数列求和技巧与策略

1、1、2、3、4、5、数列求和的基本方法和技巧 就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 .n(n 1) d2d(q 1)等差数列求和公式： Sn等比数列求和公式： SnSnSnSnnk k1 nk2k1nk3 k11n(n 1)216n(nn(a1 an )2 na1 a1(11)(2nna1例 1 已知 log3 x12n(n11)2解：由 log 3 xlog231nqn)1qa11anq q(q 1)，求 x1)的前 n 项和.log23 log3 xlog3 2由等比数列求和公式得S

2、nx3利用常用公式)例 2 设 Sn1+2+3+n，nN *, 求f (n)解：由等差数列求和公式得Sn f (n)(n 32)Sn 1164n 34 当 n ，即8x(1 xn)1x12(1Sn(n 32)Sn 11 n(n 1)，2n2n2 34n 64Snn8时，1( n 8 )2 50 n1这种方法是在推导等比数列的前 n a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列 例 3 求和： Sn解：由题可知，设 xSn得1n)2n)1 11 1 2n2的最大值 .1Sn 1 (n 1)(n 2)2150f (n)max max 50 二、错位相减法求和 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于

3、求数列(2n 1)xn 11 3x 5x2 7x3n1 (2n 1)xn 1 的通项是等差数列 (2n 2x3利用常用公式)a n· bn 的前 n 项和，其中1x 3x2 5x3 7x 4(1 x)Sn 1 2x 2x22n 1的通项与等比数列1)xn2x4再利用等比数列的求和公式得： (1x)Sn 的通项之积 (设制错位) (错位相减). 1)xn2xn 1 (2nn12x 1 xn 1 (2n 1x (2n 1)xn (1 x)1)xnn1S (2n 1)xn 1Sn2(1 x) 例 4 求数列 2, 42 , 63 , ,2nn , 前 n 项的和 .2 22 232n2n1

4、 2nn 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 1n 的通项之积 2n2n4224231)Sn223解：由题可知，设 Sn2Sn22222623624得 (1Sn22212n1n2n 2n 2n 2n 1 2232n2n12n122422n2n2n设制错位)(错位相减 )练习：2求： Sn=1+5x+9x 2+······2解： Sn=1+5x+9x +···· 两边同乘以 x ，得 2+9x3+······ +(4n -3)x1-

5、x ) Sn=1+4( x+ x 2+x3+·· Sn=1+5+9+····· 1 4x(1-x n)Sn= 1-x 1-xx Sn=x+5 x- 得， 当 x=1 时，当 x 1时，这是推导等差数列的前 可以得到 n个 (a1 an). 例 5 求证： Cn0 3C1n 证明： 设 Sn Cn0n-1+(4n -3)x n-1·· +(4n -3)xn-1nx )- ( 4n-3 ) xn 项和公式时所用的方法，+2· +( 4n-3 ) =2n2 -n +1- (4n-3 )xn 三、反序相

6、加法求和 就是将一个数列倒过来排列(反序)nn(2n5Cn2(2n 1)C3Cn1 5Cn2把式右边倒转过来得Sn (2n 又由 Cnm Sn (2n+得 2Sn Sn 例 6 求 sin2 1 sin 2 2 解：设 S sin2 11)Cnn (2nnmCn1)Cn0(2n1)Cnn 1可得(nsin2 3sin 2 21)(2n2)(Cn02n1)C1nCn1sin 2 88 sin2 3将式右边反序得2S sin 2 89 又因为 sinx +得 2S (sin 21 S 44.5 练习：已知 lg(xy)=a ，求 S， 解 : 将和式 S 中各项反序排列，得 s lg yn lg(

7、xn 1y) lg(xn 2y2) 将此和式与原和式两边对应相加， 2S= lg(xy) n+lg(xy)n+ · (n+1) 项sin2 88cos(90cos2 1 )(n 1)2n1)Cnn 3C1nCn03Cnn 1Cn1 nsin2 892sin2 88sin2 322 x ), sin 2 x cos2(sin 2 2 cos2 2其中 S=lg xnsin 2 21lg(xn1y)Cnn . Cnn ) 2(n 1) 2n的值2sin2 89sin21. ，再把它与原数列相加，就(反序)反序相加)(反序)反序相加)22(sin 2 89cos2 89 ) 89lg(xn

8、 2y2) ? lgyn? lg得+ lg( xy)n =n(n+1)lg(xy)1 lg( xy)=a S= 2 n(n+1)a四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列， 然后分别求和，再将其合并即可 .11 例 7 求数列的前 n 项和： 1 1, 4, 2 7, aa211解：设 Sn (1 1) ( 4) ( 2 7)aa将其每一项拆开再重新组合得1n1a3n 2 ，1(a1n 1 3n 2) aSn1(1a当 a 1 时，Sn1n 1 ) (1 a(3n 1)n473n 2)(3n 1)n(分组)分组求和)当

9、a 1 时，Sn 例 8 求数列 n(n+1)(2n+1) 解：1na11a的前 n 项和 .(3n 1)n1 aa a1(3n 1)n2n Snk(kk11)(2kn1)k(2k313k2k)将其每一项拆开再重新组合得nnnSn 2k33k2kk1k1k1 2(13 233 n) 3(1222n2)(1 n2 (n 1)2 n(n1)(2n1) n(n1)k3k2设 ak k(k 1)(2k 1) 2k 322 2 2 n(n 1)2 (n 2)n)(分组)分组求和)2解：Sn112131?(n 1n)2482n? 1n)2n(123 ?1 n) (21122 23112n(n1) 12n练

10、习：求数列 11,2 1,31 ,?,(n 1n ),? ? 的前 n 项和。2 4 82n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 裂项法的实质是将数列中的每项 . 通项分解 (裂项) 如：通项)分解，然后重新组合，1) an3) an5) an(6) anf (n 1)1n(n 1)1f (n)2)sin1tan(n 1)tannn(n 1)(n 2)n 2 1n(n 1) 2n1n112 n(n 1) 2(n 1) nn(n 1)cosn cos(n 1)(2n)2(2n 1)(2n11)(n 2)1n 1 nnn 2n 1 (n 1)

11、2nan1)11 2 (2n2n 1)(n12n,则S1(n 1)2n11例 9 求数列 ,1解：设 an1, 的前 n 项和. n1例 10例 11解：则 Snn n 1111 2 2 3 ( 2 1)n在数列 a n 中，解：an裂项)11an(3n12n n 122 数列 b n的前 n 项和1112) (121)n1 bnSn 8(18(1求证：cos0 cos11设Scos0 cos1 sin1cosn cos(n 1)1Scos0 cos11 1 (tan 1sin11(tan 89sin1 原等式成立1 11 5，3 5，1151练习：求 3 ，1解：1312(112 (112(

12、1 9)n n 11 n)裂项求和)(n又 bnan，求数列 b n的前 n项的和 .an 1118(nnn11)111) (1338nn11cos1 cos21cos1 cos2tan(n 1)cos1 cos2裂项)14)(1nntanntan0 ) (tan2tan0 )sin1n11)裂项求和)cos88 cos891cos1sin21cos88 cos89裂项)cos88 cos89tan1 ) (tan3cos1cot1 2sin21裂项求和)tan2 ) tan 89tan88 163 之和。111 3 3 51 1 1 11) 12(15 17)11571571(1163112

13、(3 5113549179112 7 9)117935113)13) ( ) ( ) ( )1六、合并法求和将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一针对一些特殊的数列， 起先求和，然后再求 Sn.例12 求 cos1°解：设 Sn cos1°+ cos2 cosn cos(180 n ) (找特殊性质项) Sn(cos1°+ cos179 °) +( cos2°+ cos178 °) + (cos3°+ cos177 °) +···+ cos2 &

14、#176;+ cos3 °+··· + cos178 °+ cos179 °的值 °+ cos3 °+··· + cos178 °+ cos179 ° n)合并求和）+(cos89°+ cos91 °) + cos90 0例 13 数列 a n：a11,a23,a3 2,an 2an 1an ，求 S2002.解：设 S2002 a1a2a3 a2002由a1 1, a2 3,a3 2, an 2an 1an 可得a4 1,a53, a6 2,a

15、7 1, a83, a9 2, a10 1,a113, a12 2a6k 1 1, a6k 2 3, a6k 3 2,a6k 41, a6k 5 3,a6k 62 a6k 1 a6k 2a6k 3a6k 4a6k 5a6k 6 0（找特殊性质项） S2002 a1 a2 a3a2002（合并求和）(a1 a2 a3a6)(a7 a8 a12 )(a6k 1a6k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 ) a1999 a2000a2001a2002 a1999 a2000a2001a2002a6k 1a6k 2a6k 3a6k 45例 14 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 9

16、,求log 3 a1 log3a2log 3 a10 的值.解：设 Sn log 3 a1 log 3 a2log 3 a10由等比数列的性质 m npqaman apaq（找特殊性质项）和对数的运算性质 log a MlogaNlog a M N 得Sn (log 3a1 log3 a10)(log 3 a2log3a9)(log3 a5log3a6 ） （合并求和） (log 3 a1 a10 ) (log 3a2 a9 )(log 3 a5 a6 ) log3 9 log39log3910七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析， 找出数列的通项及其特征， 然后再利用数列的通

17、项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法 .例 15 求1 11 111解：由于 111k个1 1 11 111111n个1 1 999 91之和.k个1111 1n个19 1(10k91)找通项及特征）11 (101 1)91 1 2 (101 102919(1021031)13(103 1)91(1 19n10n)1n个11(10n91)分组求和）1)1 10(10n 1)9 10109n) 1 (10n 181例 16 已知数列 a nan(n 1)(n 3),求 n解： (n 1)(a(n111)(anan 1)的值.n an 1) 8(n 1) n n 1 (n 1)(n 3) (n