圆度误差的自适应测评及应用

1、圆度误差的自适应测评及应用一、引言圆度误差是机械零部件的一项重要参数，目前多在圆度仪上进行测评，其标准评定准则有四种，即最小二乘圆准则，最小区域圆准则，最小外接圆准则和最大内接圆准则。在老式圆度仪上多在记录仪记录下来的轮廓图上用对板法进行估算，不仅估读困难，而且有时对板极为不易，主观误差较大，不能严格按圆度误差评定标准进行评定。现代圆度仪都配有数字计算机，一般由计算机根据数字采样值用优化方法进行评定。按圆定误差评定准则，其目标函数均是非线性的，求解过程属非线性回归问题，一般用带有约束条件的或不带约束条件的优化方法求解，这就涉及到优化控制精度问题。工件精度是不确定的，若按误差大的工件设置控制精度

2、，则对高精度工件测评，得不到最优结果，评定误差大；若按高精度件设置控制精度，则对测试件精度低时，可能导致优化过程发散，优化不能成功。因此本文提出一种自适应方法，自识别工件精度，自选取最优控制值。另一方面，当工件呈椭圆状时，与圆形件的优化方法不一致，若用统一的优化方法，将使优化过程发散，故需自识别工件形状，自选取不同的优化程序。此外，为满足不同精度件的测量要求，圆度仪设有若干精度档，人工干预的方法只能选取较大量程的固定档，不一定是最佳档位，测量误差不能保证最小。为此采样过程自识别工件精度，自切换最优档位，从而得到最优数据。二、用微机进行圆度误差评定的数学方法1.用最小二乘圆准则评定圆度误差的数学

3、方法最小二乘圆准则评定方法是四种方法中唯一有明确公式的方法，公式如下：R=（1/n）ria=（2/n）ricosib=（2/n）risinii=ri-R-acosi-bsinif=max-min式中，a，b为最小二乘圆圆心坐标；n为总采样点数；ri为第i个采样点至测量中心的径向距离；i为第i个采样点至最小二乘圆的径向距离；f为圆度误差值。推导过程从略。2.最小区域圆、最小外接圆和最大内切圆准则的数学表达式最小区域圆要求包容实际轮廓的两同心圆半径之差为最小，其数学表达式为 （2）最小外接圆要求和实际轮廓外接的圆为最小，故表达式为 （3）最大内切圆要求和实际轮廓内切的圆为最大，故表达式为 （4）式

4、（2）、（3）中，Rmax、Rmin分别为圆心到实际轮廓最远点和最近点的距离，相应的坐标分别为（xmax、ymax）和（xmin、ymin）。根据式（2）、（3）可求得各评定准则下相应的圆度误差值为f=Rmax-Rmin （5）值得注意的是，三种方法的最终表达式都为式（5），即使对同一工件，几种方法评定的结果会有差异，但误差不会太大。为方便起见，将式（4）加上负号，则四种评定准则可统一成求最小值问题，对最小区域圆准则、最小外接圆准则和最大内切圆准则，优化目标函数只和圆心坐标有关，故优化矢量是二维的： （6）将式（6）分别代入式（2）、（3）可得到三种评定准则的优化目标函数为 （7） （8） （

5、9）3.优化方法求解上述无约束最小值问题，通常用优化方法，诸如单纯形法、梯度法等。现以最简单的梯度法求解式（8）为例说明计算步骤如下：（1）设定控制精度及hi hi=Hx（i）m（H为控制梯度常数，i=12）。（2）用式（1）确定圆心初始值x（1）m，x（2）m。（3）由式（8）计算F3m=F3x（1）m，x（2）m。（4）当F3m<时，则x（1）m，x（2）m即为式（8）的解.否则计算：（5）计算式中，（6）重复（3）（5）过程。可见，当测试件精度较低，设定过小时，F3m<始终不能成立，使优化过程发散。过大，高精度件得不到最优结果，hi的设置也会影响到收敛速度。此外，当工件为椭圆

6、状时，优化过程也易于发散。三、自适应评定简要原理1.用最小二乘圆准则辨识工件精度自动确定最优值自适应评定简要原理是自辨识工件精度，据此自动确定最优值和hi，其方法步骤如下：（1）用式（1）计算圆度误差f和最小二乘圆心作为初始值x（1）m，x（2）m。（2）令=f×k1，hi=k2×f。其中k1、k2为比例常数，例如可取k1=1%等。（3）设置计数变量J<最小值变量fmin，圆心变量a、b，其初值分别为0，1000和最小二乘圆心。其余同前（7）当F3m>时，如果F3m<fmin，则令fmin=F3m，a=x（1）m，b=x（2）m，J=J+1；否则J=J-1

7、。若J>50，fmin，a，b即为式（8）最优解，再由式（5）即可算出圆度误差f值。否则重复上述（3）（5）步及第（7）步。2.用谐波分析和模糊方法自辨识工件形状实际工件呈现各种形状，对不同形状的圆特别是椭圆，用统一的优化模式，往往使优化过程发散或得不到最优结果。因此必须建立对径准则的椭圆优化方法。通过辨识工件形状，自动选取相应的优化程序。本研究用下述谐波分析和模糊方法完成工件形状的辨识。（1）富氏级数表达式圆度误差的一个显著几何特征是圆度误差变化具有“周期性”，因为圆形零件的横截面的实际轮廓是一个复杂的封闭曲线轮廓，轮廓上各点径向误差的大小不同，而且在圆周的一圈上以2为周期随机连续变化

8、，故圆度误差的周期性可以用富氏级数表示，在极坐标中（也可用直角坐标）可表示为（）=r0+aicosi+bisini=r0+cisini（i+i） （10）式中，（）为任一角的向量半径；ro为富氏级数常量，在此为平均半径；ai，bi为富氏系数；ci为i次谐波振幅，为i次谐波相位，i=arctg（ai/bi）。（2）谐波分量意义i=1，级数展开中的a1cos+b1sin项决定了平均半径圆心在极坐标中的位置，当有偏心存在时，在极坐标系中得到的是一个偏心的平均半径圆，偏心量为初相位 =arctg（ai/bi）。i=2，级数展开中的a2cos2+b2sin2项反映在在极坐标系中是一个椭圆。i=3，级数展

9、开中的a3cos3+b3sin3项反映在在极坐标系中是一个三棱圆，以此类推。根据圆度误差的国标定义，从式（10）中剔除掉偏心影响，粗糙度影响（高次谐波分量），和表面波度的影响，即为另一种形式的圆度误差函数，表示为r（）=aicosi+bisini（3）谐波分量的求解谐波分量可用最小二乘法求解，其方法是把信号周期分为N个相等的子区间，然后在区间0，T中的第n个结点处获得测得值xn，n=0，1，N-1。据此列出残差方程，根据最小二乘理论，组成正规方程，由三角函数的正交性即可解得ak，bk，由于推导过程较繁，此处从略。（4）用模糊方法辨识工件形状当工件是椭圆、准椭圆或半椭圆时，用N棱圆（N>2

10、）的优化方法，会导致优化过程发散或收敛速度太慢或得不到最优结果。为此，我们设置了四种优化程序分别对应处理椭圆、准椭圆、半椭圆和圆类工件。问题是如何识别工件的形状？上述谐波分析给出了答案，即a2项表征了椭圆成分，但椭圆或半椭圆等并没有确切的界线，是一些模糊的概念，因此用模糊方法可以较好的解决这一问题。设以工件形状作为论域。E=a21，a22，a23，a2ia2n，椭圆A、准椭圆B、半椭圆C和圆D四个模糊子集，隶属度函数如图1所示。图中横坐标为表示椭圆成分的谐波分量a2k，其分界点可通过对上述四类不同形状的工件进行测量实验获取。图1为原理示意。其纵坐标表示隶属度。识别时，在上述谐波分析的基础上，将

11、a2k模糊化，也就是根据图1找出其对应的隶属度，例如，a2=0.8时，从图1可求出该工件属于椭圆的程度为0.7（隶属度为0.7），属于准椭圆的程度为0.5，属于半椭圆和圆的程度均为0。本问题的模糊推理非常简单，例如，如果属于椭圆则转基于对径准则的椭圆优化程序等等。判定时应用最大法，如本例，MAX0.7，0.5，0，0=0.7，应判为椭圆。图13.采样过程的自适应分档采样过程自适应分档的实现，首先必须在传感器接口电箱中加装分档控制继电器或直接采用可编程增益放大器，由软件可以控制进行分档。我们用一个例子来说明自适应分档原理。设某设备共分三档，其满量程值分别为m1，m2，m3。其中m1<m2<m3，初始化时设为m1档。分档过程如图2示。图2图中，快速采样指直接读A/D转换器的端口，而不进行任何变换和计算，这样完成一次判断仅需数十微秒，mi×0.7是用软件模拟一个迟滞触发器的功能，以避