用Matlab软件求多元函数的偏导数和极值

1、即数学实验五用Matlab软件求多元函数的偏导数和极值、多元函数的偏导数i调用格式一：diff('多元函数','自变量：n) 其中，n为所求偏导数的阶数.例1已知z= x2cos2y 求空，?x?2 z?、和？ 2?y?x ?y解打开M文件编辑窗口，在其中输入下面命令集:pzpx=diff('xA2*cos(2* y)', 'x') p2zpypx=diff(pzpx,'y') p2zpy2=diff('xA2*cos(2* y) ','y',2)取名为exa9保存，再在命令窗口中输入命令e

2、xa9,程序运行结果如下:pzpx = 2*x*cos(2*y) p2zpypx = -4*x*si n(2*y) p2zpy2 = -4*xA2*cos(2*y) 即?z?x=2xcos2 y ,=-4xsin 2y ,22=-4x cos2y 2?y即2 调用格式二:syms x y z diff(f,自变量，n)?z?y?x例 2 已知 u = sin(x2 - y3 + 5z)，求、 ?x解 在命令行中依次输入:syms x y zu=si n( xA2-yA3+5*z); ux=diff(u,x); uxy=diff(ux,y); uxyz=diff(uxy,z); uz3=diff

3、(u, z, 3);ux,uxyz,uz3运行结果如下：ux =2*cos(xA2-yA3+5*z)*xuxyz =30*cos(xA2-yA3+5*z)*yA2*xuz3 =-125*cos(xA2-yA3+5*z)= 30xy2 cos(x2?z?y?xy3 + 5z),?u23=2x cos(x - y + 5z), ?x? U233 = - 125cos(x - y + 5z) 、隐函数的导数在Matlab中没有直接求隐函数导数的命令，但可调用Maple中求隐函数导数的命令,调用格式如下：maple('implicitdiff(f(u,x,y,z, ，)=0,u,x)'

4、)例3求由多元方程x2 + y2 + z2 = xyz所确定的隐函数 竺dx解在命令行中输入：pzpx=maple('implicitdiff(xA2+yA2+zA2-x*y*z=0,z,x)')运行结果是：pzpx =(2*x-y*z)/(-2*z+x*y)即?z _ 2x - yz?x xy - 2z三、多元函数的极(或最)值在Matlab中同样有求多元函数的极(或最)小值的函数，但由于多元函数的形式比较 复杂，不同情况用到不同的Matlab函数若要求多元函数u在某一区域的极(或最)大值,可转化为求-u在该区域内的极(或最)小值.1 非线性无约束情形求极(或最)小值 点或极

5、(或最)小值的调用格式是：x,fval=fmi nsearch( f',x0)f是被最小化的目标函数名，x0是求解的初始值向量.332例4 求二元函数f(x,y) = 2x + 4xy - 10xy + y的最值点和最值.解打开M文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：%必须对自变量进 行转化x=x(1)，y=x(2)Xmi n, fmi n=fmi nsearch('2*x (1)A3+4*x(1)*x (2)A3-10*x (1)*x (2)+x(2)A2',0,0);Xmax,Fmi n=fmi nsearch('-2*x(1)A3-4*x (1)*x(2)A

6、3+10*x (1)*x (2)-x(2)A2',0,0); fmax=-F min;Xmi n, fminXmax,fmax取名为exa10保存，再在命令窗口中输入命令exa10，程序运行结果如下：Xmin =1.00160.8335fmin =-3.3241Xmax =-1.0000 1.0000fmax =5.00002非线性有约束情形非线性 有约束优 化问题的数学模型 如下：Min f (x)c(x) <0 ceq(x) = 0A?x < bAeq ?x < beq lb < x < ub式中，x,b,beq,lb和ub是向量，A和Aeq是矩阵，c

7、(x)和ceq(x)为函数，返回标量.f(x) , c(x) 和ceq(x)可以是非线性函数求极(或最)小值 点或极(或最)小值的调用格式如下： x,fval=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) nonlcon 参数计算非线性 不等式约束 c(x)<=0 和非线性等 式约束 ceq(x)=0.例5求表面积为6m2的体积最大的长方体体积.解 设长方体的长、宽、高分别为x1、x2、x3,则f(x)=-x(1)*x(2)*x(3)，S.t x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3=0，x(i)>0,

8、i=1,2,3 . 建立 函数文件 fun1打开M文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：function F=fun1(x) %函数文件 必须 是 function 开头F=-x(1)*x(2)*x(3);单击“保存”按钮，自动取名为funl，再击保存. 建立非线性约束 函数文件 yceqfunction c,ceq=yceq(x)c=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3;ceq=;保存方法同上，自动取名为yceq，再击保存. 编 制主 程序：打开M文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：x0=3;3;3;%给长宽高 一个初 值A=;b=;Aeq=;beq=; lb=0,0,0;ub=;xmax,fmin=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq');%函数要 加单引号Vmax=-fmin;xmax,Vmax取名为exa11保存，再在命令窗口中输入命令exa11，程序运行结果如下