工程电磁场-第1章 静电场

1、电场电场：电荷的周围存在者一种特殊的物质，它对引入其中的电荷的周围存在者一种特殊的物质，它对引入其中的电荷有一种力的作用，这种物质称做电场。电荷有一种力的作用，这种物质称做电场。静电场静电场：相对与观察者为静止的、且电荷不随时间的变化而相对与观察者为静止的、且电荷不随时间的变化而变化。变化。研究的意义研究的意义：实际许多问题可以归结为静电场问题，如电力实际许多问题可以归结为静电场问题，如电力设备的绝缘、电容的计算、防雷设计。设备的绝缘、电容的计算、防雷设计。基本物理量基本物理量：电场强度、电位。：电场强度、电位。1 静电场静电场1.2 1.2 高斯定理高斯定理1.3 1.3 静电场基本方程，分

2、界面上衔接的条件静电场基本方程，分界面上衔接的条件1.4 1.4 静电场边值问题静电场边值问题 ， 唯一性定理唯一性定理1.1 1.1 电场强度电场强度 、电位、电位1.5 1.5 镜像法和电轴法镜像法和电轴法间接解电磁场问题方法间接解电磁场问题方法1.8 1.8 导引，数值计算方法，有限差分法导引，数值计算方法，有限差分法1.6 1.6 电容和部分电容电容和部分电容1.7 1.7 静电能量与力静电能量与力总结总结1 1 静电场静电场1.1 电场强度电场强度 、电位、电位1.1.1 库仑库仑(Coulomb)定律定律1.1.2 静电场基本物理量静电场基本物理量电场强度电场强度1.1.3 静电场

3、环路定律静电场环路定律1.1.4 电位电位(Potential)1.1.5 电力线与等位线（面）电力线与等位线（面） 静电现象的基本实验定律。静电现象的基本实验定律。1785年，法国科学家库仑发现。描述的是无年，法国科学家库仑发现。描述的是无限大真空中两个点电荷相互作用力的一个定律。限大真空中两个点电荷相互作用力的一个定律。 定律指出：两个无限大真空中点电荷定律指出：两个无限大真空中点电荷“同性相排斥，异性相吸同性相排斥，异性相吸”，作用，作用力的大小与两个点电荷的乘积成正比，与二者之间距离的平方成反比。力的大小与两个点电荷的乘积成正比，与二者之间距离的平方成反比。212021214RqqeF

4、221021124RqqeF1221FF，真空介电常数)F/m(1085. 81201.1.1 库仑库仑(Coulomb)定律定律 ),(),(lim0tqqzyxzyxtF FE电场强度电场强度 : 单位正电荷在电场中所受到的电场力力单位正电荷在电场中所受到的电场力力(F )。(1) 点电荷产生的电场强度点电荷产生的电场强度r20tpr4qq)(eFrE44)(2020rrrrrrrqRqRpeE E304)(qrrrr1.1.2 静电场基本物理量静电场基本物理量电场强度电场强度(Electric Field Intensity)(3) 连续分布电荷产生的电场强度连续分布电荷产生的电场强度)

5、(dq41)(30rrrrrrdEkN1k2kk0kkN1k2kk0Rq41q41)(errrrrrrE体电荷分布体电荷分布dV)(dqrdq41)(V30rrrrrERvRdVe20) (41r面电荷分布面电荷分布R s20Rds)(41)(errE) (dsdqr线电荷分布线电荷分布Rl20Rdl)(41)(errE) (dldqr(2) n个点电荷产生的电场强度个点电荷产生的电场强度例例 真空中有长为真空中有长为L L的均匀带电直导线的均匀带电直导线 , , 电荷线密度为电荷线密度为,试求试求P 点的电场。点的电场。解解: : 令令y轴经过场点轴经过场点p, ,导线与导线与x轴重合。轴重

6、合。)yx(4dx)y,x(dE22odEyxxdE22xdEyxydE22y)11(4)(4222221222221yLyLdxyxxyxEoLLox)(4)(422112222222221yLLyLLydxyxyyxEoLLoy,21时当LLxxyypEE)y(eeE( (直角坐标直角坐标) )yye02zzEEE)z ,(eeeE( ( 圆柱坐标圆柱坐标) )e02点电荷点电荷304q)(rrrrrE304q)(rrrrrE矢量恒等式矢量恒等式FFFCCC)(1)(1333rrrrrrrrrrrr直接微分直接微分:0)(rr0) (3) (153rrrrrrrrrr0)r(E电场强度电场

7、强度E 的旋度等于零。的旋度等于零。1.1.3 静电场环路定律静电场环路定律提示：提示：叉乘叉乘结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场，即任一分结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场，即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零静电场是一个无旋场静电场是一个无旋场。0E 静电场的环路定律静电场的环路定律 在静电场中在静电场中, ,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。零。 电场力作功与路径无关电场力作功与路径无关, ,静电场是保守场。静电场是保守场。sldd0ElES)( ld0lE0E 二者等价。二者等价。E304

8、q)(rrrrrE(2) 电位的求解电位的求解31rrrrrr)r(4q)(0rrrEC4q)r(0rr0E 0在静电场中，任意一点的电场强度在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减小最快方向，的方向总是沿着电位减小最快方向，其大小等于电位的最大变化率。其大小等于电位的最大变化率。(1) 电位的引入电位的引入1.1.4 电位电位(Potential)作业：作业：P13,113Cq41)r(N1iii0rr点电荷群点电荷群,41)(0Cdqrvrr连续分布电荷连续分布电荷dldSdVdq , ,00E ？ ( )( )0E 0 ？ ( )( ) 根据根据 E 与与 的微分关系，试问静

9、电场中的某一点的微分关系，试问静电场中的某一点E E 与与 的积分关系的积分关系llEdd00)()(0PPPPdPPdlEddzzdyydxx设设P0为参考点为参考点参考点PdPlE)(例如：点电荷产生的电场：例如：点电荷产生的电场：Cr4q000rC0rr4q00C表达式无意义表达式无意义0RrR4qr4q00R4qC0 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点； 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。 场中任意两点的电位差与参考点无关。场中任意两点的电位差与参考点无关。 同一个物理问题，只能选

10、取一个参考点。同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。电位参考点的选择原则电位参考点的选择原则E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致。若的方向一致。若dl是电力线的是电力线的长度元，长度元，E 矢量将与矢量将与dl方向一致，方向一致，0dlEzyxEdzEdyEdx当取不同的当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。等位线（面）与值时，可得到不同的等位线（面）。等位线（面）与E线正交。线正交。在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面在静

11、电场中电位相等的点的曲面称为等位面C)z ,y,x(1) 电力线电力线(2) 等位面等位面(线线) 相邻两等位面之间的电位差应相等，这样才能表示出电场的强弱。等位面愈相邻两等位面之间的电位差应相等，这样才能表示出电场的强弱。等位面愈密处，场强愈大。密处，场强愈大。1.1.5 电力线与等位线（面）电力线与等位线（面） E线不能相交线不能相交; ; E线愈密处，场强愈大线愈密处，场强愈大; ; E线起始于正电荷，终止于负电荷。线起始于正电荷，终止于负电荷。电偶极子的等位线和电力线电偶极子的等位线和电力线 点电荷与接地导体的电场点电荷与接地导体的电场 点电荷与不接地导体的电场点电荷与不接地导体的电场

12、 均匀场中放进了导体球的电场均匀场中放进了导体球的电场 点电荷位于一块导平面上方的电场点电荷位于一块导平面上方的电场1.2.2 静电场中的电介质静电场中的电介质1.2.3 真空中的高斯定律真空中的高斯定律1.2.4 电介质存在时的高斯定律电介质存在时的高斯定律1.2.1 静电场中的导体静电场中的导体1.2.5 高斯定律的应用高斯定律的应用作业：作业： P19:1-2-3; P67:1-3,1-71. 2 高斯定理高斯定理1.2.1 静电场中的静电场中的导体导体电场强度垂直于导体表面；电场强度垂直于导体表面； 导体是等位体，导体表面为等位面；导体是等位体，导体表面为等位面； 导体内电场强度导体内

13、电场强度E为零；为零； 电荷分布在导体表面，且电荷分布在导体表面，且。0E 任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。 （ ） 一导体的电位为零，则该导体不带电。一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ） 接地导体都不带电。（接地导体都不带电。（ ） 其中含有大量的自由电子，在电其中含有大量的自由电子，在电场作用下，可以自由移动。场作用下，可以自由移动。电介质电介质：广义指所有电工材料，但一般指：广义指所有电工材料，但一般指绝缘体绝缘体(Insulated)(Insulated)。绝缘体绝缘体：其中的自由电子被束缚：其中的自由电子被束缚(

14、(束缚电荷束缚电荷) )，电场作用下带电粒，电场作用下带电粒作微小移动或转动，但不能离开分子。作微小移动或转动，但不能离开分子。1) 1) 均匀：媒质特性不随空间坐标均匀：媒质特性不随空间坐标（x,y,z）而变化；而变化；2) 2) 线性：媒质的特性不随电场量值而变化；线性：媒质的特性不随电场量值而变化；3) 3) 各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变, ,反之称为各向异性。反之称为各向异性。1.2.2 静电场中的静电场中的电介质电介质 (Dielectric)无极性分子极性分子 电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩。表示电介质的极

15、化程度,极化强度P P ：V0VpPlimzqd ep 电偶极子电偶极矩 实验结果表明，实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中在各向同性、线性、均匀介质中EP0ePp极化电荷体密度极化电荷体密度npeP 极化电荷面密度极化电荷面密度(1) (1) 二者共同作用在真空中产生的电位二者共同作用在真空中产生的电位: :) (41) (41)(00dSRdVRrSpVprr(2) (2) 两部分极化电荷的总和两部分极化电荷的总和0dSdVVSnePP电介质的极化电介质的极化率率,无量纲量。无量纲量。0202044qdSrqdSrqdrreeSE多个点电荷、分布电荷存在时：多个点电荷、分布电荷存在时

16、：0dqqdkSESEdE称作称作E通量通量1.2.3 真空中的高斯定律真空中的高斯定律0PqqdSE极化电荷极化电荷:SPPddVdVqPP0SPSEddVd自由电荷）()(0qdSPE1.2.4 有电介质存在时的高斯定律有电介质存在时的高斯定律定义定义电位移矢量电位移矢量（ DisplacementDisplacement）PED0EEEEEPED00000)1 (rqddSSD高斯通量定理高斯通量定理D1.2.5 高斯定律的应用高斯定律的应用（1） 比较真空和介质存在时：比较真空和介质存在时：0qdSSE0rSqdSE结论：对无限大介质均匀和真空比较，结论：对无限大介质均匀和真空比较，E

17、小了小了 r倍；或真空中倍；或真空中所有公式的所有公式的 0 0 换为换为即可。即可。(2) 求解具有对称场的电场强度求解具有对称场的电场强度1 1）选择适当的闭合面作为高斯面，使）选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分。容易积分。 SD d2) 在高斯面上在高斯面上D的数值为常数，可以提在积分号外。的数值为常数，可以提在积分号外。3) 一般对称面：球面、无限大平面、无限长线、无限长一般对称面：球面、无限大平面、无限长线、无限长 圆柱分布的电场。圆柱分布的电场。 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。 轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。试问： 能否选取正

18、方形的高斯面求解球对称场( (a a) )( (b b) )( (c c) )例例 求电荷线密度为求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点：解：电场分布特点： D 线皆垂直于导线，呈辐射状态；线皆垂直于导线，呈辐射状态； 等等 r 处处D 值相等；值相等；取取长为长为L L，半径为，半径为 r r 的封闭圆柱面为高斯面。的封闭圆柱面为高斯面。,qdSSD由由 得得LrL2D1rr2eD1r0eDEr2011122SS33S2211SddddSDSDSDSDL1.3 静电场的基本方程静电场的基本方程 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1.3.1 静电

19、场的基本方程静电场的基本方程1.3.2 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件作业：作业： P24: 1-3-3zyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzyAxAxAzAzAyAeee)()()(0 例例 已知已知 它能否表示个静电场？它能否表示个静电场？，zyxz5y4x3eeeA对应静电场的基本方程对应静电场的基本方程 ，矢量，矢量 A 可以表示一个静电场。可以表示一个静电场。0E 能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场? ?E ED D0 ED D0dllEqdSSD1.3.1 静电场的基本方程静电场的基本方程微分：微分：积分：

20、积分：辅助方程：辅助方程：1.3.2 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件(1) (1) 电场强度电场强度E的衔接条件的衔接条件 在电介质分界面上应用环路定律在电介质分界面上应用环路定律 以点以点P P 作为观察点，作一小矩形作为观察点，作一小矩形回路（回路（ ）。）。 很小12,0ll0lElE1t21t1t 1t2EE结论：分界面两侧结论：分界面两侧 E 的切向分量连续。的切向分量连续。0dllE根据根据 则有则有 以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（ ）。 0L n1n2DD结论：分界面两侧的 D 的法向分量不连续。 当 时，D 的法向分量连续。0SSDSDn2n1则有qdSD

21、 根据 在电介质分界面上应用高斯定律(2) 位移D D的衔接条件（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为： 0EDt2n2t2t 1n1n2EEDD导体与电介质分界面在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinEsinEEE2121tantan折射定律分界面上E线的折射0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此因此表明表明: : 在介质分界面上，电位是连续的。在介质分界面上

22、，电位是连续的。(3) (3) 用电位函数用电位函数 表示分界面上的衔接条件表示分界面上的衔接条件 设点设点1 1与点与点2 2分别位于分界面的两侧，其间分别位于分界面的两侧，其间距为距为d d， , ,则则0d nED,nED22n22n211n11n1nn2211表明表明: : 一般情况下一般情况下 , ,电位的导数是不连续的。电位的导数是不连续的。)0(电位的衔接条件电位的衔接条件对于导体与理想介质分界面，用电位对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的衔接条件应是如何呢？表示的衔接条件应是如何呢？解：忽略边缘效应xeE1221021ddUxeE1221012ddUx1121e EExe2

23、2110SSq2211EE02211UdEdE图（a）02211qSS2211图（b）例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知极板间 电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。12121,S,S,d,d20q（a）（b）1.4.1 泊松(Poisson)方程与拉普拉斯(Laplace)方程1.4.2 静电场的边值问题1.4.3 静电场的唯一性定理作业：P29: 1-4-21.4 静电场边值问题静电场边值问题 唯一性定理唯一性定理基本出发点: 静电场的基本方程2泊松方程E0EED常数 DEEE特别注意：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性

24、的均匀媒质。:002拉普拉斯方程1.4.1 泊松泊松(Poisson)方程与拉普拉斯方程与拉普拉斯(Laplace)方程方程三个不同媒质区域的静电场0022123332例 列出求解区域的微分方程 参考点电位 有限值rrlim一、二类边界条件的线性组合，即)()(sfn3S已知场域边界上各点电位的法向导数)( sfn2S已知场域边界上各点电位值)(sf1S第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件022自然自然边界条件边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件nn221121边值问题微分方程边界条件1.4.2 静电场的边值问题例例 长直

25、同轴电缆横截面。缆芯截面是一边长为长直同轴电缆横截面。缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅的正方形，铅皮半径为皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，内外导体之间电介质的介电常数为，在两导体之，在两导体之间接有电源间接有电源 U U0 0，写出该电缆中静电场的边值问题。，写出该电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布对称性，确定场域。解：根据场分布对称性，确定场域。0yx22222（阴影区域）（阴影区域）0bx0byby0bxU),(及00y0 xayx222),(0 xayb0 x),(0yaxb0y),(同轴电缆同轴电缆( (有示意图有示意图) )012212drdrdrdr1)()0

26、(ar0drdrdrdr122222)()(ra边界条件:43221021CrC)r(Cr1C6r)r( 例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解: 采用球坐标系,分区域建立方程ar2ar1ar20ar10rr有限值0r1参考点电位0r2体电荷分布的球形域电场 解得 032023413aC2aC0C0C,电场强度（球坐标梯度公式）：ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r22eerE)(2电位：rar3arar0ra36r0322201)()()(2) 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性：

27、 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思 路及理论根据。)(,)(,TheoremUniquness定理称之为静电场的唯一性的解是唯一的拉斯方程泊松方程或拉普位微分方程满足给定边界条件的电在静电场中(1) 证明方法：反证法(课外阅读)例 利用唯一性定理判定点电荷偏心位于金属球壳内，场分布 特点？1.4.3 唯一性定理唯一性定理(再做一遍作业)1.5.1 镜像法边值问题（上）：(1)点电荷对无限大平面导体的镜像上半场域边值问题：（导板及无穷远处）（除 q 所在点外的区域）（S 为包围 q 的闭合面）s2qd00SD0r4qr4q0002（除 q 所在点外的区域）(导

28、板及无穷远处） （S 为包围q 的闭合面）sqdSD 镜像法: 用虚设的电荷(镜像电荷，虚拟电荷)分布等效替代 媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大 小与位置使场的解答满足唯一性定理。特别警示：有效区域的问题。虚拟电荷(镜像电荷)是唯一吗？课外阅读及作业： 一种数值计算方法 模拟电荷法（Charge Simulation Method）介绍 (10%，四周后交)参考： 盛剑霓. 电磁场数值分析M. 北京：科学出版社，1984.（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为EEEpcos20pr4q2E 23220 xh2qh/)(2322p0pxh2qhE/)(xdxxhqhdSSp2)(

29、202/32202122xh1qh/)(q例 求空气中一个点电荷+q在地面引起的感应电荷分布情况。解: 设点电荷 离地面高度为h，则q点电荷在地面引起的感应电荷的分布(2)点电荷对导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1) 边值问题：（除q点外的导体球外空间)000r2导球面0r4qr4q2010pcoscosRb2RbrRd2Rdr2222210bqdqR2RdqRbq22222222cos)()()(0bqdq0RdqRbq22222222)()(qdRqdbqdRb2球面上任一点电位为位于球内设镜像电荷,q2)由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电

30、场分别为2010pr4qr4q)(210r1dRr14q21r220r210Pdr4qRr4qeeE点电荷位于接地导体球附近的场图 镜像电荷不能放在当前求解的场域内。镜像电荷等于负的感应电荷接地导体球外的电场计算 在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置解: 边值问题：( 除 q 点外的导体球外空间）0d000Ssr2SD常数球面 ( S 为球面面积 )例 试计算不接地金属球附近放置一点电荷q时的电场分布。 任一点电位及电场强度为：)()(210210drRdrRr14qrqrqrq41)(21r22r21r20drRdrRr14qeeeEq qd dp pr rr r1 1r r2 2

31、+ + q q - - q q R Ro ob b感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。S,0dSD正负镜像电荷绝对值相等。0,constS正镜像电荷只能位于球心。点电荷位于不接地导体球附近的场图试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?点电荷对导体球面的镜像（3）点电荷对不同介质分界面的镜像ttEE21nnDD21边值问题：012022(下半空间)(除 q点外的上半空间) qqqqqq211sin sinsincos coscos2r24q2r14q2r14q2r24q2r14q2r14qq q2121q2 q212和 中的电场是由 决定，其有效区在下半空间， 是等

32、效替代自由电荷与极化电荷的作用。 2 q qq2qqqqq1221221 即点电荷位于不同介质平面上方的场图 中的电场是由 与 共同产生，其有效区在上半空间， 是等效替代极化电荷的影响。 q qq1 为求解图示 与 区域的电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置。12作业：P46, 1-7-1,1-7-3,1-7-41.5.2 电轴法边值问题： （导线以外的空间）02Sd电荷分布不均匀常数导体,ASDSd电荷分布不均匀常数导体,BSD长直平行圆柱导体传输线能否用高斯定理求解？(1) 待解决问题 (2) 两根细导线产生的电场Cln2Cln2Cln2d212021P2202110Q011以y轴为参考

33、点, C=0, 则 22220120Pybxybx22)()(lnln当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。常数令：P22222Kybxybx)()(hh两根细导线的电场计算pbbyxo2a、h、b三者之间的关系满足 222222222hb1K1Kb1KbK2ba)()(2222221KbK2yb1K1Kx)()(等位线方程为：1KbK2a,0, )b1K1K( h222 圆心坐标圆半径(3) 电轴法实施例 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。22ahb:,)a确定电轴位置建立坐标系120p210Pln2)11(2)b21eeE:位圆柱导线间的电场与电( 以 轴为电位为参考点

34、)y 用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法,称为电轴法。解： 平行圆柱导体传输线电场的计算根据 及E线的微分方程 ， 得E线方程为 xyEEdxdy4Kb2Kyx212212)(E两细导线的场图 例 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。21212222221212hhdh ,h , bahbahb确定解:注意：1）参考电位的位置；2）适用区域。例 试确定图示偏心电缆的电轴位置。21122222222121h ,h ,bdhhbahbah 解：确定不同半径传输线的电轴位置偏心电缆电轴位置 例 已知一对半径为a,相距为d

35、的长直圆柱导体传输线之间电压为 ，试求圆柱导体间电位的分布。 0U)()(ln)()(lnahbahb2ahbahb2U000)()(lnahbahb2U200:UBA0解出由22a2db)(解得hhdahb222:解a) 确定电轴的位置120ln2120ln)()(ln2ahbahbUPc) 任一点电位b) 计算线电荷密度作业：P68,1-14, 1-16 (1) 镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理；(2) 镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；(3) 镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置

36、(4) 应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。镜像法（电轴法）小结镜像法（电轴法）小结1.6.1 1.6.1 单、双电极系统的电容单、双电极系统的电容(Capacitance)(Capacitance)计算方法：计算方法：;) 1 (UQCdUQlEEUQC 电容：意义意义: (1) 架起电路、电磁场两个学科的桥梁架起电路、电磁场两个学科的桥梁; (2) 电路可以用电路可以用R、L、C网络来描述。网络来描述。;)2(UQCdQUSDDE与两导体的形状、尺寸、相互位置、与两导体的形状、尺寸、相互位置、导体间的介质有关，与带电情况

37、无关。导体间的介质有关，与带电情况无关。(3) (3) 解解Poisson,Laplace方程。方程。球形电容器rrqeE204ababqbaqEdrUba004)11(4abab4UqC0aC04,b(孤立导体球的电容)1.6.21.6.2 多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容 0iq(2) 静电独立系统E线从这个系统中的带电体发出，并 终止于该系统中的其余带电体，与外界无任何联系，即(1) 线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；前提：三导体静电独立系统（n+1) )个多导体系统只有个多导体系统只有n n个电位线性独立方程个电位线性独立方程nnnknknnnnknkkkkkknnkkq

38、qqqqqqqqqqq22112211112121111q 矩阵： 自有电位系数 互有电位系数q1电位系数矩阵静电感应系数矩阵nnnknknnnnknkkkkkknnkkqqq22112211112121111)()(2211kkkkkqkknkkkk)(21)(nkknknknkkkkkkUCUCUCUC002211knkkCCC,21, 互有部分电容；0kC，自有部分电容）。，部分电容矩阵nnnknkCCCCC11静电场的应用静电场的应用 绝缘子电场分布； 避雷器电位分布； 分压器电位分布； 变压器线圈冲击电压分布。(1) 绝缘子电场分布绝缘子电场分布伞裙金具金具芯棒图1 绝缘子外形示意图

39、2 绝缘子ANSYS模型剖面图绝缘子本体(图1)有限空气区域无限空气区域无限空气区域200, 35kV低压端及 远处，高压端边值问题：(V)电位分布电场强度分布01002003004005006000510152025303540 12沿轴线高度/mm具有故障时沿轴线电位分布1-沿中轴线；2-沿外护套表面电场强度/kVmm-1(V)短路金属棒(丝)短路金属棒(丝)(a) 电位(b) 电场强度接地端附近的绝缘子表面具有短路金属棒(V/m)(a) 上部(b) 下部(c) 中部(d) 全部(V)不同部位伞裙脱落后的电位分布(2) 避雷器电位分布避雷器电位分布高压端均压环1均压环2均压环3均压环4均压

40、环5均压环6低压端(地面)置于地面的避雷器模型等效金属塔母线避雷器(a) 3D静电场模型(b) 3D静电场有限元模型空气前后对称(V)置于地面时整个场域的电位分布均压环4均压环5均压环6低压端加均压环时等位面分布50100150200-60-40-200204060阀片电压偏差10线10线阀片序号低部(高压端)高部(低压端)电压偏差(%)500kV电阻分压器无损传输线RdLd来波nn-1m0Cn0Cm0CmnCn -1,nCsCsCsRsRsRsLsLsLs等效电路C0n1(3) 分压器分压器 计算的阶跃波响应实测的阶跃波响应(3) 电缆绕组变压器电缆绕组变压器1.7 静电能量与力静电能量与力

41、1.7.1 1.7.1 带电体系统中的静电能量带电体系统中的静电能量1.7.2 1.7.2 静电能量的分布及能量密度静电能量的分布及能量密度1.7.3 1.7.3 静电力静电力作业：作业：1-9-51.7.1 1.7.1 带电体系统中的静电能量带电体系统中的静电能量静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。假设假设: (1): (1) 电荷系统中的介质是线性的电荷系统中的介质是线性的；(3) (3) 电场的建立与充电过程无关电场的建立与充电过程无关, ,导体上电荷与电位的最终值为导体上电荷与电位的最终值为q q, , 在充电过程中，

42、在充电过程中，q q与与 的增长比例为的增长比例为 m m, , 。10m(2) (2) 建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。(1) (1) 体电荷体电荷: :VedV21WVVedVdVzyxzyxmdmdVdmmdqW21),(),( )(10SedSW21LedlW21n1KKKeq21W (2) (2) 面电荷面电荷: :(3) (3) 线电荷线电荷: :(4) (4) 带电导体带电导体: :任何时刻带电体任何时刻带电体电荷增加的比例电荷增加的比例1.7.2 1.7.2 静电能量的分布及能量密度静电能量的分布及能量密度VSedSdVW2121

43、VSddVSDD2121VVeedVwdVWED21静电能量静电能量推导能量密度用图推导能量密度用图ED21we能量密度能量密度结论：结论：凡是凡是E E不为零的空间都储存着静电能量不为零的空间都储存着静电能量。DDD)(例例 试求真空中体电荷密度为试求真空中体电荷密度为 ，半径为，半径为a的介质球产生的静电能量。的介质球产生的静电能量。dVE21EdVD21WV20Ve)drr4r9adrr49r(212a420622a020220arr3aar3r2030Ear)3ra(2arr3a22003drr43ra221dV21W2a022V02e)(520154a520a154)(122rrrr

44、0ar ar 021rr21ar 0r0r有限有限，应用高斯定理，得应用高斯定理，得 解法一解法一由微分方程法得电位函数为由微分方程法得电位函数为解法二解法二1.7.3 1.7.3 静电力静电力 虚位移法虚位移法(2) (2) 虚位移法虚位移法 ( Virtual Displacement ( Virtual Displacement Method )Method )虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义力：企图改变广义坐标的力。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。广义力：企图改变

45、广义坐标的力。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。 广义坐标广义坐标 距距 离离 面面 积积 体体 积积 角角 度度 广义力广义力 机械力机械力 表面张力表面张力 压强压强 转矩转矩 （单位）（单位） （N N） （N/mN/m） （N/mN/m2 2） NmNm广义力广义力广义坐标广义坐标= =功功(1) (1) 电场强度电场强度E E的定义求静电力的定义求静电力EfqdqdEf dqEf常电荷系统（常电荷系统（K K打开）：打开）：fdgdW0eedWfdg 结论：结论： 它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。能量来实现

46、。.constqekgWf 设设( (n+1) )个导体组成的系统个导体组成的系统, ,只有只有P P号导体发号导体发生位移生位移 ，此时系统中带电体的电压或电荷将，此时系统中带电体的电压或电荷将发生变化，其功能关系为发生变化，其功能关系为dgkkedqfdgdWdW外源提供能量外源提供能量静电能量增量静电能量增量= =+ + 电场力所作功电场力所作功)( ),(表示与电位无关qWWee常电位系统（常电位系统（K K合上）：合上）：kkdqdW,21fdgdqdqkkkk外源提供能量的增量外源提供能量的增量静电能量的增量静电能量的增量kkegdq21Wd结论：外源提供的能量有一半用于静电能量的

47、增量，另一半用结论：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。于电场力做功。.constekgWfedWfdg )( ),(表示与电荷无关qqWWee 上述两个公式所得结果是相等的上述两个公式所得结果是相等的consteconstqekkgWgWf例例 试求图示平行板电容器的各极板电场总力。试求图示平行板电容器的各极板电场总力。22221)()(2121UdSSddUdVEWe 两个公式所求得的广义力是代数量两个公式所求得的广义力是代数量 。还需根据。还需根据“”号判断其方向。号判断其方向。平行板电容器平行板电容器dSUESSDSq)(2)(2121222qfqSdSqdd

48、SUdSWe221)(UdSUfWe解法解法1 1：常电荷系统常电荷系统两种方法计算结果相同，两种方法计算结果相同，电场力有使电场力有使d d减小的趋势，极板相互吸引。减小的趋势，极板相互吸引。SqdWfCqe2|2解法解法2 2：常电位系统常电位系统222|UdSdWfCe22)(21)(21dUSdSUS2)(21dUS单位面积的受力单位面积的受力：DE 2121)(2122EdUSff22)(qSdqfWe221)(UdSUfWe(3) (3) 法拉第电位移管法拉第电位移管判断带电体受力情况判断带电体受力情况法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其

49、轴向受到纵张力，垂直于轴向方向受到侧压力，其大小为纵张力，垂直于轴向方向受到侧压力，其大小为ED21f)(2mN电位移管受力情况电位移管受力情况电位移管好像被拉电位移管好像被拉紧的橡皮筋紧的橡皮筋)11(221221Dfffa)(212234Efffb例例 求平行板电容器两种介质分界面上每单位面积所受到的力。求平行板电容器两种介质分界面上每单位面积所受到的力。媒质分界面受力的方向总是由媒质分界面受力的方向总是由较大的媒质指向较大的媒质指向较较小的媒质。小的媒质。结论结论气泡向哪个方向移动气泡向哪个方向移动？答：气泡向答：气泡向E E小的方向移动小的方向移动。静电力的应用静电力的应用静电分离静电

50、分离静电喷涂静电喷涂 一个算例一个算例铝电解槽铝电解槽绝缘绝缘绝缘绝缘100V000?),( ?),(zyxEzyx求解思路求解思路选择合适坐标系，使得选择合适坐标系，使得 (x,y)，平行平面场；，平行平面场；绝缘绝缘绝缘绝缘U1=100VU2=0U3=0U4=0 xzy求解方法的选择求解方法的选择4dS1. 直接法直接法2. 高斯法高斯法3. Poison法法U1=100VU2=0U4=04. 电轴法电轴法5. 镜像法镜像法直直观观近近似似解解AU3=0qdSD?)(41?)(21?)(2143213241UUUUUUUUAAA近似解的理论基础？近似解的理论基础？唯一性定理：只要泛定方程和

51、边界条件相同，解即相同，与唯一性定理：只要泛定方程和边界条件相同，解即相同，与所采用的方法无关。所采用的方法无关。所以需要其它方法，这就是所以需要其它方法，这就是 计算机数值解法计算机数值解法(Numerical Method)数值计算方法数值计算方法结合计算机技术，近似求解场的一种方法。结合计算机技术，近似求解场的一种方法。有限元有限元(Finite Element Method,FEM); 有限差分法有限差分法(Finite Differntial Method, FEM) ; 模拟电荷法模拟电荷法 (Charge Simulation Method, CSM); 边界单元法边界单元法 (

52、Boudary Element Method, BEM); 矩量法矩量法(Moment Method,MM)。 1.8.1 二维泊松方程的差分格式二维泊松方程的差分格式 有限差分法有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程问题转换为求解网应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程问题转换为求解网格节点上电位的差分方程组问题。格节点上电位的差分方程组问题。)(2222sfFyxL二维平行平面静电场边值问题

53、二维平行平面静电场边值问题: :有限差分的网格分割有限差分的网格分割1.8 有限差分法有限差分法 0333022200303330222001)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(xhxhxhxhxhxhhxxx2)(3102301yy22h2y0)(2301xx22h2x0)(h2y31yy0)(204321Fh4)(41243210Fh时：0)(41432101.8.2 差分方程组的求解方法差分方程组的求解方法412)(1,)(, 1)1(1,)1(, 1)1(,Fhkjikjikjikjikji), 2, 1, 0, 2, 1,( kji， 迭代顺序可按先行后列，或先列

54、后行进行。迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足点电位满足 为止。为止。)(,)(,kji1kji超松弛迭代法超松弛迭代法)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,kji2k1jikj1i1k1ji1kj1ikji1kji4Fh4加速收敛因子加速收敛因子)(21高斯高斯赛德尔迭代法赛德尔迭代法FDMFDM求解铝电解槽的电位分布求解铝电解槽的电位分布(1) (1) 划分网格：节点编号、坐标的形成。划分网格：节点编号、坐标的形成。(2) (2) 赋初值：随意，尽可能靠

55、近真实解。比如本题赋初值：随意，尽可能靠近真实解。比如本题u7=2.0, u7=2.0, u8=7.5, u9=10 u8=7.5, u9=10。(3)(3) 边界条件：给电位值，找规律。边界条件：给电位值，找规律。u1,u2,u3,u4,u6,u11,u12,u13,u14=0;u1,u2,u3,u4,u6,u11,u12,u13,u14=0;u5,u10,u15=100u5,u10,u15=100u11 u12 u13 u14u11 u12 u13 u14 u15u15u1 u2 u3 u4u1 u2 u3 u4 u5u5u6u6 u7 u8 u9u7 u8 u9 u10u10？（4 4）

56、 迭代迭代u11 u12 u13 u14u11 u12 u13 u14 u15u15u1 u2 u3 u4u1 u2 u3 u4 u5u5u6u6 u7 u8 u9u7 u8 u9 u10u10？u7=(u2+u6+u8+u12)/4u7=(u2+u6+u8+u12)/4u8=(u3+u7+u9+u13)/4u8=(u3+u7+u9+u13)/4u9=(u4+u8+u10+u14)/4u9=(u4+u8+u10+u14)/4(5) (5) 反复迭代，给定某一误差反复迭代，给定某一误差)(|)1()(给定WuuMaxkikiu11 u12 u13 u14u11 u12 u13 u14 u15u1

57、5u1 u2 u3 u4u1 u2 u3 u4 u5u5u6u6 u7 u8 u9u7 u8 u9 u10u10？K（迭代次数）（迭代次数）u7u8u9027.53011.8757.96926.99221.9927.24626.81231.8127.15626.78941.7897.14526.78651.7867.14326.78661.7867.14326.786对应对应W=5E-05W=5E-05的迭代结果的迭代结果Matlab对应程序%Part 1: Initializing data; Nx=4; Ny=2; Lx=4; Ly=2; Hx=Lx/Nx; Hy=Ly/Ny; alpha

58、=1.17; Nmax=160; u=zeros(Nx+1,Ny+1);u11 u12 u13 u14u11 u12 u13 u14 u15u15u1 u2 u3 u4u1 u2 u3 u4 u5u5u6u6 u7 u8 u9u7 u8 u9 u10u10？初始化初始化%Part 2: Calculating coordinates for each point and applying loads at boundary; x0=0; y0=0; for j=1:(Ny+1) for i=1:(Nx+1) k=(j-1)*(Ny+1)+i; x(k)=x0+Hx*(i-1); y(k)=y0

59、+Hy*(j-1); if abs(y(k)-y0)1e-05 u(j,i)=0; end; if abs(x(k)-x0)1e-05 u(j,i)=0; end; if abs(x(k)-x0-Lx)1e-05 u(j,i)=0; end; if abs(y(k)-y0-Ly)Error_max Error_max=abs(u2-u1); end; end end if Error_maxPrecision break; end;end;电位迭代，程电位迭代，程序关键序关键找最大误差找最大误差u11 u12 u13 u14u11 u12 u13 u14 u15u15u1 u2 u3 u4u1

60、 u2 u3 u4 u5u5u6u6 u7 u8 u9u7 u8 u9 u10u10？if Error_maxPrecision disp(Iteration successful, and the number of iteration is:) disp(k) disp(Max error is:); disp(Error_max);else disp(Iteration not successful) end;输出结果输出结果下一步？下一步？1.8.3 后处理后处理(1) 电场强度电场强度hhyyEhhxxEyxyxyx2222)(24421331eeE当待求点位于边界上时，如当待求点位