立方体表面展开图规律的探索

1、立方体表面展开图规律的探索 3.2直棱柱的表面展开图教学片断教学背景3.2直棱柱的表面展开图是浙教版新教材八年级上册第三章第二节的学习内容.这节课的教学目标是四点：1. 了解直棱柱的表面展开图的概念；2. 会在简单情况下判断一个平面图形是否直棱柱的表面展开图，培养学生的空间想象能力；3. 会画简单直棱柱的表面展开图；4. 能根据展开图判断和制作立体模型. 教学重点是：直棱柱的表面展开图,包括会认和画展开图.教学难点是:立方体的表面展开图的辨认.由于在这套教材体系里，学生是第一次接触空间立体图形与平面图形的相互转化，因此，考虑到本节内容自身的数学特点，以及学生学习数学的心理规律，我认为在教学中应

2、该强调从学生已有的生活经验出发，充分重视数学过程，提供足够的操作与交流的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、尝试、推理、交流、反思等活动，从而帮助学生建立初步的空间观念，培养他们的空间想象能力.所以，我把这一节课定位于一节数学操作活动课.鉴于这样的定位,我给出了相应的教学设计.我发现这节课的表面展开图重点不在一般的直棱柱。而主要是立方体的表面展开图。于是我下面就重点给出立方体表面展开图规律的探索过程及结论，包括由杜登尼的著名谜题“蛛蝇问题”引出的空间立体图形与平面图形的相互转化，即从立方体的表面展开图深化到长方体的表面展开图的系列问题。预设与生成一、教学准备教师和每个学生准备六个边长为8厘米

3、的正方形，并用透明胶粘成一个立方体纸盒,便于进行课堂内的“剪与展”活动；分好四人学习小组；多媒体课件，辅助演示教学。二、教学片断 （一）、片断一：立方体表面展开图规律的探索1、形成概念 （1）师：请同学们将事先准备好的立方体纸盒，沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平.你能得到怎样的图形? 你一共剪了几刀?生：七刀。师：为什么？观察一下六个面相连需要几条棱？生：5条棱。噢总共有12条棱，剩下5条棱，那么当然要剪七刀。（学生自己悟出）（2）请学生展示一下。通过展示学生的作品,让学生直观感受由一个立方体展开得到的平面图形是不唯一。 （3）电脑演示立方体展开的过程，使学生进一步直观感受和形成立方

4、体表面展开图的概念. （请几位学生出示，最好有意挑选几个不同展开图作为样本，然后给出立方体的表面展开图的定义：将立方体沿某些棱剪开后铺平，且六个面连在一起，这样的图形叫立方体的表面展开图。） 2、合作交流师：以四人小组为单位，得出一个立方体的表面展开图共有几种情况？ （学生交流后请四人小组代表总结本组的情况，教师对各种情况进行总结，对不能得出的情况作演示，并总结出11种情况。）1234561178910师：我们应该探索一种画图的规律或者方法，保证我们能一个不少的将各种展开图画出来。要找到规律，大家不妨将以上画出的展开图按照什么规律分类归纳？生：一四一型：1、2、3、4、5、6；一三二型：7、8

5、、9；二个三型：10；三个二型：11。师：口诀：“一四一” “一三二”，“一”在同层可任意；“三个二”，成阶梯，“二个三”，“日”状连；异层必有“日”，整体无 “凹”、“田”。师：立方体相对两个面在其展开图中的位置有何关系？生：对面不相连。师：立方体表面展开图的周长是小正方形边长的多少倍？生：14倍。3、归纳规律(1)展开图规律之一:立方体的展开过程需要剪七刀。(2)展开图规律之二: 异层 “日”字连,整体没有“田”。(3)展开图规律之三: 对面不相连。(4)展开图规律之四: 立方体表面展开图的周长是小正方形边长的14倍。规律五绝平面“七刀”现；对面“不相连”；“日”字异层见；整体没有“田”。

6、（对立方体表面展开图的概念,课本使用的是描述性的语句,所以这个概念应该是体验性的,应该由学生直观感受得到。因此,在这个环节,学生动手操作必不可少。在这个环节,原本我的设计是在得出概念之后,继续归纳立方体的11种表面展开图及其分类口诀。试教中发现时间花费很多,使整节课的教学目标发生了偏移,于是改变了第一次的设计,把这个环节的目标定位于直观感受和形成立方体表面展开图的概念。） 4、例题解析，学会识图例1：下列图形可围成一个立方体的是（ ）A. B. C. D.(设计这个例题使学生可以巩固立方体展开图的规律，事实证明学生很快掌握了规律，能很快的作答。)练习1让想象力更充分一些：添上一个小正方形,使下

7、图折叠后能围成一个立方体,共有几种添法？(错误) （正确） （正确） （正确） （正确）(错误，没有“一二三型”) （通过这个练习可以发现学生对于已经总结出的规律并不是掌握的很好。例如：“一三二型”，学生则理解为只要有一二三就可以了，所以出现了如图的错误。下次在讲解时还是要强调一下，避免错误。）例2：下图是一个立方体的表面展开图吗？如果是，请分别用1，2，3，4，5，6中的同一个数字表示立方体和它的展开图中各对对应的面（只要求给出一种表示方法）。214356（师生共同解析例1.对这个问题，学生在前一环节得出过这种“三个二”型的表面展开图，那么第一问就很显然；在验证之后再让学生对照填写各对对应面

8、的数字.不同的折叠方法对应了不同的填写结果.例题的原本要求是“只要求给出一种表示方法”，而通过各小组组内及组间的交流，我们的学生可以自然得到多种不同的表示.通过学生代表向全班同学演示自己折叠的过程以及填数过程，引导学生体会和提炼折叠的方法：可先选定一个面作为起始面，这个面不妨看作原立方体的下底面，然后依次折叠成立方体.在折叠的过程中，先想一想，当思维有困难时，再折一折.这个环节是学生建立空间观念的关键之处.因此，提供足够的操作与交流的时间，显得尤其必要.惟有如此，学生才能在自己独立的思维空间里进行“想一想”，并借助于学具“折一折”，在想象与操作的交互中，空间想象的思维能力得以提升.这样的直接经

9、验是任何老师的教都无法取代的.此外还可以深化立方体表面展开图，面面之间的关系，由此总结如下。原来以为学生掌握得会很好，后来作业中发现，学生在想像哪两个面相对比较难。所以在以后的教学中，我应该强化这方面的练习。如果真的还是有难度，就让学生自己动手操作一下。）1234561178910111111222222222221111133333333333444444444555555555556666666666644练习2.让思维更活跃一点：如图，这是一个正方体的展开图，如果将它组成原来的正方体，哪些点与点P重合？（通过这个例题可以体现学生对于立方体展开图中正方形哪几个顶点重合还不是很清楚。其实归根

10、结底是由于学生对于哪几个面是相对的，相连的不清楚，导致不会做。所以例2的讲解和扩展还是很重要的）练习3.如图是一个正方体纸盒的展开图，图中的6个正方形中bc7a-1分别已填入了-1、7、a、b、c，使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数,求a,b,c的值:（这题的练习，其实在七年级上学期学相反数的时候已经做过，出现在这里的目的还是为了强化学生对于立方体展开图相对面的掌握，相对比较简单。）ABDC练习4将前、右、上三个面做有标记的立方体盒子展开，以下各示意图中是它的展开图的是（ ）（学生可以利用课前准备的六个边长为8厘米的正方形，自由粘贴组合成 “六连块”，及立方体。进一步让学生

11、在“先想一想，再折一折”的活动过程中，体会“展开与折叠”的对应转化，积累经验，建立自己的空间观念.）（二）、片断二：挑战谜题，揭示本质：1、情境引入师：有一个由铁丝折成的立方体框，立方体的边长为4米，在框的A处有一只蚂蚁，在B处有一粒蜜糖，蚂蚁想吃到蜜糖， 所走的最短路程是多少米？ BCA生：8米,有2条路线。（学生很容易解决本题）师：其余条件不变，把B处的蜜糖改成C处，又该如何？生：12米,有6条路线。（学生需要思考，可以电脑演示）师：那将“立方体的铁丝框”改成“立方体的纸盒”，上述两题结论又该如何呢？生：AB米，AC（学生产生问题）C（设计这个情境的理由：课本上节前图是杜登尼的著名谜题“蛛

12、蝇问题”极具挑战性，提供了很好的问题情境，但要求偏高.而将谜题稍作改编，降低了对学生空间想象能力的要求，更有利于激发学生探究与学习的愿望.在课堂内我依次呈现两个问题，并分别解决.让学生感受到要解决此问，需要将空间立体的图形向平面图形转化，点明本节课的重要思想方法：立体转化平面. 对第二问，部分学生能答出其中两种路线（由前侧面到上底面或由前侧面到右侧面），并不打算比较求解 “最短路程”，没有人提到第三种路线：由下底面到后侧面.也没有学生提出要进行比较.也许学生只停留于“两点之间线段最短”，还根本来不及思考“最短”的更深内涵，我便将课引入预设的轨道：在此时揭示课题.）CB2、梯度变式，步步为营（1

13、）热身探索一：如图有一边长4米立方体形的房间，一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处。A 试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？ 若苍蝇在C处，则最短路程是多少？ 师：从A到B的最短路程就是线段AB=cm，从A到C的最短路程只要将平面展开，根据两点之间线段最短，就是线段AC=cm。（2）热身探索二：CBCAD如图有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米. 一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在C处。试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？AA师：在前侧面 BCACFBCACG在左侧面ABCAHALBCABCAAM 在底面（3）挑战谜题：“蜘蛛和苍蝇”问题在一个长方形长、宽、高 分别为3米，

14、2米，2米长方体房间内，一蜘蛛在一面的中间，离天花板0.1米处(A点)，苍蝇在对面墙的中间,离地面0.1米处(B点),试问:蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少?AB探究活动：小组讨论并探究怎样利用表面展开图和两点间线段最短的原理解决节前图的著名迷题。展开形式：以四人小组为单位，由组长分配好任务，先独立完成，再组内交流。（有了前面的良好的铺垫和热身，学生知道了解决问题的方法是由特殊到一般的科学方法。此时可以大胆的放手给学生，通过合作学习来完成本道题目，当然，教师必须在最后给出小结。以完善学生的知识结构。利用长方体的表面展开图解决引课的谜题，首尾呼应.我是按照分类思想讨论出所有情形，归纳为三类六

15、种路线，其实最后路程长度即两种类型：底+侧，侧+侧，然后比较得到“最短路程”.接着将谜题条件改为 “蜘蛛和苍蝇都在屋子外面”，那么共有几种路线？最短路程是多少？“屋子的长、宽、高分别是3米、4米、5米”，那么共有几种路线？最短路程是多少？）教学反思：回顾整个备课过程，从拿到教材，首先想到的就是定目标、定主题.我把这节课的主题定位为操作活动课，既然是操作活动课，本课的侧重点自然就放在学生的动手操作，亲自体验上. 兴趣是最好的老师。学生对数学的兴趣究竟来源于何处？联系学生的生活经验、社会事件和趣闻轶事，创设现实情境显然是一种有效方法，本节课中的“挑战世纪谜题”就充分的体现了这一点。然而，“问题是数

16、学的心脏”，根据学科特点创设问题情境应是一种更有效的激趣手段。可以看出，学生对本节课的立方体的平面展开图产生了浓厚兴趣,这不仅来源于极具现实意义的学习素材，更在于问题中开放性、多样性的不同展开图所给的暇想空间、处理例题时步步追问能紧扣思维脉博，最后引伸的问题带来了挑战性的悬念。提出问题是知识之母，是由已知通向未知的桥梁。只有让学生在探索问题之中学会提出问题，才能最终体验到数学的抽象美、严谨美等内在魅力，形成稳定的、内在的学习兴趣。在整个教学过程中，我以立方体表面展开图的规律探索为重点，引导学生能够容易判断平面六连块是否是立方体的表面展开图。此过程中也发现了问题，对于在表面展开图中哪两个面是相邻

17、的，是相对的，学生光靠想不能完全解决一些问题，这时就要以学生“想一想，再折一折”为学习活动的开展形式，给学生以充分的时间思考、观察、动手和验证，关注学生“你是怎么想的”，充分暴露他们的思维过程，给予肯定和点拨。我真正做到了是“学生活动的组织者，问题的澄清者，思维的激发者”，引导、参与了学生的整个学习过程. 学生是学习的主人。新课标强调，让学生在自主探索与合作交流中学会学习，提高数学素养。本节课充分体现了这一理念，学生有足够的自主探索时间，有与同学合作互动的空间，有与老师交流表达的机会。学生不是从老师那里获取知识，而是在数学活动的过程中发现规律、体验成功。教师是课堂的主导。教师是学生数学学习的组织者、引导者和合作者。然而，组织、引导本身就强调了教师必须是一个特殊的“合作者”，而不是撒手不管的“非主导者”。教师的主导作用不是体现在“主宰”课堂，而应体现在为学生提供鲜活的学习素材，体现在对学习团体的严密组织，体现在对交流活动的精心