光在maxwell鱼眼中的传播速度

1、光在maxwell 鱼眼中的传播蔡勋明一、球对称介质中的折射率与光线传播方程考虑一种以折射率函数20(/(1(/n r n r a =+ (1表征的媒质, 式中的r 表示从一固定点O 算起的距离,0n 和a 都是常数。称之为鱼眼。在球队称介质中,光线为平面曲线,位于通过原点的平面上,且光线方程可以写成以下形式:rc = c 为常数。将上两式结合,并令 r a =,0cK an =。可以得到:2=(2 进一步变形可得到:22d d = (3 如是:22 sin(-=。可得通过一固定点000(,P r 的单参数的光线族: 2222000sin(sin(r a r a r r -=- (4 其中为积

2、分常数。无论值等于多少,这个方程均被1r r =,1=所满足。其中21100,a r r =+。可见,来自任意点0p 的所有光线均相交于0p 到O 连线上的一点1p ;0p 和1p 分别在O 点的两边,并且201OP OP a = 。因此鱼眼是一种绝对成像仪器,其中的成像是一个反演。可知,r a =和,r a =+是满足(3;因此每一条光线与固定圆r a =相交于直径的相反两端点。笛卡尔坐标系中光线方程的表示:为了得出光线的笛卡尔坐标方程,令cos ,sin x r y r =;则有2222(sin (cos x b y b a b +-=+,式中222cos sin y x x y a -=

3、+- 或 2222(sin (cos x b y b a b +-=+; b =表明每一条光线都是一个圆。 图1二、Maxwell 鱼眼中光的传播速度 光线在Maxwell 鱼眼中的传播速度(相速度考虑真空中光速为0c ,则介质中的光速为0/c c n =,可得200(1(/c r c r a n =+。以图1为例,我们可以计算从P0到P1点沿不同路径到达评点所需时间,即从光源P0出发的光线沿上下两条路径到达P1点所用时间总是相同的。即从P0发出的光线沿不同路径到达P1点的光程总相同。此处可以从麦克斯韦鱼眼光线方程结合计算机计算证明如下:由(2表达式,可知22sin(r a K r -=-,

4、于是可以解得如下表达式:s i n(4/2r K =- ,任取其中常数,由光程积分运 算表达式可知:2 1 其中20(/(1(/n r n r a =+,计算上图1中P0点到P1点各种不同路径中的光程结果均相等,可以证明为0/2n a 严格证明如下:球对称折射率分布中任意两光点之间的光程可以用下式来求12r r L = 上式中已引入球分布中光线为平面曲线和积分不变量e 两性质。由上式求光程应注意分母为零的奇异点。改点为光线前进中的转折点,设为12/2L L =。实际上r -为极值矢径(极大或极小,在r -前后,dr 异号,积分分段进行。由分母2220n r e -=,一般可以求出与e 有关的两

5、种不同解1r -和2r -,它们分别与光线由P0到达P1的两个不同路径相对应。 麦克斯韦鱼眼中20(/(1(/n r n r a =+,0n 为对称中心的折射率,所有光线都穿过以分布中心为球心,半径等于a 的球面直径的两端点,轨迹为圆弧,圆心在物P0和象P1共轭点连线的中垂面上。物像共轭点满足对r a =的球面反演,即201r r a = ,其中1r ,0r 分别为P0和P1距对称中心的距离。P0和P1之间的光线构成一球面族,所有P0点发出的光线均可以等光程的到达P1点。证明过程:由20(/(1(/n r n r a =+ 设1a =,01n =,可得:1,2r -= ,由麦克斯韦透镜中光线曲率半径与e 有关的常数,2012|2|n a R e e =。可以看出上述两转折点处的矢量半径和121|r r e -+=恰为光线轨迹圆的直径,即极值矢量1r -,2r -在通过曲率中心的直径上,满足212*1r r a -=,设光程积分中的被积函数为(f r ,则对应不同光线路径的光程L1和L2应为1111(r r r r L f r dr f r dr-=-,2122(r r r r L f r dr f r dr-=-+。2222012/(12,1dn rdr r n rdr r r