七年级上学期数学绝对值的几何意义题型训练带答案

1、绝对值的几何意义训练1、借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值2、会利用绝对值的知识解决简单的化简问题板块一：绝对值几何意义当时小-3 = 0，此时a是k-4的零点值.零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号.即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴 上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值.的几何意义：在数轴上，表示这个月点离开原点的距离.卜,-目的几何意义：在数轴上，表示数b对应数轴上两点间的距离.【例题1】忸-|的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离.（1）凶的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离：凶|x-0|

2、 （,=, ）；（2） |2-1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离：则|2-1| = _:（3）卜-3|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若k-3| = 1,则 （4）k+ 2的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若k+ 2| = 2,则x =.（5）当x =-l时，贝 1小一2| + 卜 + 2|=.【解析】（1） x,原点;=；（2）1；X, 3, 2 或 4；X, -2, 0 或-4； （5）4.【例题2已知m是实数,求帆+加-1| +帆-2|的最小值【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点小使点m到点。，点1 和点

3、2的距离之和最小，显然当时，原式的最小值为2【例题3】己知?是实数，求刑-2| +加一4| +忸一6|+帆一8|的最小值【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m,使m到点2,点4, 点6和点8的距离和最小，显然当点m在点4和点6之间（包括点4和点6）时，原式的值最 小为8【例题4】设年七，心,4是常数（是大于1的整数），且4 （，小是任意实数，试探索求 加一41 + m-a2 +%I +加一的最小值的一般方法【解析】根据题意，结合数轴，不难得到：当n为奇数时，即当n=2k+l （k为正整数）时，点m应取在点为+1处，原式的值最小，最小 值为J + （a»-a2

4、） + （）当n为偶数2k （k是正整数）时，m应取点取和点之间的任意位置，原式的值最小，最小 值为（a»-ai） +（gg）【例题5】上一1| +卜一2| +k一2009|的最小值为.【解析】当x=1005时，| x-1 | + | x-2 | + Ix-2009 |取到最小值：I x-1 | + | x-2 | + |x-2009 | = | 1005-1 | + | 1005-2 | + |1005-2009 |=1004+1003+1+0+1+1003+1004=1009020巩固1试求卜-1| +4-2|+1-3|+卜-2005|的值【解析】联想到绝对值的几何意义：I X-

5、Xn |即表示数轴上数X的对应点与数X0的对应点的距 离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现I X-1 | + I X-2 | ,当1&W 2时，它有最小值1,对于I x-l | + I x-2 | + I x-3 ,当x=2时，最小值为2,猜想当x=1003 时，原式有最小值最小值为 I X-1 | + I X-2 | + |X-2005 |=| 1003-1 | + | 1003-2 | + |1003-2005 |=1002+1001+1+0+1+1001+1002=1005006【巩固2设"<c,求当工取何值时卜-| +卜-耳+卜-4的最小值

6、.【解析】I x-a | + | x-b | + | x-c |实际表示x到a, b, c三点的距离和，画图可知当x=b时，原 式有最小值为c-a.【巩固3若X、&、.q、x5 x人是6个不同的正整数，取值于1, 2, 3, 4 5 , 6,记S =1 -x2 l + lx2 - l + lx3l + lx4 -x5 l+|x5 -%6| + lx6 -X)I,则S 的最小值是.【解析】利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：利用绝对值的几何意义 I X-X2 | + | X2-Xs | + | X3-X4 I + I X4-X5 I + I X5-X6 I + I XX1 I在数轴

7、上表示出来，从开始又回到X"我们可以看成是一个圈，故最小值为10,如下图所示, 即使重叠路程最少.123456【例题6】正数。使得关于工的代数式|x + l| + |x-6| + 2|x-d的最小值是8,那么。的值为.【解析】如果a26,那么当x=a时，I x+1 | + | x-6 | +2 | x-a I = I a+1 | + | a-6 I =(a+l) + (6-a) =7>小于8与已知条件矛盾.所以a>6,那么算式I x+1 I + I x-6 | +2 I xr I的几何意义是点x到 -1、6、”、a的4个距离之和，当6WxWa时取最小值，因此令x=6可得7

8、+2 I 6-a | =8,解得 a=13/2.【巩固4】卜_1+8k_2| +*_3| + 2卜一4|的最小值为12,则a的取值范围是.【解析】最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为14+2a、5+a、12、19+a,故12是 这四个数中最小的，即14+2a叁12且5+rM12且19+“叁12,所以aM7.【例题7】已知代数式卜-3| +卜-7| = 4,则下列三条线段一定能构成三角形的是().A. 1, x, 5 B. 2,刀,5 C, 3,刀,5 D. 3, x, 4【解析】根据I x-3 | + | x-7 | =4可得3q57,所以选择C.【巩固5是否存在有理数x,使k + 1

9、 + 卜-3| = 2?是否存在整数X,使、-4| +卜-3|+卜+ 3| +卜+4| = 14?如果存在,求出所有整数X,如果不存在, 请说明理由【解析】不存在x=土3, x=±2, x=±l,x=O【巩固6】第17届希望杯培训试题)不等式卜+ 1| +卜-2|<7的整数解有 个.【解析】可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，I x+1 | + | X-2 |<7的整数解 表示数轴上到-1和2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有-2、-1、 0、1、2、3共六个.【例题8】一共有多少个整数x适合不等式卜-2000| +k区999

10、9.【解析】零点为2000和0,可将数轴分成几段去考虑：(1)当x叁2000时，原不等式变形为：x-2000+x9999,进而得:5999. 5,即2000 WxW5999. 5,共有4000个整数适合；(2)当0x<2000时，原不等式变形为：2000-x+x9999,而2000<9999恒成立, 所以又有2000个整数适合.(3)当 x<0 时,原不等式变形为 2000-x+(-x) W9999,-3999. 5,即-3999.5<x<0,共有3999个整数适合.综上所得共有9999个整数适合不等式I x-2000 I + I x I W9999.【例题9已知

11、| x |二1, | y | 21,设M= | x+1 | + | y+1 | + | 2yr-4 | ,求M的最大值和最小值【解析】由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号因为Ixl W1,所以-IWxWl,所以0WX+1W2,同理可得0Wy+lW2因为I y I至1,所以-1至x21,所以-2二2入2因为 Ix| W1,所以一 lAxWL 所以-1W-XWL 所以-l-4W-x-4Wl-4即-5W-X-4W-3 与同向相加得-7与2y-x-4 W-1化简M的表达式：M=2x-y+6求M的取值范围：因为-1q至1,所以-2至2x2因为-lWx三1,所以-IW-yWl所以-3至2x-y W3所

12、以 352x-y+6n9当x=l,y=-l时，M最大值为9当x=-l,y=l时,M最小值为3【例题10彼此不等的有理数”,b,c在数轴上的对应点分别为A , B, C,如果+ 十心-小 那么A, B, C的位置关系是.【解析】由绝对值的几何意义知，I a-b |表示点A与点B之间的距离；| b-c |表示点B与点 C之间的距离；表示点A与点C之间的距离；当点B位于点A与点C之间(包括A, C两点)时,I a-b | + | b-c |取得最小值，为I a-c | .由题设知，a, b, c相等，以A, B, C不重合，故 点B位于点A与点C之间(包括A, C两点).【巩固7】有理数。、葭c、各

13、自对应着数轴上X、丫、Z、R四个点，且(1) I b-d | 比 | a-b | 9 | a-c |、| a-d |、| b-c I、| c-d | 都大;(2) | d-a | + | a-c | = | d-c | ；(3) c是a、b、c、d中第二大的数.则点X、Y、Z、R从左到右依次是 【解析】R、X、Z、Y.【巩固8】如果卜-"=1, | + d = l, , + d = 2,求|a + b +2d的值.【解析】可以去掉绝对值，分类讨论，但非常麻烦，我们仍可采用数形结合的方法，从绝对值 的几何意义出发.根据I a-b | =1, | b+c | = | b-(-c) | =

14、b I a+c I = I a-(-c) I =2,我们可以 得到a、b、-c三点在数轴上从左到右依次是“、b、a或a、b、-c,我们会发现在这两种情况 下，a-(-c), b-(-c)同号，所以 | a+b+2c | = | a-(-c)+b-(-c) I = | a-(-c) I + | b-(-c) I = I a+c | + | b+c | =3【巩固9已知a、b、c、4都是整数，且卜+耳+卜+4+卜+ 4+卜/ + 4 = 2 ,则 |tz + J| =【解析】法1：四个非负整数和为2, |a+d|只可能为0、1或2.讨论： 当 a=0, b=0, c=l, d=0,满足条件,I a

15、+d I =0； 当 a=l, b=0, c=0, d=0,满足条件，I a+d I =1；若 I a+d | =2,即 a+dNO 且 I a+b | =0, | b+c | =0, | c+d | =0, .a+b=O, b+c=O, c+d=O,故 0=0-O+O=(a+b)-(b+c) + (c+d)=a+d,这与 a+dNO 矛盾.所以，I a+b I =0或L【例题n】在数轴上把坐标为1,2, 3,2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次 跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由【解析】设青蛙依次到达的点为为 X2 Xs%Xwoe

16、X"整个跳过的路径长度为S= I x-X2 I + I X2-X$ I + I X3-X4 I +I X2006-X1 I<2 (1004+1005牝+2006) -2 (1+2+3+. +1003) =2 X1003 X1003故青蛙跳过的路径的最大长度为2X1003X1003【例题12如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、厂到城市的 距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G正好是心的中点.现要在某个村庄建一个 活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市I，11111ABG C DE F【解析】因为村庄G

17、是AF的中点，所以村庄G到城市的距离为12千米，即村庄G在村庄BC之 间，7个村庄依次排列为A B G C D E F.设活动中心到城市的距离为x千米，各村到活动中 心的距离之和为 y 千米，贝ij： y= I x-4 | + | x-10 | + | x-12 | + | x-15 | + I x-17 | + | x-19 | +I x-20 | ,因为4<10<12<15<17<19<20,所以当x=15时y有最小值，所以活动中心应当建在c 处.【巩固10如图所示为一个工厂区的地图，一条公路(粗线)通过这个地区，7个工厂人 , 4, 分布在公路的两侧，山一些小路(细线)与公路相连.现在要在公路上设一个长途汽车站， 车站到各工厂(沿公路、小路走)的距离总和越小越好，