【苏明强1】魅力数学：让课堂焕发应有的味道

1、魅力数学：让课堂焕发应有的味道泉州师范学院苏明强摘要：数学是有魅力的，课堂也是有魅力的，魅力数学呼唤魅力 课堂，魅力课堂具有思想的味道、思维的味道和思考的味道，教师应 该学会从数学思想、数学推理和数学思考的角度，分析教材、设计教 学，让数学焕发应有的魅力，让课堂焕发应有的味道，让生命焕发应 有的活力。关键词：魅力数学；魅力课堂；教学主张；核心素养数学是什么？数学是研究数量关系和空间形式的科学，它是科学的语言和工具。数学是现实世界中数关系和空间形式的一种抽象，它依赖逻辑推理建构知识体系，在现实世界中有着广泛的应用，因此， 数学具有一般性、严谨性和应用的广泛性。数学知识蕴含着丰富的数学思想，数学学

2、习的历程就是培养思 维、促进思考和启迪智慧的过程，数学“冰冷”的外表蕴含着丰富的 内涵和独特的“魅力”，当知识遗忘了、技能退化了，数学思想、思 维方式和思考方法依然在我们的学习、 生活和工作中发挥着不可替代 的重要作用，这就是数学的魅力之所在。魅力数学呼唤魅力课堂，那么，魅力课堂是什么味？笔者主张： 魅力课堂应该有思想的味道、思维的味道和思考的味道，魅力课堂焕 发生命的活力，成就学生的精彩，让学生在数学学习历程中，在掌握 知识技能的基础上，感悟数学思想，积累思维经验，启发数学思考， 感受数学魅力，激发学习兴趣，逐步学会用数学的眼光观察事物，学会用数学的思维分析问题，学会用数学的语言表达思考，形

3、成和发展数学核心素养。一、魅力课堂应该有思想的味道思想是数学的灵魂，数学思想是数学知识和方法在更高层次上的 抽象与概括，数学思想是课堂教学的精髓，它将在学生后续学习、未 来发展和社会生活中发挥着不可替代的重要作用。义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称“2011版课标”）在课程总目标中明 确提出“数学四基”的目标要求，强调数学教学应该让学生获得基础 知识和基本技能的同时，感悟数学的基本思想，积累基本活动经验， 因此，魅力课堂要有思想的味道。然而，如何才能让课堂有思想的味道呢？第一， 教师要明确数学 思想有哪些？ 一般认为，数学知识的产生离不开抽象，数学知识的发 展离不开推理，数学知识的

4、应用离不开建模，因此，抽象思想、推理 思想和建模思想是数学的三类基本思想。抽象思想还包括集合思想、 分类思想、对应思想、符号表示思想、变中不变思想、极限思想等， 推理思想还包括归纳思想、演绎思想、转化思想、类比思想等，建模 思想还包括简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想、 随机思想、统计思想等。第二，教师要明确数学思想在哪里？数学思 想不是游离于数学知识之外，它师蕴涵在数学知识之中，蕴涵在数学 知识的形成、发展和应用过程。第三，教师要学会从数学思想的角度 分析教材。数学知识是现实世界数量关系和空间形式抽象的结果，数 学知识的发展是推理的结果，数学知识的应用依赖的是建模，因此， 数学

5、知识的产生过程通常蕴涵着抽象思想， 数学知识的发展过程通常 蕴含着推理思想，数学知识的应用过程通常蕴涵着建模思想。下面，以分数的知识为例进行说明。分数的整体知识大致可以分 为分数的概念、分数的运算和分数的应用三个主要阶段， 我们可以从 数学思想的角度去分析教材，深入挖掘分数知识深沉所蕴涵的数学思 想，为设计出富有思想味道的数学课奠定重要思想基础。第一，分数概念的形成过程主要蕴含抽象思想。分数的概念主要 包括分数的定义、名称、符号、大小、意义和性质等，当我们从抽象 思想的角度分析教学内容时，我们就能更好把握分数知识的本质， 分 数是一种数，从“量”的角度看，分数和自然数一样，都是量的一种 抽象，

6、都是可以数的，分数单位是比“ 1”小的计数单位，是比“ 1” 小的量的一种抽象，一种分数单位的累加就产生了新的分数；从“关 系”的角度看，分数和自然数不同，分数是一个整体中“部分”与“整 体”之间的关系的一种抽象，这就是分数与自然数不同的意义。因此, 在分数概念的教学中，我们应该渗透抽象思想，让数学课有思想的味 道，我们可以充分利用“数线”“图形”等直观图，把“数”一一分 数的概念与“形”一一直观图形紧密结合起来，帮助学生理解分数的 定义、大小、意义和性质等，让学生在理解的基础上，掌握分数的概 念，同时感悟抽象思想中数形结合思想，感受数学的魅力，学会用数 学的眼光观察世界，形成和发展数学核心素

7、养。第二，分数的运算主要蕴涵推理思想。分数的运算主要包括同分 母分数加减法、异分母分数加减法、分数乘法和分数除法等内容，同分母分数加减法的本质是计算分数单位的个数， 可以转化为数分数单 位的累加，异分母分数加减法问题可以转化成同分母分数加减法问 题，整数乘分数的本质是乘法的意义（即几个几），可以把整数乘分 数的问题转化成同分母分数加法问题，分数除法运算问题可以转化为 分数乘法运算的问题（除以一个数等于乘这个数的倒数）。因此，在分数四则运算的教学中，教师应该明确分数运算的本质和内在的联 系，通过巧妙设计教学活动，融入推理思想，让学生获得运算技能的 基础上，感悟推理思想中的转化思想，感受数学的奇妙

8、，学会用数学 的思维分析问题，形成和发展数学核心素养。第三，分数的应用过程中主要蕴含建模思想。 分数的应用主要包 括分数概念的应用和分数运算的应用， 在分数概念的应用过程中，由 于分数可以表示“量”，因此，在分数概念的应用过程中常常蕴涵建 模思想中的量化思想，在分数运算的应用过程中，常常需要归结为相 应的运算模型，加法模型、减法模型、乘法模型和除法模型，蕴含着 建模思想中的简化思想和优化思想等。因此，在分数应用的教学中， 教师应该通过巧妙设计教学活动，让学生提高数学知识的应用技能和 解决问题能力的基础上，感悟建模思想，感受数学的魅力，学会用数 学的语言解决问题，形成和发展数学核心素养。二、魅力

9、课堂应该有思维的味道思维是人脑对事物本质的反应，是探索和发现客观事物内部本质 联系与规律的一种高级认知过程。数学是思维的体操，思维是教学的 核心，推理是数学的基本思维方式，2011版课标在实施建议中明确指出：推理应贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一 个长期的、循序渐进的过程，因此，魅力课堂应该有思维的味道。数学中的推理主要包括合情推理和演绎推理。 合情推理是从已有 的基本事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比的方式推断结果 的一种思维过程，归纳推理和类比推理都是合情推理的重要方式，通过合情推理推断的结果可能是对的，也可能是错的，但是，借助合情 推理得到的结论，常常有新的发现，具

10、有创新性。比如，通过以下三 个等式的观察：1+2=2+1, 2+3=3+2, 3+4=4+3,推断出在加法运算中 交换两个加数的位置和不变（加法交换律），这是合情推理的结果， 这个思维过程就是归纳推理，结论是正确的，如果在此基础上推断减 法、乘法和除法也满足交换律，这也是合情推理的结果，这个思维过 程是类比推理，结论有的是正确的，有的是错误的，发现了新的运算 定律一一乘法交换律。演绎推理是从已有的基本事实出发，按照逻辑推理的法则推断结 果的一种思维过程，演绎推理的价值主要在于保持了思维的严谨性和 一贯性，通过演绎推理推断的结论是正确的，它能确保结论的正确性， 不是推理的内容，而是推理的形式，但

11、是，通过演绎推理不可能有新 的发现，缺乏创新性，这是演绎推理的特点。亚里士多德是主张研究 演绎推理的第一人，演绎推理的主要方式是三段论，包括大前提一一 已知的基本事实，小前提一一研究的特殊对象，结论一一根据已知的 基本事实对特殊对象做出推断，比如，三角形内角和 180度，直角三 角形是三角形，由此推断：直角三角形内角和也是180度，这个思维过程就是演绎推理，其结论正确无疑。欧几里德将亚里士多德的三段 论演绎法用于构建数学知识体系，创立了欧几里德几何（欧氏几何）， 这是一部演绎推理的经典著作，它从为数不多的5个公理出发，推导 出几何学的众多定理，创立了一个完整的几何体系。正因为合情推理和演绎推理

12、 两种不同的思维方式，功能不同，各 有特点，因此，在数学知识体系的形成或解决问题过程中，两种推理 方式相辅相成，常常运用合情推理获得猜想或探索思路， 再运用演绎 推理证明结论。数学知识主要包括由定义、性质、公式、法则、定律 和定理等，一般地，在小学数学中涉及到的性质、公式、法则、定律 等数学基本事实，都可以通过合情推理的思维方式得到相应的结论， 而这些数学结论的具体应用就是一个从一般结论到特殊对象的演绎 推理过程。那么，如何才能让课堂有思维的味道呢？教师应该学会从数学推 理的角度分析教材、设计教学，比如，在分数基本性质一课的教 学中，教师可以通过三个相同的圆形卡片，分别平均分成 2份、4份 和

13、8份，分别涂出1份、2份和4份，然后让学生观察发现，涂色部 分一样多，由此得出这三个分数一样大 1=2=4,在这里传统教学是2 4 8引导学生从左到右和从右到左分别进行观察，概括出分数的基本性质，这样的教学设计，推理的味道不够。我们可以在得出= 4这2 4 8一基本事实的基础上，分别写出三个等式 =21=4 2 =4，让学生观 2 4 2 8 4 8察等式，通过归纳推理得到初步的猜想（分数的基本性质） ，再让学 生进行举例验证，这样就让学生经历了一个归纳推理的完整过程，这 样的教学设计就有比较浓厚的推理的味道。再如，在平行四边形面积一课的教学中，教材倡导运用演绎推理得出面积公式S=ah ,在公

14、式推导过程中仅用一个平行四边形为例，用长方形面积公式做为已 有的基本事实，然后通过平行四边形的“底”与转化而成的长方形的“长”做比较，再用平行四边形的“高”与转化而成的长方形的“宽” 做比较，由此推断平行四边形的面积=底高，这是一个演绎推理的过 程。在这里，我们也可以从归纳推理的思维路径设计教学，首先利用 透明的方格纸设计出三个不同的平行四边形， 列出一张表格，让学生 通过数方格和拼方格的方式数出相应平行四边形的面积，把底、高和面积的数据分别填写在表格相应的位置，再引导学生观察这三组数 据，从中发现规律并获得初步猜想：平行四边形的面积与底和高的关 系，最后让学生在方格纸中再找出一个平行四边形进

15、行验证，这样， 就可以让学生经历一个观察操作， 发现规律，获得猜想和举例验证的 过程，这样的教学设计就更有思维的味道， 有效培养了学生的合情推 理能力。因此，我们应该明确思维对于数学学习的重要价值， 铭记推理能 力的发展应贯穿数学教学的始终，培养学生的数学思维是数学教学的 重要任务。在教学中，学会从推理的角度分析教材，通过巧妙设计教 学活动，让课堂更有思维的味道，让学生经历合情推理和演绎推理的 过程，不断提高学生的数学思维能力。三、魅力课堂应该有思考的味道郑毓信教授在数学教育视角下的“核心素养”一文中指出：从“数学核心素养”的角度提出判断一堂数学课的成功与否的基本标准：无论教学中采取了什么样的

16、教学方法或模式，应更加关注自己的教学是否真正促进了学生更为积极地去进行思考，并能逐步学会想得 更清晰、更全面、更深刻、更合理。与此相对照，这显然又正是当前 应当努力纠正的一个现象，即学生一直在做，一直在算，一直在动手， 但就是不想！这样的现象无论如何不应再继续了！在这里，我们可以看出思考对于数学课的重要性和严峻性，也可以意识到当前数学课堂存在的普遍问题。数学思考是运用数学的方式 思考问题，它与问题解决共同构成数学课程的过程目标，2011年版课标强调数学教学应该结果目标和过程目标并重，同时指出：创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程 中，独立思考、学会思考是创新的核心，

17、因此，魅力课堂应该有思考 的味道。那么，如何才能更为有效启发学生进行数学思考，让课堂有思考 的味道呢？问题是数学的心脏，是驱动数学思考的重要载体，因此， 教学时，教师应该学会从问题的角度分析教材，梳理知识脉络，重构 教学的逻辑路径，从教学内容中提炼出一个核心问题， 设计一些富有 逻辑性或关联性的问题串，以核心问题为统领，以问题串为线索，驱 动数学思考，引导学生由浅入深进行思考，独立思考，学会思考，逐 步推进数学学习的进程，让学生在问题解决过程中，掌握基础知识， 获得基本技能，经历一个不断思考的过程，并能逐步学会想得更清晰、 更全面、更深刻、更合理，感悟数学基本思想，积累思维活动经验。F面，以分

18、数的初步认识一课为例进行说明，分数的初步认识是一节经典概念课，传统概念课的教学，“听讲”的味道很浓，“思 考”的味道很淡，那么，如何让数学概念课的教学有思考的味道？教 师应该学会从数学思考和问题解决的角度深入分析教材，提炼出一个核心问题，设计出一串富有启发性和引导性的问题串， 通过精心设计 教学活动，让概念的学习在问题解决中得以实现，润物细无声，让课 堂活起来了，让思考火起来！从本质上看，分数是一种数，分数的第一层含义是量的抽象结果， 它和自然数一样表示事物的量，分数初步认识先认识分数单位，分数 单位是比1小的量的一种抽象，因此，我们可以让学生在原有自然数 认识的基础上，借组数线，先找到 0、1、2、3的“家”（位置），然 后让学生观察数线，并提出本节课的核心问题：0和1之间“有没有” 其他数？这样的问题显得很神秘，富有启发性，学生未曾想过，普遍 感到好奇，这样不仅能够有效驱动学生的思考， 而且可以引领分数概 念的学习。接着，设计一系列的问题串：如果有，那又是什么？它们 都住在哪里？分数的概念学习之后， 再次提出问题：