初三数学圆知识点集合

1、.初三数学 圆知识教案【知识点回顾】1圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合2判定一个点P是否在O上设O的半径为R，OPd，则有d>r点P在O 外；dr点P在O 上；d<r点P在O 3与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或

2、直径所对的圆周角为直角如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半4圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径

3、平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦(5)平行弦夹的弧相等5三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示(3)三角形重心

4、：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示(4)垂心：是三角形三边高线的交点6切线的判定、性质：(1)切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径经过圆心作圆的切线的垂线经过切点经过切点作切线的垂线经过圆心(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角7圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，

5、圆内接四边形对角互补，外角等于内对角(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等8直线和圆的位置关系：设O 半径为R，点O到直线l的距离为d(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R(2)直线和O有唯一公共点直线l和O相切dR(3)直线l和O 有两个公共点直线l和O 相交d<R9圆和圆的位置关系：10两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点11圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C2R圆心角为n°、半径为R的弧长圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形

6、的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2Rl，全面积为圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为Rl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为O直径，C为上一点，CDAB于D，OCD的平分线CP交O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变.分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律解：连结OP，P点为中点例2 下列命题正确的是( )A相等的圆周角对的弧相等B等弧所

7、对的弦相等C三点确定一个圆D平分弦的直径垂直于弦解：A在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确B等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确C三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆D平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦故选B例3 四边形ABCD内接于O，ABC123，求D分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等解：设Ax，B2x，C3x，则DACB2xx2x3x2x360°，x45°D90°小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于O，周长为20，且ABBCCD123，求AD的长例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁

8、环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径若测得PA5cm，则铁环的半径是_cm分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OPPA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB16，求两圆的圆心距解：分两种情况讨论：(1)若位于

9、AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，又AB16AC8在中，在中，故(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结垂直平分AB，又AB16，AC8在中，在中，故注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题【相关定理的常见题型】1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）说明：几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 例1 已

10、知P为O内一点，O半径为，过P任作一弦AB，设，则关于的函数关系式为。解：由相交弦定理得，即，其中2.切割线定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA·PB例2 已知PT切O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即，（舍）由切割线定理， 由勾股定理，    例1如图23-10，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB10，CD8，那么AE的长为( )

11、A2B3C4D5分析：连结OC，由AB是O的直径，弦CDAB知CDDE设AEx，则在RtCEO中，即，则，(舍去)答案：A例2如图23-11，CA为O的切线，切点为A，点B在O上，如果CAB55°，那么AOB等于( )A35°B90°C110°D120°分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道AOB2BAC2×55°110°答案：C例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( )ABCD分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，

12、所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即答案：B例4 如图23-12，在半径为4的O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交O于E，且EM>MC，连结OE、DE，求：EM的长简析：(1)由DC是O的直径，知DEEC，于是设EMx，则AM·MBx(7x)，即所以而EM>MC，即EM4例5如图23-13，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根(1)求证：BEBD；(2)若，求A的度数简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m2所以，原方程为

13、得故BEBD(2)由相交弦定理，得，即而PB切O于点B，AB为O的直径，得ABPACB90°又易证BPDAPE，所以PBDPAE，PDCPEB，则，所以，所以在RtACB中，故A60°初三复习圆的知识测试题1.如图，半圆的半径为2cm，点C、D三等分半圆，求阴影部分面积2.如图，AB是O的直径，PB与O相切与点B，弦ACOP，PC交BA的延长线于点D，求证：PD是O的切线，ABCDOP3.已知：如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点C，BDPD，垂足为D，连接BC。求证：（1）BC平分PBD；（2）。4.如图，CB、CD是O的切线，切点分别为B、D，CD的

14、延长线与O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED（1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明；（2）若OD4，CD=6，求tanADE的值5.如图，是的直径，为圆周上一点，过点的切线与的延长线交于点求证：（1）；（2）6.如图，已知：ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于D，DE切O于D，交AC于E求证：DEAC1.如图是两个半圆，点为大半圆的圆心，是大半圆的弦关与小半圆相切，且问：能求出阴影部分的面积吗.若能，求出此面积；若不能，试说明理由2.如图，四边形内接于O，是O的直径，垂足为，平分（1）求证：是O的切线；DECBOA（2）若，求的长3.已知扇形的圆心角为120°，

15、面积为300cm2（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少.4.（2009年湖北荆州）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段BC上一点（不与BC重合），过N作AB的垂线交AB于M，交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交EM于F.求证：ACONCF；若NCCF32，求sinB 的值.EMNOCBAF5.如图，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E。（1） 求证：DE是O的切线；（2） 作DGAB交O于G，垂足为F，若A30°，AB8，求弦DG的长。6.如图2,在ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC

16、上运动.设BD=CE=.(1)如果BAC=30°,DAE=105°,试确定与之间的函数解析式； AEDCB图2(2)如果BAC的度数为,DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立"试说明理由.7.(2005年·)如图3(1),在ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EPED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.(1)求证: ADEAEP.(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP的长.ABCO图8H8. 如图,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=,A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,AOC的面积为.(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当O与A相切时,AOC的面积.9.如图，中，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点（1）当时，求的长； （2）当以点为圆