三角函数模型的简单应用

1、三角函数模型的简单应用2014-2015南春中学 103班组长:李烁瀚 组员:周约翰 冯文二 蔡岱翰指导老师:李锦纯课题研究的开展课题研究:探究三角函数模型在电脑绘图中的应用。研究目的:开阔视野，增长见识，提高我们的数学素养，使我们能更好地学习和应用数学。研究过程:1.准备阶段:从各种渠道收集相关资料2.实施阶段: 确定研究内容 从互联网和图书馆查阅相关资料 小组内交流讨论成果 编写相关程序3.总结阶段:由组长整理和汇总相关资料和成果并写成报告。研究成果:三角函数学的发展，由起源迄今差不多经历了三四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在

2、解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数

3、的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。 在电脑程序的开发中，通常需要图像的绘制。通常情况下，可以在开发环境下使用直线、形状等图形控件直接绘图。具有占用系统资源少、运行速度快、代码简洁、可以在开发界面直接浏览完成图像等特点。然而，控件绘图法无法进行动态绘图，但利用三角函数创作曲线、着色、模型、动画可以产生不错的效果。 下面举一实例：简单曲线画法最简单曲线当属圆形用javascript语句可表示成：moveTo(a,0);for(i=0;i&

4、lt;n;i+) x=a*Math.cos(i*2*Math.PI/n);y=b*Math.sin(i*2*Math.PI/n);lineTo(x,y);这里a=b,为圆形，否则ab为椭圆。如果把y=b*Math.sin(i*2*Math.PI/n)改成y=b*Math.sin(i*4*Math.PI/n)，则圆形变成8字形。如果写成x=a*Math.cos(i*m*Math.PI/n);y=b*Math.sin(i*(n) *Math.PI/n);其中m不能为偶数，n=m+1,或n=m-1。则图形为： 图1 例子中，更改m、n变量产生的结果完成一个图形后，对这个函数图像进行修饰，对函数图像进

5、行修饰的过程中，应用加修饰、乘修饰和嵌入修饰。通过利用正弦余弦的嵌入方式只改变b2，在曲线的交汇点处产生偏移，防止重合，产生藤编效果。 图2 通过加修饰生成的曲线 图3通过乘修饰生成的曲线图4 利用嵌入修饰生成的花篮图5藤编效果曲线着色使用周期渐变效果在具体操作中，我们对生成的图像进行着色，利用三角函数模型可以使着色产生渐变效果。使用三色渐变函数模型可以直接滤除曲线小于0部分，突出红、绿和蓝三颜色，具体程序编写如下：Math.cos(t*p/n) <0?r=0:r=255*Math.cos(t*p/n);Math.cos(t+c)*p/n) <0?g=0:g=255*Math.co

6、s(t+c)*p/n);Math.cos(t+2*c)*p/n) <0?b=0: b=255*Math.cos(t+2*c)*p/n)；同时使用更细分一些的组合渐变，可以组合成红、黄、绿、青、蓝、紫色：Math.cos(t*p/n)+0.5<0?r=0:(Math.cos(t*p/n)+0.5>1?r=255:r=255*(0.5+Math.cos(t*p/n);Math.cos(t+c)*p/n)+0.5<0?g=0:(Math.cos(t+c)*p/n)+0.5>1?g=255:g=255*(0.5+Math.cos(t+c)*p/n);Math.cos(t+

7、2*c)*p/n)+0.5<0?b=0:(Math.cos(t+2*c)*p/n)+0.5>1?b=255:b=255*(0.5+Math.cos(t+2*c)*p/n);这里c=循环周期除以3。三色渐变着色曲线 组合渐变着色曲线 图6渐变着色深度曲线有时动画涉及层深变化，采用周期渐变着色能增加透视效果周期渐变效果见图5有时曲线涉及交叉，为了使交叉处着色一致，需要uv方向渐变着色。u向渐变着色也可理解成环形渐变着色，v向渐变着色可以理解成轴向渐变着色。图7 uv渐变着色效果 利用鼠标坐标设计以下程序，使程序生成的模型物体-鱼跟随鼠标移动。程序采用Flash的ActionScript

8、编写。SWF(backgroundColor=0x00eeff,width=640,height=480)var sp:Sprite=addChild(new Sprite() as Sprite;sp.y=-200,sp.x=320;var px:Array=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,pp:Array=;var pz:Array=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,yur:Array=;var x0:Array=,;var z0:Array=,;var y0:Array=,;var r:Array=1,9,15

9、,19.5,22,23,23.5,23,22,19.5,16.5,13,10,9,10,12,14,16;var r1:Array=0,8,12,14.5,16,17,17.5,17,15.5,13,10,7.5,5,3,1,0.2,0,0;for (i=0; i<281; i+) ppi=new MovieClip();sp.addChild(ppi);var f:Number=1800,i:uint,m:int,t:int,k:int,h:int,j:int,c1:uint,c2:uint,c3:uint,r2:Number;var mc:Sprite=new Sprite();va

10、r box:Matrix=new Matrix();box.createGradientBox(20,10,1.57,240,0);mc.graphics.beginGradientFill("linear",0xddaaaa,0x882211,0xddaaaa,1,1,1,150,200,250,box,"reflect");mc.graphics.drawRect(280,0,120,400);for (i=0; i<36; i+) for (j=0; j<16; j+) c1=255<<16|Math.abs(j-7.5)*

11、20+20<<8|40;c2=255<<16|Math.abs(j-7.5)*20+60<<8|Math.abs(j-7.5)*20+30;c3=255<<16|Math.abs(j-7.5)*20<<8|0;r2=(5-Math.cos(i*Math.PI/40)/8;box.createGradientBox(56,40,0,270-i*9*r2,j*25-20+(i%2)*12.5);mc.graphics.beginGradientFill("radial",c3,c1,c2,1,1,1,70,120,20

12、0,box);mc.graphics.moveTo(275-i*9*r2,j*25+(i%2)*12.5);mc.graphics.lineTo(315-i*9*r2,j*25-14+(i%2)*12.5);mc.graphics.curveTo(315+(20-i*9)*r2,j*25+(i%2)*12.5,315-i*9*r2,14+j*25+i%2*12.5);mc.graphics.lineTo(275-i*9*r2,j*25+(i%2)*12.5);mc.graphics.endFill();for (i=0; i<2; i+) box.createGradientBox(20

13、0,400,0,-30,i*400-200);mc.graphics.beginGradientFill("radial",0xffddaa,0xff6633,0xff2200,1,1,1,50,150,205,box);mc.graphics.moveTo(0,i*200);mc.graphics.lineTo(60+i*10,i*200);mc.graphics.curveTo(125,110+i*180,70-i*10,200+i*200);mc.graphics.lineTo(0,200+i*200);mc.graphics.endFill();for (i=0;

14、i<2; i+) box.createGradientBox(20,40,0,45,i*200+80);mc.graphics.beginGradientFill("radial",0,0xbbbbbb,0x555555,1,1,1,50,100,255,box);mc.graphics.drawEllipse(45,80+i*200,20,40);mc.graphics.endFill();for (i=0; i<2; i+) mc.graphics.lineStyle(3,0xee6622,0.6);mc.graphics.moveTo(65+i*20,i*

15、250+50);mc.graphics.curveTo(85,60+i*280,85-i*20,100+i*250);var bmp1:BitmapData=new BitmapData(400,400);bmp1.draw(mc);addEventListener(Event.ENTER_FRAME,fff);function fff(e:Event) pz0+=(200*f/sp.mouseY-f-pz0)/15;/高度坐标转换成深度坐标px0+=(sp.mouseX*(f+pz0)/f-px0)/15;yur0=Math.atan2(pz0-200*f/sp.mouseY+f,px0-s

16、p.mouseX*(f+pz0)/f);for (i=1; i<18; i+) i<=4?yuri=yur0:yuri=Math.atan2(pzi-pzi-1,pxi-pxi-1);pxi=pxi-1+10*Math.cos(yuri-1);pzi=pzi-1+10*Math.sin(yuri-1);for (i=0; i<18; i+) for (m=0; m<17; m+) z0im=pzi-r1i*Math.sin(m*Math.PI/8)*Math.cos(yuri);x0im=(pxi+r1i*Math.sin(m*Math.PI/8)*Math.sin(y

17、uri)*f/(f+z0im);y0im=(ri*Math.cos(m*Math.PI/8)+200)*f/(f+z0im);for (m=0; m<2; m+) z018m=z042+m*12+10*Math.sin(yur4-h*Math.PI/20*Math.pow(-1,m);x018m=x042+m*12+10*Math.cos(yur4-h*Math.PI/20*Math.pow(-1,m)*f/(f+z018m);y018m=217*f/(f+z018m);z018m+2=z043+m*10+5*Math.sin(yur4-h*Math.PI/20*Math.pow(-1,

18、m);x018m+2=x043+m*10+5*Math.cos(yur4-h*Math.PI/20*Math.pow(-1,m)*f/(f+z018m+2);y018m+2=207*f/(f+z018m+2);z018m+4=z081+m*14+10*Math.sin(yur8-(9-h)*Math.PI/20*Math.pow(-1,m);x018m+4=x081+m*14+10*Math.cos(yur8-(9-h)*Math.PI/20*Math.pow(-1,m)*f/(f+z018m+4);y018m+4=221*f/(f+z018m+4);z018m+6=z082+m*12+5*M

19、ath.sin(yur8-(9-h)*Math.PI/20*Math.pow(-1,m);x018m+6=x082+m*12+5*Math.cos(yur8-(9-h)*Math.PI/20*Math.pow(-1,m)*f/(f+z018m+6);y018m+6=214*f/(f+z018m+6);t=0;for (i=0; i<17; i+) /鱼体for (m=0; m<16; m+) var vArr:Vector.<Number>=Vector.<Number>(x0im,y0im,x0im+1,y0im+1,x0i+1m+1,y0i+1m+1,x

20、0i+1m,y0i+1m);var uArr:Vector.<Number>=Vector.<Number>(i/17,m/16,i/17,(m+1)/16,(i+1)/17,(m+1)/16,(i+1)/17,m/16);ppt.Z=z0im+z0im+1+z0i+1m+1+z0i+1m;fce(t,vArr,uArr,"negative");t+;for (i=5; i<9; i+) /背鳍var y2:Number=(186+i-ri+1)*f/(f+z0i+17),y3:Number=(187+i-ri+2)*f/(f+z0i+27);

21、vArr=Vector.<Number>(x0i8,y0i8,x0i+18,y2,x0i+28,y3,x0i+18,y0i+18);uArr=Vector.<Number>(0.82,(i+4)/17,1,(i+4)/17,1,(i+6)/17,0.82,(i+6)/17);ppt.Z=z0i8+z0i+18+z0i+28+z0i+18;fce(t,vArr,uArr,"none");t+;for (i=0; i<2; i+) vArr=Vector.<Number>(x042+i%2*12,y042+i%2*12,x043+i%2

22、*10,y043+i%2*10,x018i+2,y018i+2,x018i,y018i);uArr=Vector.<Number>(0.82,0.02,0.82,0.2,1,0.2,0.85,0);ppt.Z=z043+i%2*10+z042+i%2*12+z018i+z018i+2;fce(t,vArr,uArr,"none");t+;for (i=4; i<6; i+) vArr=Vector.<Number>(x081+i%2*14,y081+i%2*14,x082+i%2*12,y082+i%2*12,x018i+2,y018i+2,x018i,y018i);uArr=Vector.<Number>(0.82,0.02,0.82,0.2,1,0.2,0.85,0);ppt.Z=z082+i%2*12+z081+i%2*14+z018i+z018i+2;fce(t,vArr,uArr,"none");t+;var x4:Number=x0110*0.4+x0120*0.6,y4:Number=y0110*0.4+y0120*0.6+15;var x1:Number=x0110*0.8+x0120*0.