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文档简介
1、、单选题1 .已知可导函数 f(x )的导函数为f'(x ), f (0)=2018,若对任意的xw R,都有f (x)A f'(x),则不等式f (x )<2018ex的解集为()1A. 0,二 B.,二eD.-二,0 )2 .定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且当XA0,xf'(x)十2f (x)<0.则()A.f e f -3B. 9f 3 f 1 C.:二D.9 ef e : f -23.已知f (x)为定义在(0,依)上的可导函数,且f(x)>xf'(x )恒成立,则不等式的解集为(A. 1,二B. -二,1 C
2、. 2,二 D. -二,2二、解答题4.已知函数f x - -ax2 Inx a R .(1)讨论f (x)的单调性;(2)若存在xw(1,+g ) f (x)Aa,求a的取值范围.2-25 .设函数 f(x)=_x +ax + 2(x -x )lnx .(1)当a = 2时,讨论函数f (x )的单调性;(2)若xw (0,")时,f(x)0恒成立,求整数 a的最小值.1 a6 .已知函数 f (x )= xalnx, g (x )= (a=R).x若a=1,求函数f (x )的极值;设函数h(x )= f (x )g (x ),求函数h(x)的单调区间;若在区间1,e(e =2.
3、71828)上不存在x0,使得f (% )<g(%)成立,求实数a的取值范围.7 .已知函数 f (x ) = (xa )lnx, a w R .a的取值范围(1)当a =0时,求函数f(x)的极小值;(2)若函数f (x )在(0,Jd:为增函数,求8 .已知函数 f (x)= (x2 ax a )ex.(1)讨论f (x)的单调性;(2)若aw (0,2),对于任意xi,x2 w 4,0,都有f (x1 )-f (x2 k 4e+mea恒成立,求m的取值范围参考答1. A丘人f xf x ,一 f x【解析】令 g x =, g x =x < 0, g 0 =2018ee一,,
4、_x f x 一一因此 f (x )<2018e = V<2018= g(x,g(0A x)0,选 A. e点睛:利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造f x辅助函数常根据导数法则进行:如f(x)<f(x)构造g ( x)=三, f(x)+f(x)<0构造 ex.f x.g(x)=e f( x, xf (x )< f (x)构造 g (x ) =, xf (x )+f (x )<0 构造 g(x)= xf (x)等2. D【解析】根据题意,设 g (x) =x2f (x),其导数 g' (x) = (x2
5、) ' (x) +x2?f(x) =2xf (x) +x2?f (x) =x2f (x) +xf (x),又由当 x>0 时,有 2f (x) +xf (x) <0 成立,则数 g' (x) =x2f (x) +xf (x) <0 ,则函数g (x)在(0, +8)上为减函数,若 g (x) =x2f (x),且 f (x)为偶函数,则 g (-x) = (-x) 2f (-x) =x2f (x) =g (x),f e f 2.八即g (x)为偶函数,所以 g e)<g(2)即2<一7因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),4 ef e f
6、 -2所以:二24 e故选D点睛:本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数的奇偶性与单调性的应用,关键是构造函数g(x)并分析g (x)的单调性与奇偶性.3. A丘上L 人f x.xf x - f x【解析】令g (x )=,则g (x )=2xxf x I > xf xxf x - f x xf (x)-f(x)<0,即 g'(x)=-V V J<0在(0,y )上恒成立 x g(x旅(0,)上单调递减/1 ) flx J.一,即 g ;gx.1<x , x故选A点睛:本题首先需结合已知条件构造函数,然后考查利用导数判断函数的单调性,再由函数的单调性和
7、函数值的大小关系,判断自变量的大小关系.4. (1) f(X 而 0,,2上递增,在1-=,+上递减.;(2) 12alt【解析】试题分析:(1)对函数f(X)求导,再根据a分类讨论,即可求出f(x)的单调性;(2)将fx )>a化简得a(x2 1 )lnx<0,再根据定义域x三(1,收),对a分类讨论,a E0时,满足题意,a>0时,构造g(x ) = a(x2 -1 )-lnx,求出g(x)的单调性,可得 g(x)的最大值,即可求出 a的取值范围.11 -2ax2试题解析:(1) r(x)=_2a+1 = i,x x当aM0时,f'(x)>0,所以f(x在(
8、0,收)上递增,1当a >0时,令f (x) = 0,得x =, 2a令 f r(x)>0,得 xW|0,一 一1;令 f ' x <0,得 xW -=k,.2a+oc所以f (x应10i上递增,在口,也上递减.2I扃,)(2)由 f (x )>-a,得 a(x2 -1 )lnx <0 ,因为 x (1,所以inx;0,x2 10 ,当a E0时,a(x2 -1 )lnx <0满足题意,2,12. 2ax -1当 a 之一时,设 g (x )=a (x -1 )Tnx(x > 1), g (x ) => 0 ,2x所以g(x庭(1,+b
9、)上递增,所以g(x )>g(1 )=0 ,不合题意,令 g'(x)<0,得.1, I, 2a1.1当 0<a< 一时,令 g (x)>0,得 x H=,y2. 2a所以 g(x max=g '-1= Lg(1)=o,则 (1+天),g(x)<0, 2a综上,a的取值范围是(,1 i 2点睛:本题考查函数的单调性及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题.处理导数大题时,注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含
10、有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会5. (1) f(X)递增区间为(0, 1), (1, +8),递减区间为(1,1); (2)1. 22【解析】试题分析:(1)求出函数f (x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为a>x-2 (x-1 ) lnx恒成立,令g (x) =x-2 (x-1 ) Inx,根据函数的单调性求出 a的最小值即可.试题解析:(1)由题意可得f (x)的定义域为(0, +8),当 a=2 时,f (x)= x2+2x+2 (x2x) lnx,1_所以 f' xQ = 2
11、x+2+2 (2x1) lnx+2 (x2x) ?K = (4x2) lnx ,由 f (x) > 0 可得:(4x 2) lnx >0 ,r 4x-2>0 |4s-2<0 所以或UnYOj_解得x> 1或0vxv 2 ; 由 f (x) v 0 可得:(4x 2) lnx < 0 ,所以j 4-2<C 1 lnx>0解得:34综上可知:f (x)递增区间为(0,工),(1 , +00),递减区间为(,1).(2)若 xC。,+8)时,f (x) >0 恒成立, 即a>x2 (x1) lnx恒成立,令 g (x) =x 2 (x 1)
12、 Inx ,贝U a >g (x) max.因为 g' x) =1 2 (lnx+ 工)由(II )知所以g' (x)在(0, +8)上是减函数,且 g' (1) >0, g' 2 < 0,故存在xoC(1,2)使得g(x)在(0,xo)上为增函数,在(xo,+8)上是减函数, ,x=x)时,g (x) max=g (x0) = 0, ' a>0,又因为 aC Z,所以 amin=1 .点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若f (x )A0就可讨论参数不同取值下的函数的单
13、调性和极值以及最值,最终转化为f (x)min >0 ,若f (x )<0恒成立,转化为f (x 1ax <0;(3)若 f (X )>g(X )恒成立,可转化为 f (xmin )>g(xmax.e2 16. (1)极小值为 f (1 ) = 1 ; (2)见解析(3) -2<a<e -1【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导数符号,确定极值(2)先求导数,求导函数零点,讨论1+a与零大小,最后根据导数符号确定函数单调性(3)正难则反,先求存在一点 x0,使得f (x )<g(x0 )成立时实数a的取值范围,由存在性问题转
14、化为对应函数最值问题,结合(2)单调性可得实数a的取值范围,最后取补集得结果x -1试题斛析:斛:(I)当a=1时,f(x) = xTnx= f'(x)=:>0= x >1 ,列极值分布表xx 1)Lx -1a二f (x )在(0,1 )上递减,在(1 +8)上递增,f (x )的极小值为f (1 )=1;,、1 a(II ) h(x) = xalnx+x当 a w1 时,h'(x )>0;. h(x )在(0,+R)上递增;当 a A1 时,h'(x )a0口 x a1 + a ,h(x堆(0,1十a)上递减,在(1 + a,收)上递增;(III )
15、先解区间1,e】上存在一点比,使得f (x0 )<g(%)成立= h(x)=f(x)- g(x)<0 在 1,e】上有解 u 当 x 1,e】时,h(x)min <0当a w1时,当a > -1时,当1 <a M0时,h x在1,e上递增,hmin = h 1) = 2 a 二 0= a 二 -2a无解当a之e1时,h(x )在1,e上递减.hmin=h e =e-ae2 10= a e-1e 11- a >e-1h(x)在1,e上递增,/. hmin =h(1 )=2 + a<0= a<-2. a<2h(x)在(0,1+a)上递减,在(1
16、+a,g)上递增当0<a<e1时,h(x)在1,1+a上递减,在(1 + a,e)上递增hmin = h 1 a =2 a - aln 1 a人2 a - aln 1a 2令 F a :二 _ 121c一ln (1 + a 则 F '(a )= ) 一< 0a2 1 a二 F (a )在(0,e-1 矮减,, F (a )> F (e-1 )=e-1>0,二 F(a)c0无解,e - 1a e-1即 hmin =2 + a aln (1 + a )<0 无解;e1 + I综上:存在一点x0,使得f (x0 )<g(x0 )成立,实数a的取值范围
17、为:a<-2或2, W所以不存在一点x0,使得f (x0 )< g (x0 )成立,实数a的取值范围为e点睛:函数单调性问题,往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题,即转化为方程或不等式解的 问题(有解,恒成立,无解等),而不等式有解或恒成立问题,又可通过适当的变量分离转化为对应函数 最值问题.,、1 ,、7. (1) (2) e【解析】试题分析:(1)当a=0时,得出函数的解析式,求导数,令f'(x) = 0,解出x的值,利用导数值的正负来求其单调区间进而求得极小值;(2)求出f'(x),由于函数f(x )在(0,依 促增函数,转化为 f'(x)之0对
18、任意x10,y)恒成立,分类参数,利用导数 g(x)=xlnx + x的最小值,即可求实数 a的取值范围.试题解析:(1)定义域为 0, 二 当 a=0时,f (x )=xlnx , f'(x)=lnx+1.人11令 f'(x) = 0,得 x=1 ef'(x)<0, f(x)为减函数;尺)时f'(X)>0, f(X必增函数.所以函数f(X)的极小值是fl/1.e ex - a(2)由已知得 f'(x)=lnx+x.x因为函数f(x )在(0,+增函数,所以f x)>0对任意xw(0,2)恒成立,x -a由 f (x )>0 ln
19、x +>0 ,即 xlnx + x 之 a对任意的 xw(0,十)恒成立.x设g (x ) = xlnx +x ,要使“xlnx +x之a对任意xw (0,收)恒成立",只要 a M g(x )min.1因为 g'(x) = lnx+2,令 g'(x) = 0,得 x=.e当 x10,4 i时,g'(x)<0, g(x)为减函数; ,e当 xyi时,g'(x)>0, g(x)为增函数. e所以g (x )的最小值是g i12 L 0 .e e故函数f(x加(0,收 因增函数时,实数 a的取值范围是/_00,_工1.e点睛:本题主要考查了导数在函数中的综合应用,解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间,利用导数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用,这属于教学的重点和难点,应熟练掌握,试题有一定的综合性,属于中档试题,解答中把函数f (x )在(0,十比)是增函数,所以f'(x)20对任意xw(0,+w)恒成立是解答的关键.1 e28. (1)见解析;(2) m >一3.e【解析】试题分析:(1)求出f'(x),分三种情况讨论,分别令(乂)0求得*的范围,可得函数f(x)增区间,f'(x)<0求得x的范围,可得函数 f(x )的减区间
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