【创新设计】2011届高三数学一轮复习 7-7空间向量的应用随堂训练 理 苏教版

1、用心爱心专心第第 7 7 课时课时空间向量的应用空间向量的应用一、填空题一、填空题1 若直线若直线 l 的方向向量的方向向量 a(2,3,1)，平面，平面的一个法向量的一个法向量 n(4,0,1)，则直线，则直线 l 与平面与平面所所成角的正弦值等于成角的正弦值等于_解析：解析：sin |an|n|a|23834.答案：答案：238342下面命题中，正确命题的序号为下面命题中，正确命题的序号为_若若 n1，n2分别是平面分别是平面，的法向量，则的法向量，则 n1n2；若若 n1，n2分别是平面分别是平面，的法向量，则的法向量，则n1n20；若若 n 是平面是平面的法向量且的法向量且 a 与与共

2、面，则共面，则 na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直解析：解析：不正确，有可能重合不正确，有可能重合答案：答案：3.在长方体在长方体 ABCDA1B1C1D1中，中，M、N 分别是棱分别是棱 BB1、B1C1的中点，若的中点，若CMN90，则异面直线则异面直线 AD1与与 DM 所成的角为所成的角为_解析：解析：建立如建立如下下图所示空间直角坐标系，设图所示空间直角坐标系，设 ABa，ADb，AA1c，则则 A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，C(0，a，c)，B1(b，a,0)，D(0,0，c)，Nb2

3、，a，0，Mb，a，c2 .CMN90，b，0，c2 b2，a，c212b214c20.c 2b.(b,0， 2b)b，a，22bb2b20.AD1DM，即所成角为，即所成角为 90.答案：答案：904 如图所示如图所示，在正三棱柱在正三棱柱 ABCA1B1C1中中，若若 AB 2BB1，则则 AB1与与 C1B 所成角的大小所成角的大小为为_用心爱心专心解析：解析：取取 AC 的中点的中点 D，建立如图所示的空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，设设 ABa，则，则 B32a，0，0，C10，a2，22a，A0，a2，0，B132a，0，22a，32a，a2，22a32a，a2，22

4、a32a2a2222a232a2a2222a20.AB1与与 C1B 所成角为所成角为 90.答案：答案：905 如图所示如图所示，在三棱柱在三棱柱 ABCA1B1C1中中，AA1底面底面 ABC，ABBCAA1，ABC90，点点 E、F 分别是棱分别是棱 AB、BB1的中点，则直线的中点，则直线 EF 和和 BC1所成的角为所成的角为_解析：解析：如图以如图以 BC 为为 x 轴，轴，BA 为为 y 轴，轴，BB1为为 z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，设设 ABBCAA12 则则 C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)则则(0，1,1)，(2,0,2)，2

5、.用心爱心专心EF 和和 BC1所成角为所成角为 60.答案：答案：606 已知点已知点 A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，则平面，则平面 ABC 的单位法向量为的单位法向量为_解析：解析：由已知得由已知得(a，b,0)，(a,0，c)设平面设平面 ABC 的一个法向量为的一个法向量为 n(x，y，z)，则，则 naxby0，naxcz0.解得解得 yabx，zacx.令令 xbc，则，则 yac，zab，一个法向量为一个法向量为 n(bc，ac，ab)故它的单位法向量为故它的单位法向量为 n0n|n|1b2c2a2c2a2b2(bc，ac，ab)即单位法向量为即单位法向量

6、为n0bcb2c2a2c2a2b2，acb2c2a2c2a2b2，abb2c2a2c2a2b2.答案：答案：bcb2c2a2c2a2b2，acb2c2a2c2a2b2，abb2c2a2c2a2b2二、解答题二、解答题7(苏锡常镇四市高三教学情况调查苏锡常镇四市高三教学情况调查)如图所示，已知如图所示，已知 ABCD 是正方形，是正方形，PD平面平面 ABCD，PDAD2.(1)求异面直线求异面直线 PC 与与 BD 所成的角；所成的角；(2)在线段在线段 PB 上是否存在一点上是否存在一点 E，使，使 PC平面平面 ADE？若存在，确定？若存在，确定 E 点的位置；若不点的位置；若不存在，说明

7、理由存在，说明理由解：解：ABCD 是正方形，是正方形，PD平面平面 ABCD，PD、DA、DC 两两垂直，故分别以两两垂直，故分别以 DA、DC、DP 所在的直线为所在的直线为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)(1)(0,2，2)，(2,2,0)，42 22 212，60，用心爱心专心异面直线异面直线 PC 与与 BD 所成的角为所成的角为 60.(2)假设在假设在 PB 上存在一点上存在一点 E，使，使 PC平面平面 ADE，记，记(2,2，2)

8、，(2，2，2)，E 点的坐标为点的坐标为(2，2，22)，(22,2，22)若若 PC平面平面 ADE，则有，则有 PCAE，即，即840，12，E 点坐标为点坐标为(1,1,1)由题知，由题知，AD平面平面 PDC，PCAD，且，且 ADAEA，PC平面平面 ADE.故存在故存在 E 点且点且 E 为为 PB 的中点时，的中点时，PC平面平面 ADE.8(2009苏北四市第三次联考苏北四市第三次联考)已知四棱锥已知四棱锥 PABCD 的底面的底面 ABCD 是直角梯形，是直角梯形，ADBC，ABC90，PA平面平面 ABCD，ABBC2AD，若平面，若平面 PCD 与平面与平面 PAB 所

9、成二面角所成二面角的余弦值为的余弦值为63，求，求PAAD的值的值解解：以点以点 A 为坐标原点为坐标原点，以直线以直线 AB，AD，AP 分别为分别为 x，y，z 轴轴，建立如图所示的空间建立如图所示的空间直角坐标系，直角坐标系，不妨设不妨设 AD1，PAa，则，则 P(0,0，a)，D(0,1,0)，(0,1，a)，设平面设平面 PCD 的法向量为的法向量为 m(x，y，z)，则则myza0，m2xy0，不妨设不妨设 z2，则，则 y2a，xa，即，即 m(a,2a,2)PA平面平面 ABCD，AD平面平面 ABCD，ADPA，又又ADBC，ABC90，ADAB，又，又 PAABA，AD平

10、面平面 PAB，故，故 AD 是平面是平面 PAB 的一个法向量，且的一个法向量，且(0,1,0)，2a45a2，又又平面平面 PCD 与平面与平面 PAB 所成二面角的余弦值为所成二面角的余弦值为63，2a45a263，解得，解得 a2，PAAD2.用心爱心专心9(江苏省高考命题研究专家原创卷江苏省高考命题研究专家原创卷)如图如图，正方体正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 2，M、N 分分别是棱别是棱 C1D1、CC1的中点，求直线的中点，求直线 B1N 与平面与平面 BDM 所成角的正弦值所成角的正弦值解：解：分别以直线分别以直线 DA，DC，DD1为为 x，y，z 轴建立空

11、间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，则则 B1(2,2,2)，N(0,2,1)，(2,0,1)又又 M(0,1,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，则，则(2,2,0)，(0,1,2)，设平面设平面 BDM 的一个法向量是的一个法向量是 n(x，y，z)，则则，即，即2x2y0y2z0，解得，解得 xy2z.令令 z1，得，得 x2，y2.所以平面所以平面 BDM 的一个法向量是的一个法向量是 n(2，2,1)，因为，因为故直线故直线 B1N 与平面与平面 BDM 所成的角的正弦值是所成的角的正弦值是53.1如图如图， 在四棱锥在四棱锥 VABCD 中中， 底面底面 ABCD 是正方形是

12、正方形， 侧面侧面 VAD 是正三角形是正三角形， 平面平面 VAD底面底面 ABCD.(1)证明：证明：AB平面平面 VAD；(2)求面求面 VAD 与面与面 VDB 所成的二面角的正切值所成的二面角的正切值解：解：以以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(1)证明：不妨设证明：不妨设 A(1,0,0)，则，则 B(1,1,0)，V(12，0，32)，(0,1,0)，(12，0，32)，由，由0，得，得 ABVA，又又 ABAD，因而，因而 AB 与平面与平面 VAD 内两条相交直线内两条相交直线 VA，AD 都垂直都垂直用心爱心专心AB平面

13、平面 VAD.(2)设设 E 为为 DV 中点，则中点，则 E(14，0，34)，(34，0，34)，(34，1，34)，(12，0，32)，由，由0，得，得 EBDV，又，又 EADV，因此，因此，AEB 是所求二面角的平面角，易求正切值为是所求二面角的平面角，易求正切值为2 33.2 如图所示如图所示，直三棱柱直三棱柱 ABCA1B1C1中中，ACB90，AC1，CB 2，侧棱侧棱 AA11，侧面侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为的两条对角线交点为 D，B1C1的中点为的中点为 M.(1)求证求证 CD平面平面 BDM；(2)求面求面 B1BD 与面与面 CBD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值解：解：如图，以如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系(1)证明：证明：B( 2，0,0)，B1( 2，1,0)，A1(0,1,1)，D22，12，12 ，M22，1，0，22，12，12 ，( 2，1，1)，0，12，12 ，则则0，CDA1B，