第1节导数概念

1、高等数学 戴本忠431第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数概念导数概念第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则第三节第三节 高阶导数高阶导数第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定的函隐函数及由参数方程所确定的函数数相关变化率相关变化率的导数的导数第五节第五节 函数的微分函数的微分微分学的核心微分学的核心高等数学 戴本忠432第二章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton高等数学

2、戴本忠433本章主要内容1.导数的定义，左导数、右导数及几何意义，高阶导数。2.导数的的四则运算法则；反函数的求导法则；复合函数的求导法则；基本初等函数的导数公式。3.微分的定义与几何解释；可微与可导的关系；和差积商的微分法则；复合函数的微分法则；一阶微分的形式不变性。4.隐函数求导法及对数求导法；幂指函数求导法；参变量函数求导法；5.导数的简单应用：用导数求切线及法线方程；用导数求变化率及相关变化率；用微分求函数值及函数增量的近似值。高等数学 戴本忠434本章难点1求分段函数在分段点处的导数2复合函数求导，隐函数求导及对数求导3两个函数乘积的n阶导数的莱布尼兹公式4参数方程表示函数的二阶导数

3、公式5微分形式的不变性及其应用 高等数学 戴本忠435第一节第一节 导数概念导数概念本节从两个微积分学发展史上两个典型问题出发，以极限概念为基础，引进导数的定义，并给出函数可导的条件。 1、导数的定义；2、由定义求导数；3、导数的物理意义与几何意义；4、可导与连续的关系高等数学 戴本忠436学习指导1.教学目的：深刻理解导数的概念实质及其几何意义，掌握函数可导性与单侧导数的关系，掌握函数可导性与连续性的关系。 2.基本练习：利用导数定义式（三步求导法）求解导数定义式（三步求导法）求解与导数相关的问题，会用导数求切线问题与导数相关的问题，会用导数求切线问题。 3. 注意事项：从导数几何意义知道，

4、若导数 存在，则其值等于曲线y=f(x) 在p0(x0,y0)处的切线斜率。但要注意，若y=f(x)在x=x0处不可导，不能说明p0处无切线,例如 在x=0处连续,但不可导,而从割线的极限位置来看，曲线在x=0对应的点处切线是存在的，其切线为y轴。)(xf 03xy 高等数学 戴本忠437一、一、问题的提出（问题的提出（引例）引例）1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位移的函数为)(tfs 0t则 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落体运动高等数学

5、 戴本忠438 xyo)(xfy C2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyCNT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 高等数学 戴本忠439两个问题的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:

6、加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题高等数学 戴本忠4310 xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 二、导数的定义存在 则称函数f(x)在点x0处可导 并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数 记为f (x0) 即xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 设函数yf(x)在点 x0的某个邻域内有定义 如果极限v导数的定义1、函数在一点处的导数与导函数 如果上述极限不存在 则称函数f(x)在点x0处不可导 高等数学 戴本忠4311导数的

7、其它符号导数的其它定义式hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0|xxy 0 xxdxdy或0 )(xxdxxdf 导数的定义式:xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 高等数学 戴本忠4312.)()(内可导内可导在开区间在开区间函数函数就称就称内的每点处都可导,内的每点处都可导,在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：变变化化的的快快慢慢程程度度. .变变量量随随自自变变量量的的变变化化而而因因它它反反映映了了处处的的变变化化率率, ,0 0 x x点点导导数数是是因因变变

8、量量在在点点高等数学 戴本忠4313.)(),(,)()(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记记作作的的导导函函数数. .原原来来函函数数导导数数值值. .这这个个函函数数叫叫做做的的一一个个确确定定的的都都对对应应着着对对于于任任一一 .)()(lim)(0hxfhxfxfh xxfxxfyx )()(lim0即即或或注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0高等数学 戴本忠4314解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 2 2、求导数步骤及举例、求导数步骤及举例.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 例例1);()(xfxx

9、fy 步骤步骤: : (1)(1)求增量求增量;)()(xxfxxfxy (2)(2)算比值算比值.lim0 xyyx (3)(3)求极限求极限. 0)( C即即高等数学 戴本忠4315解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx33cos)(sinxxxx.22例例23)(sin)(sin,sin)(xxxxxf及及求求设函数设函数.cos)(sinxx 即即hxfhxfxfh)()(lim)(0000 高等数学 戴本忠4316例例3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn)(lim)(0! 2)1

10、(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即 求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nan高等数学 戴本忠4317说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x高等数学 戴本忠4318例例4)1, 0()( aaaxfx求函数求函数的导数的导数. .ln)(aaaxx .)(xxee 即即haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim

11、0) 1(loglim01ttaatxath) 1(lim(log110ttaxtaaaeaxaxlnlog1解解高等数学 戴本忠4319例例5 求函数求函数 的导数的导数 )1, 0(log)( aaxxfa解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 exalog1 .ln1ax 高等数学 戴本忠4320例例6 6. 0 )(3处处的的可可导导性性在在讨讨论论 xxxf解解00lim0)0()(lim3100 xxxfxfxx3201limxx . 0 )( 3点不可导

12、点不可导在在 xxxf, 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx hxfhxfxfh)()(lim)(0000 高等数学 戴本忠4321 (sin x)cos x (cos x)sin x (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xx 1)(xx (ax)axln a axxaln1)(logxx1)(ln 以上得到的是部分基本初等函数的导数公式 xx1)(ln 特别地有特别地有(ex )ex 高等数学 戴本忠43223 3、单侧导数单侧导数（1）左导数左导数: :;)()(lim)()(lim)(000000-0 xxfxx

13、fxxxfxfxfxxx（2）右导数右导数: :;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxxxxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 高等数学 戴本忠4323.,)(,)()(,),()(上可导上可导在闭区间在闭区间则称则称都存在都存在及及且且内可导内可导在开区间在开区间如果如果baxfbfafbaxf 在点处右右 导数存在0 x 函数)(xf在点0 x必 右右 连续.若函数)(xf)(af)(bf与都存在 , 则称)(xf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba且)(xf(左左)(左左)高等数学 戴本忠4324xy xyo

14、解解,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 1lim)0()0(lim00 hhhfhfhh.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy处的可导性.处的可导性.在在讨论函数讨论函数0)( xxxf例例7),0()0( ff即即hxfhxfxfh)()(lim)(0000 高等数学 戴本忠4325则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例8. 设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0

15、xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )(2 )(0hhxf)(0 xfhxfhxfxfh)()(lim)(0000 高等数学 戴本忠4326三、导数的物理意义和几何意义三、导数的物理意义和几何意义几何意义几何意义物理意义物理意义因变量关于自变量的因变量关于自变量的变化率变化率。曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 高等数学 戴本忠4327导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,

16、0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf)(000 xxxfyy高等数学 戴本忠4328例例9 9解解由导数的几何意义由导数的几何意义, , 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 方方程程和和法法线线方方程程. .并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率, ,处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线)2 ,21(1xy 所求切

17、线方程为所求切线方程为),21(42 xy. 044 yx即即法线方程为法线方程为),21(412 xy. 01582 yx即即.lim0 xyyx如何求切线方程和法线方程？高等数学 戴本忠4329例 9 求曲线xxy的通过点(0 4)的切线方程 例10 设切点的横坐标为x0 解 0212302323)()(0 xxxxfxx于是所求切线的方程可设为 )(230000 xxxxxy 已知点(0 4)在切线上 所以 )0(2340000 xxxx 解之得x04) 4(42344xy 即 3xy40 于是所求切线的方程为则切线的斜率为 0212302323)()(0 xxxxfxx02123023

18、23)()(0 xxxxfxx ) 4(42344xy 即 3xy40 高等数学 戴本忠4330四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .0)(limlim000 xxxfyxx .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)0(0 x 证证: :设函数设函数f (x)在点在点x0处可导处可导可导可导 连续连续. .00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(

19、limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx 处可导在点xxf)(处连续在点xxf)(高等数学 戴本忠4331连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例. .函函数数在在角角点点不不可可导导, ,角角点点的的为为函函数数则则称称点点若若, ,连连续续函函数数1 1. .)()()()(000 xfxxfxfxfxy2xy 0 xy 例如例如, ,0,0,)(2 xxxxxf的角点.的角点.为为处不可导处不可导在在)(0,0 xfxx 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立. 即即 连续连

20、续 可导可导高等数学 戴本忠4332(不可导)(不可导)有无穷导数.有无穷导数.在点在点称函数称函数但但连续,连续,在点在点设函数设函数2.2.000000)(,)()(limlim)(xxfxxfxxfxyxxfxx 例 7 函数3)(xxf在区间(, )内连续 但在点x0处不可导 例 11 hfhfh) 0()0(lim0hhh0lim30hfhfh) 0()0(lim0hhh0lim30hfhfh) 0()0(lim0hhh0lim30 这是因为函数在点x0处导数为无穷大 高等数学 戴本忠4333.)(. 30点不可导点不可导则则, ,(指摆动不定)(指摆动不定)不存在不存在在连续点的左

21、右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如, ,.0处处不不可可导导在在 x011/1/xy高等数学 戴本忠4334. )()(,)(. 4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点, ,符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 高等数学 戴本忠4335解解, ,是有界函数是有界函数x1sin01sinlim0 xxx处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin. .不不存存在在1 1和和1 1之之间间振振荡荡而而极极限限在在时时, ,当当 xyx0.0)(处连续处连续在在 xxf0)(lim)0(0 xffx.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf例例12)(xf在在x=0处不可导处不可导高等数学 戴本忠4336 由以上讨论可知，函数在某点连续是函数由以上讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件在该点可导的必要条件，但不是充分条件高等数学 戴本忠4337思考与练习思考与练习1.