【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题18 数学思想在解题中的应用(二)》热点命题 苏教版

1、必考问题18数学思想在解题中的应用(二)【真题体验】1(2012·南通期末调研)已知函数f(x)3sin，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值为_解析由条件可得f(x1)f(x)min3，f(x2)f(x)max3，所以|x1x2|的最小值等于个周期，而周期T4，故|x1x2|minT2.答案22(2012·苏锡常镇四市调研)如图，已知二次函数yax2bxc(a，b，c为实数，a0)的图象过点C(t,2)，且与x轴交于A，B两点，若ACBC，则a的值为_解析因为二次函数yax2bxc(a，b，c为实数，a0)的

2、图象过点C(t,2)，所以at2btc2，设A(x1,0)，B(x2,0)，则由韦达定理可得x1x2，x1x2，且ACBC可以转化为kAC·kBC·1，变形得(tx1)(tx2)4，即为tt24at2btc4a2a.答案3(2012·启东中学模拟)若关于x的不等式x22xa20的解集为R，则实数a的取值范围是_解析利用二次函数图象可以将问题转化为44(a2)0，解得a1.答案(1，)4(2012·江苏卷改编)解关于x的不等式：loga1.解解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不

3、同，故需对a进行分类讨论若a1，则原不等式等价于1ax0，若0a1，则原不等式等价于1x；综上所述，当a1时，原不等式的解集为；当0a1时，原不等式的解集为.【高考定位】高考对本内容的考查主要有：1分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置2化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程所

4、以转化与化归是高考必考思想方法试题类型基本是解答题，经常与函数与导数、不等式、数列等构成综合题，难度以中高档题居多【应对策略】掌握当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略 熟悉数学中的常见转化，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现必备知识1分类讨论是一种

5、重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定但可以在解题时不断地总结经验如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或者较为隐蔽的“个别”情况未必成立这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论常见的“个别”情形略举以下几例：(1)“方程ax2bxc0有实数解”转化为“b24ac0”时忽略了个别情形：当a0时，方程有解不能转化为0；(2)等比数列a1qn1的前n项和公式Sn中有个别情形：q1时，公式不再成立，而是Snna1；(

6、3)设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑；(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1，但有个别情形：a0时，再不能如此设，应另行考虑2化归与转化应遵循的基本原则：(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识、经验来解决问题；(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；(4)

7、直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；(5)正难则反原则：当问题正面解决遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从反面去探求，使问题获解必备方法1分类讨论：(1)分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论；(2)分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论；(3)含参数问题的分类讨论是常见题型；(4)注意简化或避免分类讨论2等价转化：熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对

8、定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系；“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题命题角度一分类讨论思想在解题中的应用命题要点 公式中的分类讨论，如数列公式；函数、不等式中的分类讨论【例1】 (2012·泰州期末)已知数列an，对于任意n2，在an1与an之间插入n个数，构成的新数列bn成等差数列，并记在an1与an之间插入的这n个数均值为cn1.(1

9、)若an，求c1，c2，c3；(2)在(1)的条件下是否存在常数，使cn1cn是等差数列？如果存在，求出满足条件的，如果不存在，请说明理由；(3)求出所有的满足条件的数列an审题视点 听课记录审题视点 等差数列的概念、通项公式的应用解(1)由题意a12，a21，a35，a410，在a1与a2之间插入1、0，c1；在a2与a3之间插入2、3、4，c23；在a3与a4之间插入6、7、8、9，c3.(2)在an1与an之间插入n个数构成等差，d1，cn1，假设存在使得cn1cn是等差数列，(cn1cn)(cncn1)cn1cn(cncn1)·(1)n常数，1时cn1cn是等差数列(3)由题

10、意满足条件的数列an应满足，····，an1an(a2a1)·(n2)，anan1(a2a1)·(n1)，a3a2(a2a1)×4，a2a1(a2a1)×3，ana1(a2a1)·(n2)an(a2a1)(n1)(n4)a1(n2)，又n1时也满足条件形如ana(n1)(n4)b(a，bR)的数列均满足条件 数列问题中涉及分类讨论的公式有两个，即an与Sn之间的关系式an和等比数列的求和公式Sn【突破训练1】 (2012·泰州月考)已知函数f(x)xlog2x，正实数a，b，c是公差为正数的等差

11、数列，且满足f(a)·f(b)·f(c)0，若实数d是函数f(x)的一个零点，那么下列四个判断：da；da；dc；dc中有可能成立的序号为_解析因为正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，所以a，b，c由小到大等距离地分布在x轴的正半轴上，又f(a)·f(b)·f(c)0，而在(0，d)上，均有f(x)0，在(d，)上，均有f(x)0，则a，b，c可能都在d的右侧，也可能a，b在d的左侧，c在d的右侧，所以判断均可能成立，不可能成立答案命题角度二等价转化思想在解题中的应用命题要点 等价转化在代数中的应用；等价转化在几何中的应用【例2】 (2012

12、3;南师附中模拟)记F(a，)，对于任意实数a和，F(a，)的最大值与最小值的和是_审题视点 听课记录审题视点 利用斜率公式将问题转化为过点作圆的两条切线，再利用直线与圆相切的条件，求解最大值、最小值解析F(a，)，几何意义是动点(cos ，sin )与动点连线的斜率，其中动点(cos ，sin )在圆心在原点，半径为1的圆上，动点在射线yx(x或x)上，作出图形可知F(a，)的最大值与最小值分别是过点作圆x2y21的两条切线的斜率，且当为(，)或(，)时，两条切线的斜率分别是最大值与最小值，不妨设过点(，)作圆x2y21的切线方程为yk(x)，即为kxy(1k)0，所以1，化简得k24k10

13、，由韦达定理得k1k24，即F(a，)的最大值与最小值的和为4.答案4 分式函数的最值问题经常与过两点的直线的斜率公式联系起来，实现代数与几何之间的等价转化还有很多类似的转化，如求某一区间上函数z2xy的最值，其几何意义与直线的纵截距有关，函数zx2y2的最值，与点(x，y)到原点的距离的平方有关，平时学习时要注意积累【突破训练2】 (2012·启东中学模拟)若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围是_解析函数f(x)在区间(1,1)内恰有一个极值点可以等价转化为f(x)0在区间(1,1)内恰有一个解，因为f(x)3x22xa，所以f(1)f(

14、1)(32a)(32a)0，解得1a5，当a1时，f(x)3x22x1(x1)(3x1)0，解得x1或x，满足题意；当a5时，f(x)3x22x5(x1)·(3x5)0，解得x1或x，不满足题意，综上，实数a的取值范围是1,5)答案1,5)17等价转化是关键，分类讨论要重视一、分类讨论不要造成漏解【例1】 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程为2xy0，则该双曲线的离心率为_解析当双曲线的焦点在x轴上时，2，解得e；当双曲线的焦点在y轴上时，2，解得e，所以该双曲线的离心率为或.答案或老师叮咛：双曲线的渐近线方程与焦点位置有关，本题中焦点位置不确定，所以要对焦点位置进行讨论，当焦点在x轴上时，渐近线方程为y±f(b,a)x，当焦点在y轴上时，渐近线方程为y±x.二、应用等价转化思想将不熟悉问题转化为熟悉问题【例2】 已知直线l：AxByC0(A，B不全为0)，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，|Ax1By1C|Ax2By2C|，则给出下列四种说法，其中正确的序号是_直线l与直线P1P2不相交；直线l与线段P2P1的延长线相交；直线l与线段P1P2的延长线相交；直线l与线段P1P2相