2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

1、2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题、填空题(本题共 10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上)1 .复数(1 i)4 (1 i)4 .222 .已知直线x my 1 0是圆C：x y 4x 4y 5 0的一条对称轴，则实数 m3 .某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概 率是 (结果用最简分数表示).,.1rl 444 . 已知 cos4 -,贝U sin cos . “一TT 一 一 .一.5 .已知向重a, b满足a b 2, a,b ，则以向重2a b与3a b表布的有向线段3为邻边的平行四边形的面积为 .6 .设数列an的前

2、n项和为Sn.若0是首项及公比都为 2的等比数列，则数列an3的前 n项和等于.7 . 设函数f(x) x2 2 .若f(a)=f(b),且0vavb,则ab的取值范围是 .8 .设f(m)为数列 an中小于m的项的个数，其中an n2,n N * ,贝U ff (2011) .9 . 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是.10 .已知m是正整数，且方程 2x m<10 x m 10 0有整数解，则 m所有可能的值是.二、解答题(本大题共 4小题，每小题20分，共80分)11 .已知圆x2 y2 1与抛物线y x2 h有公共点，求实数

3、h的取值范围.12 .设 f(x) x2 bx c(b,c R).若 x>2时，f(x)>0,且 f(x)在区间 2,3 上的最大值为1,求b2 c2的最大值和最小值.13 .如图，P是VABC内一点.(1)若P是VABC的内心，证明:BPC90o1-BAC ；2若 BPC 900 2 bac 且o 1APC 90 一2ABC,证明：P是VABC的内心.14.已知 是实数，且存在正整数no,使得 几为正有理数.证明：存在无穷多个正整数 n,使得Tn 为有理数.2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题答案及点评、填空题(本题共 10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线

4、上)1 .复数(1 i)4 (1 i)4 .答案：8基础题，送分题，高考难度 222 .已知直线x my 1 0是圆C：x y 4x 4y 5 0的一条对称轴，则实数m .答案：32基础题，送分题，高考难度3 .某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 (结果用最简分数表示).答案：生145基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错 ,.1rl 444 . 已知 cos4 -,贝U sin cos .答案：- 5计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度5 .已知向量a, b满足a b 2, a,b -,则以向量2a b与3

5、a b表示的有向线段 3为邻边的平行四边形的面积为 .答案：10 3可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案6 .设数列an的前n项和为Sn.若Sn是首项及公比都为 2的等比数列，则数列an3的前n项和等于答案：1(8n 48)高考难度级别，基础好的同学可以做出来7 . 设函数f(x) x2 2 .若f(a)=f(b),且0vavb,则ab的取值范围是答案：(0,2)这是一道高考题8 .设f(m)为数列 an中小于m的项的个数，其中an n2,n N*贝U ff (2011) .答案：6这也是一道高考题9 . 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此

6、直角三角形的斜边长是.答案：4 3还是一道高考题10 .已知m是正整数，且方程 2x m才0 x m 10 0有整数解，则 m所有可能的值是.答案：3,14,30这是2011年苏州市一模的第十四题。二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)211.已知圆x2y2 1与抛物线y x2 h有公共点，求实数h的取值范围.解：设公共点(cos 0,sin®,代入抛物线方程,得 h sin2 cos2sinsin 1 (sin1 22)因为sin1,1I简单，很简单12.设 f(x)bxc(b,c且f(x)在区间2,3上的最大值2. 一，一c的最大值和最小值.解：由题意函数图象为开口

7、向上的抛物线，且f (x)在区间2,3上的最大值只能在闭端点取得，故有f (2) < f (3) 1 ,从而b> 5且c3b 8.若f(x) 0有实根，则 b2 40 0 ,f( 2)>0, 在区间 2,2有f (2) > 0, 即b2< -< 2,4 2b4 2bc> 0,c> 0,消去c,解出4W b w 4,b w 4,5b w 4,4 w b w 4,若f (x) 0无实根，则4c0 ,将c 3b 8代入解得综上 5< b< 4 .所以 b2 c2 b2 ( 3b28)210b48b 64 ,单调递减故(b232,(b2c )

8、 max 74 -注重分类讨论13.如图，P是VABC内一点.(1)若P是VABC的内心，证明： BPC 90°1BAC ；2. 1(2)右 BPC 902BAC 且 APC 900ABC,证明：P是VABC的内心.证明：(1) BPC 18001八(ABC 2ACB)°1°°1180(180 BAC) 90 BAC22(2因为上上胡C足大于9岁的定氟BC是线短r所以点户在以BC为弦的州上，底卬亡B过=9炉+£/明匕H有弧EPC与4花BC的周瘾12分同理.点p先以de为赞的困匕其中£0尸(?=9炉且劣加APC与白在的司划,所以严是这两个团的公共点.由可按仞, 月比的内心也是芯两个别的公共点，又C是箕两反的另一个公共禹但不在3HBU内.所以户是内心.-20 分这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有14.已知 是实数，且存在正整数 no,使得4n为正有理数.证明：存在无穷多个正整数n,使得Vn为有理数.证明：设.noq ,其中p, pq为互质的正整数，则 no2q2P设k为任意的正整数，构造2, 2n p k 2qk n0 ,p2k2 2qkno2p2k2 2qk q2 ppk非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识出线并不算太难，只要平,对于没有进行过竞