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°.将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD平面BCD.求证：(1)CD平面PBD.(2)平面PBC平面PDC.证明(1)ADAB，BAD90°

8、，ABDADB45°，又ADBC，DBC45°，又DCB45°，BDC90°，即BDDC.平面PBD平面BCD，平面PBD平面BCDBD，CD平面PBD.(2)由CD平面PBD得CDBP.又BPPD，PDCDD，BP平面PDC.又BP平面PBC，平面PBC平面PDC.思维升华面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要留意“平面内的直线”(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很简单的题目中，要对此进行证明(2015

9、3;重庆)如图，三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABC，点D，E在线段AC上，且ADDEEC2，PDPC4，点F在线段AB上，且EFBC.(1)证明：AB平面PFE；(2)若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长(1)证明由DEEC，PDPC知，E为等腰PDC中DC边的中点，故PEAC.又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PE平面PAC，PEAC，所以PE平面ABC，从而PEAB.因ABC，EFBC，故ABEF.又PEEFE，所以AB平面PFE.(2)解设BC*，则在RtABC中，AB，从而SABCAB·BC*.由EFBC知，得AFEABC，故2，即SAFE

10、SABC.由ADAE，SAFDSAFE·SABCSABC*.从而四边形DFBC的面积为SDFBCSABCSAFD*.由(1)知，PE平面ABC，所以PE为四棱锥PDFBC的高在RtPEC中，PE2.体积VPDFBC·SDFBC·PE·*·27，故得*436*22430，解得*29或*227，由于*0，可得*3或*3.所以，BC3或BC3.题型三线面角、二面角的求法例3如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面P

11、CD；(3)求二面角APDC的正弦值(1)解在四棱锥PABCD中，由于PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥PABCD中，由于PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，所以CD平面PAC.又AE平面PAC，所以AECD.由PAABBC，ABC60°，可得ACPA.由于E是PC的中点，所以AEPC.又PCCD

12、C，所以AE平面PCD.(3)解过点E作EMPD，垂足为M，连结AM，如图所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30°.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AM·PDPA·AD，则AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值为.思维升华求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，要害是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量平

13、面角的作法常见的有定义法；垂面法留意利用等腰、等边三角形的性质(2015·山东)如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CF平面ABC，ABBC，CFDE, BAC45° ，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小(1)证明方法一如图，连结DG，CD，设CDGFO，连结OH，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OHBD，又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.方法二如图，在三棱台

14、DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.由于BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)解如图，作HMAC于点M，作MNGF于点N，连结NH.设AB2，则CF1.由FC平面ABC，得HMFC，又FCACC，所以HM平面ACFD.因此GFNH，所以MNH即为所求的角在BGC中，HMBG，HMBG，由GNMGCF，可得，从而MN.由HM平面ACFD，MN平面ACFD，得HMMN，因此tanMNH，所以MNH60°，

15、所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.16立体几何证明冲突中的转化熟悉典例(14分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.思维点拨(1)要证线面平行，需证线线平行(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直整顿解答证明(1)如图所示，连结NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.2分N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，

16、四边形DD1KN为平行四边形3分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四边形AA1KN为平行四边形ANA1K.4分A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.6分(2)如图所示，连结BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K.四边形BC1KM为平行四边形MKBC1.8分在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C.MKB1C.12分A1B1平面A1B1C，B1C平面

17、A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1B1C平面A1MK.14分温馨提示(1)线面平行、垂直关系的证明冲突的指导熟悉是线线、线面、面面关系的相互转化，交替用法平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的前提证明过程中要留意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程确定要严谨，用法定理时要对比条件、步骤书写要整顿 方法与技巧1三类论证(1)证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为90°；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，bab；

18、线面垂直的性质：a，bab.(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性质：，aa；面面垂直的性质：，l，a，ala.(3)证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.2转化熟悉：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中查找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作关心线来解决失误与防范1在解决直线与平面垂直的冲突过程中，要留意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替用法，即留意线线垂直和线面垂直的相互转化2面面垂直的性质定理是作关心线的一个重要依据我们要作

19、一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.A组专项前提练习(时间：40分钟)1已知平面平面，l，点A，AD/l，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不确定成立的是_ABm; ACm；AB； AC.答案解析如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有不确定成立2设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是_若mn，n，则m；若m，则m；若m，n，n，则m；若mn，n，则m.答案解析中，由mn, n，可得m或m或m与相交，错误；中，由m，可得m或m或m与相交，错误；中，由m，n，可得mn，又n，则m，正确

20、；中，由mn，n，可得m与相交或m或m，错误3(2015·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成相互垂直的两个平面后，某同学得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是_答案解析由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错4(2015·福建改编)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的_条件答案必要而

21、不充分解析m垂直于平面，当l时，也满意lm，但直线l与平面不平行，充分性不成立，反之，l，确定有lm，必要性成立5如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满意_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.6.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B

22、1F的长为_答案解析设B1F*，由于AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可得A1B1，设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh.由面积相等得2×h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E .由面积相等得× *，得*.7如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_答案解析由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，且PAACA，BC平面PAC，BCAF.AFPC，且BCPCC，AF平面PBC，AFPB，又AE

23、PB，AEAFA，PB平面AEF，PBEF.故正确8点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD1；DPBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是_答案解析由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1平面AD1C，直线BC1平面AD1C，所以直线BC1平面AD1C.所以点P到平面AD1C的距离不变，所以体积不变故正确；如图，连结A1C1，A1B，可得平面AD1C平面A1C1B.又由于A1P平面A1C1B，所以A1P平面ACD1，故正确；当点P运动到B点时，DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1

24、.故不正确；连结DB1，由于直线AC平面DB1，DB1平面DB1.所以ACDB1.同理可得AD1DB1.所以可得DB1平面AD1C.又由于DB1平面PDB1.所以可得平面PDB1平面ACD1.故正确综上，正确的序号为.9(2014·湖北)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证：(1)直线BC1平面EFPQ；(2)直线AC1平面PQMN.证明(1)如图，连结AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1BC1，由于F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1，从而BC1FP.而FP平面EF

25、PQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)连结AC，BD，则ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1，所以BDAC1.由于M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.10.(2014·山东)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60°，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D

26、1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值(1)证明由于四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC.又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连结AD1，如图(1)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，由于CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1MD1A.又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2)解由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB，过点C向AB引垂线交AB于点N，连结D1N，如图(2)由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1ABC的平面角在RtBNC

27、中，BC1，NBC60°，可得CN.所以ND1.在RtD1CN中，cosD1NC，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.B组专项力量提升(时间：30分钟)11如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在_直线AB上直线BC上直线AC上ABC内部答案解析由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1.又AC面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上12设，是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正

28、确的一个命题：_(用代号表示)答案(或)解析逐一判定若成立，则m与的位置关系不确定，故错误；同理也错误；与均正确13已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，假如把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的全部新命题中，真命题有_个答案2解析若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题14(2015·湖北)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四周体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且P