第十一章 矩阵

1、湖南教育出版社湖南教育出版社第十一章 矩阵 11.1 矩阵的概念及其运算 11.2 逆矩阵 11.3 矩阵的初等变换湖南教育出版社湖南教育出版社下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算1. 矩阵的概念矩阵的概念首页首页上页上页下页下页2. 矩阵的运算矩阵的运算湖南教育出版社湖南教育出版社11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算1. 矩阵的概念矩阵的概念11112211211222221122.,.,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxbmnmmnnaaaaaaaaa.212222111211首页首页上页上页下页

2、下页湖南教育出版社湖南教育出版社ija11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算首页首页上页上页下页下页 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A()ijm naA().ija定义定义1m n 矩阵矩阵:矩阵的第i 行j 列的元素元素.A湖南教育出版社湖南教育出版社如果矩阵A的元素全为实数,则称A为实矩阵实矩阵.如果全为复数,则称为复矩阵复矩阵.如果全为零,则称为零矩阵零矩阵,记作0.11121A().naaa11211A.maaa行矩阵行矩阵列矩阵列矩阵11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社当 m=n 时, 即矩

3、阵的行数与列数相同时, 称矩阵为方阵方阵.11220000A00nnaaa0000A00aaa 对角矩阵对角矩阵 数量矩阵数量矩阵1122Annaaa1122A,nndiag aaa11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社100010001 111212220A00nnnnaaaaaa11212212000Bnnnnbbbbbbn阶阶单位矩阵单位矩阵上三角矩阵上三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵E11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 如果 都是mn矩阵,并且它们的对应元素都相等,则

4、称矩阵A和矩阵B相等,记作A=B.A()B()ijijab与372A,B,33abcdabcd例例1 已知 且A=B,求a, b, c, d.解解, 3,3,23, 7badcdcba定义定义25,2,2,1.abcd 11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 两个mn矩阵 对应的元素相加得到mn矩阵,称为矩阵A与矩阵B的和,记作A+B.11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算2. 矩阵的运算矩阵的运算(1) 矩阵的加法与减法矩阵的加法与减法定义定义3A()B()ijijab与1 011311 1 0 31 103 02323 1

5、42 33 12 41 4 2 AB()()().ijm nijm nijijm nabab例如例如求两个矩阵和的运算叫作矩阵的加法矩阵的加法.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社把mn矩阵 中各元素变号得到的矩阵,称为矩阵B的和负矩阵,记作B.nmijb)(B.)(Bnmijb).(BBAA矩阵的减法矩阵的减法1232341 223341112151142 11 154101例如例如11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算注意注意 只有当两个矩阵的行数和列数都分别相同时,才

6、能进行加减运算矩阵运算满足以下运算规律：矩阵运算满足以下运算规律：（1）交换律 A+B=B+A.（2）结合律 (A+B)+C=A+(B+C).（3）A+0=A.（4）A+ (A) =0首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社规定: kA=Ak. 以数 k 乘以矩阵 的每一个元素所得的矩阵，称为数数k 与矩阵与矩阵A的乘积的乘积，记作kA.A()ijm na111211112121222212221212.A.nnnnmmmnmmmnaaakakakaaaakakakakkaaakakaka3960333132011132011311.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算（2）数

7、与矩阵相乘）数与矩阵相乘定义定义4首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社(1) ()A( A).klk l(2) (AB)AB.kkk(3) ()AAA.klkl11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算矩阵运算满足以下运算规律：矩阵运算满足以下运算规律：(4) 1AA.(5) 0A0.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社246628(1) 2A 3B 2384 104 1264224621133(2) X(BA).416164161633333 11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算246A,8410628B.4126(1) 2A3B.求(2) A3

8、X=B, X.若 求 例例2 已知4 188 612 24141412.16 128 36 20 1844438 首页首页上页上页下页下页解解湖南教育出版社湖南教育出版社A(),B(),ikm skjs nab设矩阵则由元素1 12 21.sijijijissjikkjkca ba ba ba b),., 3 , 2 , 1;,., 3 , 2 , 1(njmiC(),ABijm nmnc构成的 行 列矩阵称为矩阵 与 的乘积.CAB.11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算（3）矩阵的乘法）矩阵的乘法定义定义5首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社321A,23513B5

9、4 .36例例3 已知求AB与BA 13321AB542353611.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算解解3 12( 5)( 1)33324( 1)61011.21( 3)( 5)5323( 3)4563224 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社矩阵的乘积不满足交换律矩阵的乘积不满足交换律.971472225201227ABBA11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算1 332123( 3)1( 1)355342524( 3)( 5)( 1)453362326( 3)3( 1)65 1 3321BA5 423536首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出

10、版社矩阵的乘法满足以下规律（假设运算是可行的）：(AB)C=A(BC).A(B+C)=AB+AC.(B+C)A=BA+CA.(3) (AB)=( A)B=A( B)kkk（其中k为常数）注意注意 两矩阵的乘法与两数的乘法有很大的差别.1111A0, B0.1111111100AB0.11110011.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算（1）结合律）结合律（2）分配律）分配律首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社在矩阵运算中，如果 且 也不能推出 成立.AB=ACA0B=C102020A,B,C,0000012020AB, AC.0000ABAC.CB 11.1 矩阵的概念及

11、其运算矩阵的概念及其运算首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11121311121322122232122231 0E AA.0 1aaaaaaaaaaaa1112131112133212223212223100AE010A.001aaaaaaaaaaaa解解 .11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算例例4 设111213212223A,aaaaaa2310010E, E010 .0100123E AAE .求与首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算一般地有 AEA,E AA.m nnm nmm nm n定义定

12、义6设A是n阶方阵，k为正整数，则我们称AAAAkk 个为方阵A的k次方幂方幂，简称为A的k次幂矩阵矩阵A的方幂满足以下运算法则：的方幂满足以下运算法则：(1) A AA.klk l(2) (A )A .klkl(k, l为正整数 )(AB)A B (1).kkkk首页首页上页上页下页下页一般来说湖南教育出版社湖南教育出版社. 例例5 计算 ).(101为正整数nn解解101000,101011.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算AAEB.B2000000B.0000002,B.00nn首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社所以，由二项式定理，得EBBE.122(1)A(E

13、B)EEBEBB2nnnnnnn nn11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算100010EB.0101nnn首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 把矩阵A所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为A的转置矩阵转置矩阵.A111212122212.A.nnmmmnaaaaaaaaa112111222212.A.mmnnmnaaaaaaaaa11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算（4）矩阵的转置）矩阵的转置定义定义7首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算矩阵的转置满足下列运算法则：矩阵的转置满足下列运算法则：(1

14、) (A )A . (2) (AB)AB.(3) ( A)A ().kkk为常数(4) (AB)B A . 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例6 设201A,13217B42 .20 (AB) . 求解法一解法一17201014 42132171320， 11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算017 (AB).1413解法二解法二21142017(AB)B A03.720141312 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 由n阶方阵A的元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式行列式.| A |.11121312122232123.A

15、.nnnnnnnaaaaaaaaaaaa11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算（5）矩阵的行列式）矩阵的行列式定义定义811121312122232123.|A|.nnnnnnnaaaaaaaaaaaa首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社矩阵A的行列式满足下法则:(1) | A | | A |. (2) | A|A|.nkk(3) | AB| | A | | B|.11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社解解132511171117 AB56.223422221325|A|8, |B|7, |A|B| 56.22

16、34 |AB| |A | |B|.注意注意 一般来说 | A|A|.kk11.1 矩阵的概念及其运算矩阵的概念及其运算例例7 设13A,22| AB| | A | | B|.试验证25B.34首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.2 逆矩阵逆矩阵1. 逆矩阵的概念逆矩阵的概念首页首页上页上页下页下页2. 逆矩阵的求法逆矩阵的求法湖南教育出版社湖南教育出版社11.2 逆矩阵逆矩阵 设A是一个n阶方阵,E是一个n阶单位矩阵.如果存在一个n阶方阵B,使 AB=BA=E,则称B为A的逆矩阵,简称为A的逆阵,或A的逆逆这时称A为可逆矩阵,简称可逆阵.1010A, B,11111010

17、10ABE,111101101010BAE.1111011. 逆矩阵的概念逆矩阵的概念定义定义1例如例如 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社10A0011122122Bbbbb1112111221221010AB.000001bbbbbb并非任意一个非零方阵都有逆矩阵.例如例如因此，矩阵A不可逆.11.2 逆矩阵逆矩阵首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.2 逆矩阵逆矩阵性质性质1 如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是惟一的设B，C都是A的逆矩阵，所以A的逆矩阵是惟一的B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C性质性质2 可逆矩阵A的逆矩阵1

18、11A,(A )A.是可逆矩阵 且1 AA是 的逆矩阵，11 A(A )A(A )E.证证证证11AAA AE11(A )首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.2 逆矩阵逆矩阵性质性质3 可逆矩阵A的转置矩阵11A(A )(A ) .也是可逆矩阵,且证证11A (A )(AA )EE,11(A ) A(A A)EE, 11 (A )(A ) .性质性质4 两个同阶可逆矩阵A、B的乘积是可逆矩阵，且111(AB)B A .111111 (AB)(B A )A(BB )AAEAAAE,111111(B A )(AB)B (A A)BB EBB BE,111 (AB)B A .证

19、证111(AB)A B .注意注意 一般来说，首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 若n阶矩阵A的行列式 则称A为非奇异矩阵非奇异矩阵.反之,若 则称A是奇异矩阵奇异矩阵. |A | 0,|A| 0, ABBAE. |A |B| |AB| |E | 1,|A| 0,A所以 为非奇异矩阵.11.2 逆矩阵逆矩阵2. 逆矩阵的求法逆矩阵的求法定义定义2定理定理1 若方阵A可逆，则A为非奇异矩阵.证证 A,可逆首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社的行列式 中元素 的代数余子式 所构成的方阵 111212122212.A.nnnnnnaaaaaaaaa| A |ijaA

20、ij112111222212AA.AAA.AAA.AnnnnnnA的伴随矩阵伴随矩阵 A*定义定义311.2 逆矩阵逆矩阵首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 求下列三阶矩阵A的伴随矩阵 A*:123A212 .133解解1 11 21 3111213122221A( 1)3,A( 1)4,A( 1)5,331313 3 13 23 3313233231312A( 1)1 ,A( 1)4,A( 1)3.122221 11.2 逆矩阵逆矩阵2 12 22 3212223231312A( 1)3,A( 1)0,A( 1)1,331313 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社

21、湖南教育出版社11.2 逆矩阵逆矩阵112131122232132333AAA331 A*AAA404 .AAA513 11A0,AAA* .|A|若则方阵 可逆,且定理定理2 121213112131212223122232313233132333AAA|A|00 AA*AAA0|A|0|A|E,AAA00|A|aaaaaaaaa AA* | A | E. |A| 0,又A* AE.|A|1A首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社推论推论 设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使AB= E(或BA= E),则1BA . | A | 0,A.可逆1111BEB(A A)BA (AB

22、)A EA .证证ABE|AB| 1,|A |B| 1,11.2 逆矩阵逆矩阵首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社123 | A |21240,133331 A*404 ,513 又133133144411 AA*404101 .|A|451351344411.2 逆矩阵逆矩阵例例2 求例1中矩阵A的逆矩阵. 解解 A.可逆首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 求下列矩阵的逆矩阵：221315 .323解解221 | A |31510,323749 A*637324又11.2 逆矩阵逆矩阵 A.可逆17491 AA*637 .|A|324首页首页上页上页下

23、页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求 的逆矩阵，其中 Aabcd. 0bcad解解 |A|0.abadbccd11122122 A,A,A,A,dcba 又11 .abdbcdcaadbc11.2 逆矩阵逆矩阵 A.可逆首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.2 逆矩阵逆矩阵例例5 若A是非奇异矩阵，且AB=AC,则B=C.证证因为A为非奇异矩阵，所以A可逆.11A (AB)A (AC).BC.首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社,.,.,.22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa11.2

24、逆矩阵逆矩阵111212122212A,nnnnnnaaaaaaaaa12X,nxxx12B.nbbb首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社.2121212222111211nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaaAXB.11A AXA B.1XA B.系数矩阵系数矩阵首页首页上页上页下页下页11.2 逆矩阵逆矩阵湖南教育出版社湖南教育出版社.3323, 253, 122321321321xxxxxxxxx解解 .321323513122321xxx例例6 解线性方程组423736947323513122112211749112 X315263729 .323332435

25、12312,9,5.xxx 首页首页上页上页下页下页11.2 逆矩阵逆矩阵湖南教育出版社湖南教育出版社11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 1. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换首页首页上页上页下页下页2初等矩阵初等矩阵3. 用矩阵的初等变换求逆矩阵用矩阵的初等变换求逆矩阵湖南教育出版社湖南教育出版社11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 1. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义1 下面的三种变换称为矩阵的初等行（列）变换初等行（列）变换： (1) 交换矩阵的两行（列）；(2) 用非零数k乘以矩阵的某行（列）；(3) 把矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）矩阵的初等行变换与初等列变换,

26、统称为矩阵的初等变换初等变换首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 例如例如213112211A133143118rrrr 32122110552505525rr 1221105525B.0000首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 如果矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B,就称矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B等价等价. BA任意一个矩阵 经过若干次初等变换，均可化为下面的标准形式：A()ijm naE0D.00r11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 定义定义2D矩阵矩阵首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 将

27、下列矩阵A化为D矩阵的形式：2123A4135 .20121213112221232123A4135011120120111rrrrr 3221323142412312112310000111011101110111rrccccccccccr 解解 11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 10000100.0000首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵初等矩阵11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 2初等矩阵初等矩阵定义定义3（1）交换E的第行（列）与第行（列）得到的初等矩阵. 11011E( , ),11011ii jj 第

28、 行第 行首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社第2、3行交换，得到的初等矩阵是10000100E0010000110000010E(2,3).0100000111.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 (2) (0)X()k ki用数乘 的第 行 列 得到的初等矩阵.11E( )11ii kk第 行首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社例如例如10000100E00100001第3行乘以k，得到的初等矩阵是11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 10000100E 3( ).0

29、000001kk首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社(3) 用数k乘E的第j行( i列)加到第i行( j列)上得到的初等矩阵.11E,(),11ijkij k第 行第 行11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社第3行乘以数k加到第2行，得到的初等矩阵是10000100E001000011000010E 2,3( ).00100001kk11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 例如例如首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 例例2 设1112131421222324313233

30、34A,aaaaaaaaaaaa001E(1,3)010 ,1001000100E 2,1( ).00100001kkE(1,3)A, AE 2,1( ) .k求111213143132333421222324212223243132333411121314001E(1,3)A010,100aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa解解首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社1112131421222324313233341000100AE 2,1( )00100001aaaakkaaaaaaaa11.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 111212131421222223243132323334.akaaaaakaaaaakaaaa行初等变换行初等变换 :左乘左乘列初等变换列初等变换 :右乘右乘首页首页上页上页下页下页湖南教育出版社湖南教育出版社化为D矩阵的形式.101A210325213132232101101A210012325022rrrrrr 11.3 矩阵的初