椭圆经典解题思路

1、椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0,2）求m的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c2,根据关系a2b2c2可求出m的值.22解：方程变形为-y-1.因为焦点在y轴上，所以2m6,解得m3.62m又c2,所以2m622,m5适合.故m5.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P3,0,a3b,求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法,求出参数a和b（或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程.22解：当焦点在x轴上时，设其方程为、与1ab0.a2b2由椭圆过点P3,0,知g?1.又a3b,代入得b21,a29

2、,故椭圆的方程为y21.a2b29当焦点在y轴上时,设其方程为2匕2a2xb2,9012由椭圆过点P3,0,知丹-0r1.又a3b,联立解得a2ab222yx81,b9,故椭圆的方程为1.819例3ABC的底边BC16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.分析：（1）由已知可得GCGB20,再利用椭圆定义求解.（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程.解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为x,y,由GCGB20,知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a10,c8,有b6,22故其方程

3、为工匕1y0.1003622(2)设Ax,y,Gx,y,则工y1y0.10036x由题意有x3代入，得工32A的轨迹方程为9003241y0,其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）.例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为45和2J5,过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两焦点为F1、F2，且PF1从PF,PF2知|PF2可求出PF1F2.所求椭圆方程为4.53PF22.53垂直焦点所在的对称轴，所以在从椭圆定义知2a|PF1|PF22用.即aJ5.c2V5.2cPF1cos-',从而6<33y210c221或丝上1.105Rtb2

4、PF2F1中,sinPF1F2PF21|PF1|2,1032例5已知椭圆方程与a2y_b2,长轴端点为A1Fi,F2,P是椭圆上一点,A1PA2F1PF2.求：F1PF2的面积（用a、分析：求面积要结合余弦定理及定义求角1的两邻边，从而利用SabsinC求面积.2表不）.解：如图，设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设Px,y由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.由余弦定理知:由椭圆定义知:F1PF2例6已知动圆PF12PF1P过定点F1F22|PFiPF22PFiPF2，2Gcos4c.PF2I2a，则2得PF2sin12b2sin21cosA3,0，且在定圆B:x32PF1b2tan一.2PF2

5、2b21cos2y64的内部与其相内切,分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式.解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到两定点,即定点A3,0和定圆圆心B3,0距离之和恰好等于定圆半径,即PAPBPMPB半长轴为4,半短轴长为bBM8.，点P的轨迹是以A,B为两焦点,2%;4232$7的椭圆的方程：16说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.例7已知椭圆x211.y21,(D求过点P1,-且被P平分的弦所在直线的方程;222(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过A2,1引椭圆的割线，求截得的弦

6、的中点的轨迹方程;(4)椭圆上有两点P、Q,O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ分析:解:2X12Vi(1)求线段PQ中点M的轨迹方程.此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.设弦两端点分别为Mx1，y1,NX2,y2,线段MN的中点Rx,y,则22y222y2y2一得X1X2X1X22y1y2y1y222x,2y,2)§由题意知X1将代入得X2,则上式两端同除以X1X2,有X12y20.X1x2X22yi丫2y0,x1x21代入，得红生2X1X21-，、，故所求直线方程为:22x4y30.将代入椭圆方程x22y22得6y26y360符合题意，2x4y30为

7、所求.(2)将32X1x22代入得所求轨迹方程为:4y0.(椭圆内部分)(3)将江，2X1X2口代入得所求轨迹方程为:(4)由+得2242X|X24x2y22x2y0.(椭圆内部分)将代入得:22X1X22x1X2,2y12y2将平方并整理得4y22y1y24x22x1x24y22y1y2一1-再将yyX1X2代入式得:22x2x1x24y1xx2X1入2422工1.12此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.例8已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点?（2）若直线被椭圆截得的弦长为X0,求直线的方程.5解：（1）把直线方程yx

8、m代入椭圆方程4x2y21得4x2即5x22mxm210.2m2242m116m20_5（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为得XiX22m5X1X222根据弦长公式得：JT7网4m1,552.105.解得m0.方程为yx.说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系）,可大大简化运算过程.22例9以椭圆匕1的焦点为焦点，过直线l:xy90上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短,123点M应在何处？并求出此时的椭圆方程.分析

9、：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决.22解：如图所示，椭圆二匕1的焦点为F13,0,F23,0.123点F1关于直线l:xy90的对称点F的坐标为（一9,6）,直线FF2的方程为x2y30.、-x2y30,解万程组,得交点M的坐标为（5,4）.此时MF1MF2最小.xy90所求椭圆的长轴：2aMF1MF2FF26<5,.a3J5,又c3,222b2a2c23J53236.因此，所求椭圆的方程为1.453622例10已知方程一J-yk53k1表示椭圆，求k的取值范围例11k50

10、,解：由3k0,得3k53k,k5,且k4.满足条件的k的取值范围是3k5,且k4.k50,说明：本题易出现如下错解：由,得3k5,故k的取值范围是3k5.3k0,出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中ab0这个条件，当ab时，并不表示椭圆.例12已知x2siny2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围.分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性，求出的取值范围.2解：方程可化为1sin2y1.因为焦点在1cosy轴上，所以cossin因此sin0且tan1从而).说明：(1)由椭圆的标准方程知2(2)由焦点在y轴上，知a1sin1b20,这是容易忽视的地方.

11、coscos1,一、一升一，一八.(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0sin例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(J3,2)和8(2遮，1)两点的椭圆方程.可设其方程为mx2ny21(m0,n解：设所求椭圆方程为22mxny1(m0,n0).由A(J3,2)和B(2内，1)两点在椭圆上可得一2m(3)n(m(2.3)2n_22)1,3m4n1,即121,12mn1,11一、一,x2y2所以m一,n.故所求的椭圆方程为155155例13知圆x2y21,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹.分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)

12、求轨迹方程或轨迹.解：设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),x0T'yy。分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见,0),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.M的轨迹是一个椭圆4x2因为P(x0,y0)在圆x2y21上，所以x02y02将x02x,y0y代入方程x02y021得4x2(x,y)说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为轨迹上的点的坐标为(x0,y0),然后根据题目要求，使x,y与x0,y0建立等式关系，从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程，就可以求出关

13、于x,y的方程，化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握.例14已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F,作倾斜解为一的直线交椭圆于A,3B两点，求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式|AB由k2|x1x2|j(1/)(%x2)24%乂2求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB1k2x1x2J(ik2)(xiX2)24xiX2.因为a6,b3,所以c3G.因为焦点在x轴上,22所以椭圆方程为土匕i,左焦点F（3J3,0）,从而直线方程为369由直线方程与椭圆方程联立得:i3x

14、272套x3680.设XiX2为方程两根，所以XiX272.3i3X1X2368o7，k3，i3从而|ABJik2|xix2.(厂k2)(xX2)24x1x248i3（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解22由题意可知椭圆方程为二_y_i,设369在aff2中，af2AFiAFjIm,2.FiF22AFi|FiF2BFin,则|AF2i2mBF2i2n.cos3，即（i2m）23632m636所以m=.同理在BFiF2中，用余弦定理得n4、.348ni3（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程i3x272j3x3680求出方程的两根X2,它们分别是A,B的横坐标.再根据焦半径|AFia

15、e%,BFiae&,从而求出|ABAFi|BFi，一一x2y2，心一、.一.例i5椭圆'i上的点M到焦点Fi的距离为2,N为MFi的中点，则ON（O为坐标原点）的值为2593A.4B.2C.8D.一2解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为F2,由椭圆第一定义得MFi|MF2|2ai0,所以|mF2|i0愀巳|i028,一一、，一、，IIi又因为ON为MFF2的中位线，所以ON-MF24,故答案为A.2说明：（i）椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于FiF2）的点的轨迹叫做椭圆.（2）椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MFiMF22a,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦

16、点的有关距离.22XV.一例i6已知椭圆C：i,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y4xm,椭圆C上有不同的两点43关于该直线对称.分析：若设椭圆上A,B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：（i）直线AB1;（2）弦人8的中点乂在l上.利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围.解：(法1)设椭圆上A(xi,yi),B%,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x°,y°)点.l的斜率kl4,设直线AB的方程为yvn.由方程组2x彳1X42yTn,消去y得1,2213x8nx16n480。，x1x28n13日xX2ZExo-2，一4n12n,即点M的坐标为(4

17、n,22n).点M在直线1313y4xm上，n44nn4n131y°-x012nn，1313"m.4将式代入式得13x226mx169m2480A,B是椭圆上的两点，(26m)2413(169m248)0.解得2.131321313(法2)同解法1得出n1Voxo413m413一m4144,Xo(1313(m)m413m)4A,B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，(法3)设A(x,y1)B(x2,y2)是椭圆上关于即M点坐标为(m,(m)24(3m)22.13132.13m13l对称的两点，直线AB与l的交点的坐标为(xo,yo).A,B在椭圆上,两式相减得3(xx2)(x

18、1x2)4(y1y2)(y1y2)0,即32x0(x1x2)2yo(y1y2),y1y2X1X23xo(X14yokABkl-3x0-44yo1,即yo3xo。又M点在直线l上，y04x0m。由,得M点的坐标为(m,3m).以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点AB关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式:(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,别式0,建立参数方程.消元后得到的二次方程的判(2)利用弦AB的中点M(xo,yo)在椭圆内部，满足2xo21,将Xo,byo利用参数表示，建立参数不等式.1例17在面积为1的PMN中，tanM一22,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程.解:则以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设xcyy2,cy1c2,1.5x3cy-c&c32542)12a23b232K23ab,4P(x,y).1,215a得4b23.422.所求椭圆方程为竺-L1153例18已知P(4,2)是直线l被椭圆362y-1所截得的线段的中点，求直线9的方程.分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x),得到关于*(或丫)的一元二次方程，再由根与系数