导数难题(含答案)

1、、单选题1 .已知可导函数 f(x )的导函数为f'(x ), f (0)=2018,若对任意的xw R,都有f (x)A f'(x),则不等式f (x )<2018ex的解集为()1A. 0,二 B.,二eD.-二，0 )2 .定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且当XA0,xf'(x)十2f (x)<0.则()A.f e f -3B. 9f 3 f 1 C.:二D.9 ef e ： f -23.已知f (x)为定义在(0,依)上的可导函数，且f(x)>xf'(x )恒成立，则不等式的解集为(A. 1,二B. -二,1 C

2、. 2,二 D. -二,2二、解答题4.已知函数f x - -ax2 Inx a R .(1)讨论f (x)的单调性;(2)若存在xw(1,+g ) f (x)Aa,求a的取值范围.2-25 .设函数 f(x)=_x +ax + 2(x -x )lnx .(1)当a = 2时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若xw (0,")时，f(x)0恒成立，求整数 a的最小值.1 a6 .已知函数 f (x )= xalnx, g (x )= (a=R).x若a=1,求函数f (x )的极值;设函数h(x )= f (x )g (x ),求函数h(x)的单调区间;若在区间1,e(e =2.

3、71828)上不存在x0,使得f (% )<g(%)成立，求实数a的取值范围.7 .已知函数 f (x ) = (xa )lnx, a w R .a的取值范围(1)当a =0时，求函数f(x)的极小值；(2)若函数f (x )在(0,Jd：为增函数，求8 .已知函数 f (x)= (x2 ax a )ex.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若aw (0,2),对于任意xi,x2 w 4,0，都有f (x1 )-f (x2 k 4e+mea恒成立，求m的取值范围参考答1. A丘人f xf x ，一 f x【解析】令 g x =, g x =x < 0, g 0 =2018ee一，,

4、_x f x 一一因此 f (x )<2018e = V<2018= g(x，g(0A x)0,选 A. e点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造f x辅助函数常根据导数法则进行：如f(x)<f(x)构造g ( x)=三, f(x)+f(x)<0构造 ex.f x.g(x)=e f( x， xf (x )< f (x)构造 g (x ) =, xf (x )+f (x )<0 构造 g(x)= xf (x)等2. D【解析】根据题意，设 g (x) =x2f (x),其导数 g' (x) = (x2

5、) ' (x) +x2?f(x) =2xf (x) +x2?f (x) =x2f (x) +xf (x),又由当 x>0 时，有 2f (x) +xf (x) <0 成立，则数 g' (x) =x2f (x) +xf (x) <0 ,则函数g (x)在(0, +8)上为减函数，若 g (x) =x2f (x),且 f (x)为偶函数，则 g (-x) = (-x) 2f (-x) =x2f (x) =g (x),f e f 2.八即g (x)为偶函数，所以 g e)<g(2)即2<一7因为f(x)为偶函数，所以f(-2)=f(2),4 ef e f

6、 -2所以：二24 e故选D点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g(x)并分析g (x)的单调性与奇偶性.3. A丘上L 人f x.xf x - f x【解析】令g (x )=，则g (x )=2xxf x I > xf xxf x - f x xf (x)-f(x)<0,即 g'(x)=-V V J<0在(0,y )上恒成立 x g(x旅(0,)上单调递减/1 ) flx J.一，即 g ；gx.1<x , x故选A点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和

7、函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.4. (1) f(X 而 0,，2上递增，在1-=,+上递减.；(2) 12alt【解析】试题分析：(1)对函数f(X)求导，再根据a分类讨论，即可求出f(x)的单调性；(2)将fx )>a化简得a(x2 1 )lnx<0,再根据定义域x三(1,收)，对a分类讨论，a E0时，满足题意，a>0时,构造g(x ) = a(x2 -1 )-lnx,求出g(x)的单调性，可得 g(x)的最大值，即可求出 a的取值范围.11 -2ax2试题解析：(1) r(x)=_2a+1 = i,x x当aM0时，f'(x)>0,所以f(x在(

8、0,收)上递增,1当a >0时，令f (x) = 0,得x =， 2a令 f r(x)>0,得 xW|0,一 一1；令 f ' x <0,得 xW -=k,.2a+oc所以f (x应10i上递增，在口，也上递减.2I扃，)(2)由 f (x )>-a,得 a(x2 -1 )lnx <0 ,因为 x (1,所以inx；0,x2 10 ,当a E0时，a(x2 -1 )lnx <0满足题意,2,12. 2ax -1当 a 之一时，设 g (x )=a (x -1 )Tnx(x > 1), g (x ) => 0 ,2x所以g(x庭(1,+b

9、)上递增，所以g(x )>g(1 )=0 ,不合题意,令 g'(x)<0,得.1, I, 2a1.1当 0<a< 一时，令 g (x)>0,得 x H=,y2. 2a所以 g(x max=g '-1= Lg(1)=o，则 (1+天),g(x)<0, 2a综上，a的取值范围是(,1 i 2点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含

10、有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会5. (1) f(X)递增区间为(0, 1), (1, +8),递减区间为(1，1); (2)1. 22【解析】试题分析：(1)求出函数f (x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为a>x-2 (x-1 ) lnx恒成立，令g (x) =x-2 (x-1 ) Inx,根据函数的单调性求出 a的最小值即可.试题解析：(1)由题意可得f (x)的定义域为(0, +8),当 a=2 时，f (x)= x2+2x+2 (x2x) lnx,1_所以 f' xQ = 2

11、x+2+2 (2x1) lnx+2 (x2x) ?K = (4x2) lnx ,由 f (x) > 0 可得：(4x 2) lnx >0 ,r 4x-2>0 |4s-2<0 所以或UnYOj_解得x> 1或0vxv 2 ； 由 f (x) v 0 可得：(4x 2) lnx < 0 ,所以j 4-2<C 1 lnx>0解得:34综上可知：f (x)递增区间为(0,工)，(1 , +00),递减区间为(，1).(2)若 xC。，+8)时，f (x) >0 恒成立, 即a>x2 (x1) lnx恒成立,令 g (x) =x 2 (x 1)

12、 Inx ,贝U a >g (x) max.因为 g' x) =1 2 (lnx+ 工)由(II )知所以g' (x)在(0, +8)上是减函数，且 g' (1) >0, g' 2 < 0,故存在xoC(1,2)使得g(x)在(0,xo)上为增函数，在(xo,+8)上是减函数, ，x=x)时，g (x) max=g (x0) = 0, ' a>0,又因为 aC Z,所以 amin=1 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2)若f (x )A0就可讨论参数不同取值下的函数的单

13、调性和极值以及最值，最终转化为f (x)min >0 ,若f (x )<0恒成立，转化为f (x 1ax <0；(3)若 f (X )>g(X )恒成立，可转化为 f (xmin )>g(xmax.e2 16. (1)极小值为 f (1 ) = 1 ; (2)见解析(3) -2<a<e -1【解析】试题分析：(1)先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值(2)先求导数，求导函数零点，讨论1+a与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性(3)正难则反，先求存在一点 x0,使得f (x )<g(x0 )成立时实数a的取值范围，由存在性问题转

14、化为对应函数最值问题，结合(2)单调性可得实数a的取值范围，最后取补集得结果x -1试题斛析：斛：(I)当a=1时，f(x) = xTnx= f'(x)=:>0= x >1 ,列极值分布表xx 1)Lx -1a二f (x )在(0,1 )上递减，在(1 +8)上递增，f (x )的极小值为f (1 )=1；,、1 a(II ) h(x) = xalnx+x当 a w1 时，h'(x )>0；. h(x )在(0,+R)上递增;当 a A1 时，h'(x )a0口 x a1 + a ,h(x堆(0,1十a)上递减，在(1 + a,收)上递增；(III )

15、先解区间1,e】上存在一点比,使得f (x0 )<g(%)成立= h(x)=f(x)- g(x)<0 在 1,e】上有解 u 当 x 1,e】时，h(x)min <0当a w1时,当a > -1时,当1 <a M0时,h x在1,e上递增,hmin = h 1) = 2 a 二 0= a 二 -2a无解当a之e1时,h(x )在1,e上递减.hmin=h e =e-ae2 10= a e-1e 11- a >e-1h(x)在1,e上递增，/. hmin =h(1 )=2 + a<0= a<-2. a<2h(x)在(0,1+a)上递减，在(1

16、+a,g)上递增当0<a<e1时，h(x)在1,1+a上递减，在(1 + a,e)上递增hmin = h 1 a =2 a - aln 1 a人2 a - aln 1a 2令 F a :二 _ 121c一ln (1 + a 则 F '(a )= ) 一< 0a2 1 a二 F (a )在(0,e-1 矮减，, F (a )> F (e-1 )=e-1>0,二 F(a)c0无解,e - 1a e-1即 hmin =2 + a aln (1 + a )<0 无解;e1 + I综上：存在一点x0,使得f (x0 )<g(x0 )成立，实数a的取值范围

17、为：a<-2或2， W所以不存在一点x0,使得f (x0 )< g (x0 )成立，实数a的取值范围为e点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的 问题(有解，恒成立，无解等)，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数 最值问题.，、1 ，、7. (1) (2) e【解析】试题分析：(1)当a=0时，得出函数的解析式，求导数，令f'(x) = 0,解出x的值，利用导数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；(2)求出f'(x),由于函数f(x )在(0,依 促增函数，转化为 f'(x)之0对

18、任意x10,y)恒成立,分类参数，利用导数 g(x)=xlnx + x的最小值，即可求实数 a的取值范围.试题解析:(1)定义域为 0, 二 当 a=0时，f (x )=xlnx , f'(x)=lnx+1.人11令 f'(x) = 0,得 x=1 ef'(x)<0, f(x)为减函数;尺)时f'(X)>0, f(X必增函数.所以函数f(X)的极小值是fl/1.e ex - a(2)由已知得 f'(x)=lnx+x.x因为函数f(x )在(0,+增函数，所以f x)>0对任意xw(0,2)恒成立，x -a由 f (x )>0 ln

19、x +>0 ,即 xlnx + x 之 a对任意的 xw(0,十)恒成立.x设g (x ) = xlnx +x ,要使“xlnx +x之a对任意xw (0,收)恒成立"，只要 a M g(x )min.1因为 g'(x) = lnx+2,令 g'(x) = 0,得 x=.e当 x10，4 i时，g'(x)<0, g(x)为减函数； ,e当 xyi时，g'(x)>0, g(x)为增函数. e所以g (x )的最小值是g i12 L 0 .e e故函数f(x加(0,收 因增函数时，实数 a的取值范围是/_00,_工1.e点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用，这属于教学的重点和难点，应熟练掌握，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把函数f (x )在(0,十比)是增函数，所以f'(x)20对任意xw(0,+w)恒成立是解答的关键.1 e28. (1)见解析；(2) m >一3.e【解析】试题分析：(1)求出f'(x),分三种情况讨论，分别令(乂)0求得*的范围，可得函数f(x)增区间，f'(x)<0求得x的范围，可得函数 f(x )的减区间