必修四平面向量的坐标运算(附答案)

1、平面向量的坐标运算 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.掌握两个向量和、差及 数乘向量的坐标运算法则.3正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来.知识点一 平面向量的坐标表示(1) 向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解(）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数， y 使得 a xi yj,则有序数对( ,y）叫做向量 a 的坐标 ,a=(x，y)叫做向量的坐标表示(3）向量坐标的求法 :在平面直角坐标系中 ,若 A（ x,y）

2、,则错误 ! =(,），若 A（ 1，y1),B(x2,y2),则错误 ! =( x2- 1,2-y1）思考根据下图写出向量a， ，c,d 的坐标，其中每个小正方形的边长是答案a (2， 3)， b(- ,3), c( 3,-2),d=(3,-3).知识点二 平面向量的坐标运算(1)若 =(， ),b=(,y ） ,则 a+ (x1 x ,1+y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)若 a (x1,y1),=( x ，y）,则 a-=（ 1 2,y1y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 .(3）若 =(x,)， ,则 a=（ x，y)，即实数与向量的积的坐标等

3、于用这个实数乘原来向量的相应坐标 .（）已知向量 错误 ! 的起点 (x1,y1),终点 B(2,y2） ,则错误 ! =（ 2 1， y2-y1)思考已知 a=错误 ! ,b 错误 ! ，c错误 ! ,如下图所示，写出 a,c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量 a, b 以及 a 3c ,然后写出它们的坐标答案易知 :a=（ ,1), b=( 5，） ,c ( ,1),错误 ! a+b=（ -1,） ,错误 ! a-b (9， -2), 错误 ! a3c=（ 1, 2).题型一平面向量的坐标表示例 1 已知边长为 2 的正三角形 ABC,顶点 A 在坐标原点， 边在 x 轴上 ,C 在第一象

4、限 ,为AC 的中点 ,分别求向量 错误 ! ,错误 ! ,错误 ! ， 错误 ! 的坐标 .解 如图,正三角形 BC 的边长为 2，则顶点 A(0，0） ,B（ 2,0），C(2 os 60， 2sin60), C(1， 错误 ! ),D( 错误 ! ,错误 ! ), 错误 ! =(2 ， ),错误 ! (， 错误 ! )， 错误 ! =(1- ,错误 ! - ) (- ,错误 ! ),错误 ! =(错误 ! 2， 错误 ! 0)=(- 错误 ! ， 错误 ! )跟踪训练 在例 1 的基础上 ,若为 AB 的中点 ,G 为三角形的重心时,如何求向量错误 ! ， 错误 ! ,错误 ! ,错误

5、! 的坐标？解 由于 B(2，0)，（， 0),C(1,错误 ! )，D（ 错误 ! ，错误 ! )，（ 1，错误 ! ),所以错误 ! =(1-1,0 错误 ! )( ,-错误 ! )， AG (1， 错误 ! ),错误 ! =（1 2,错误 ! -0) (-1, 错误 ! ） , o(GD ,) (错误 ! -1,错误 ! -错误 ! ) ( 错误 ! ， 错误 ! ） .题型二 平面向量的坐标运算例 2已知平面上三点 (2，-4),B（ 0,),C( ,10),求(1) (AB, u 6( )） 错误 ! ;(2)错误 ! 2错误 ! ； (3)错误 ! -错误 ! 错误 ! .解A(2

6、,）， B(0, ),C(-8,1） 错误 ! (0, )（ 2， 4)= （ 2,10),错误 ! =（， 0)- （2, ) (-10, 4)，错误 ! =(-8 ， 0) ( ,6) ( 8， 4） (1) 错误 ! -错误 ! =(-2 ， 0)-(- 0,14) (8,-4).(） 错误 ! 错误 ! =(- ,10)+2 （ 8,4)（ 8,18） .(3)错误 ! 错误 ! 错误 ! ( ,4) 错误 ! ( 10,14） (- ,- )跟踪训练 2已知 a (- , ),=(2, ) ，求: (1） 2a3b；（ 2)a- ；（3) f( ,2) 错误 ! b.解 (1)2a

7、3 (-1,2) 3(2， 1)=( 2,4)+(6,3)=(4 ， 7）.(2） a-3b (-1,2)-3(2,1)（ -1,2） -(6,3) ( 7， - ).1(3)2a- f(1 ,3） ( , )(， 2）-错误 ! （ 2,1) 错误 ! 错误 ! 错误 ! .题型三平面向量坐标运算的应用例 3已知点 A（ 2，3)，B(5,4)，C(7,10) 若错误 ! =错误 ! 错误 ! ( R)，试求 为何值时，(1)点 P 在一、三象限角平分线上;（ 2)点 P 在第三象限内 解设点 P 的坐标为 (,y),则错误 ! =( x,) (,3)（ x-2,y-3),错误 ! +错误

8、! （ 5, ) (2, )+(7 ， 10)-(2,3 ）（ ,1) (5,7) （ 5， 1 7) 错误 ! 错误 ! +错误 ! , 错误 ! 则错误 !(1) 若 在一、三象限角平分线上,则 5+5 = +7， 错误 ! (2) 若 在第三象限内，则错误 ! - . =1时,点 P 在第一、第三象限角平分线上;-1 时，点 P 在第三象限内2跟踪训练 3已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为（，),(4 ，6),（，） ，求第四个顶点的坐标 .解不妨设 A(， 7), B(4,6), (， -2).第四个顶点为D (x， y).则 A、B、C、四点构成平行四边形有以下三种情形.（ )当平

9、行四边形为 CD 时， 错误 ! =错误 ! ,设点 D 的坐标为 (x， y), (， )-(3,7) (1,-2)- （ x,y)， 错误 ! 错误 ! （0， 1);(2)当平行四边形为A 时,仿( )可得 (2， 3）； (3)当平行四边形为ADB时,仿(1）可得 D(， 1 ).综上所述 ,第四个顶点的坐标可能为（0,- )， (2, 3）或 (6, )坐标法解决向量问题例 4 已知 是 AB内一点， AOB 50， B 90，设 错误 ! a，错误 ! =b,错误 !=c,且 a|=2， |b|=1， |c|3 ，试用 a，b 表示 c.分析注意到两个已知的特殊角，联想到建立直角坐

10、标系求向量坐标解 如图，以 为原点 ,错误 ! 为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,由三角函数的定义，得(co150, i 15 ), C（ co24 ，3sin 240 ）即（-错误 ! ， 错误 ! )，C（ 错误 ! ， -错误 ! )，又 (2,0) ，故 a=(2,0) ，b ( 错误 ! ,错误 ! ）， =（ 错误 ! ,-错误 ! )设 c 1a+b( ， R ), ( (3， )，-错误 ! ) 1(2,0) （2 -错误 ! ，错误 ! ） (21-错误 !2, f（ ,2)2) ， 错误 ! 错误 ! c 3a 3错误 ! .1.设平面向量 a（ 3, )，b（ -2,1

11、)，则 a2b 等于() (7，3)B（ 7,7)C (1,7)D. （ ,3)2.已知向量 错误 ! (3, 2），错误 ! =( ,-1)，则向量 错误 ! 错误 ! 的坐标是 () .错误 !? B 错误 !C(8,1) (8,) .已知四边形ABCD 的三个顶点A(,2） ,B(-1 ， 2),C(3,1），且 错误 ! =2 错误 ! ,则顶点 D 的坐标为 () .错误 !B.错误 ! .(3,2) .( , )4已知向量 a (2， 3)， b(1, )， (9， ),若 a+nb，则 m+n _ .5设向量 a=(1, 3),b=(-2,4) ， c (-1, 2)若表示向量4

12、a,4- c， (-c)， d 的有向线段首尾相接能构成四边形,求向量 .一、选择题1.已知平面向量a (1, )， b(1， )，则向量 f(1 ,2) 2b 等于 () .（ 2, 1)?B.(-2 ， ) (1,0)D (-1,2) .已知 a-错误 ! b (， 2)， a+b (4， 0)，则 等于 () A (-2， -2)?B.(2,2)C(-2, )已知向量? .（2,-2)a=(1,2) ， (2,3), c=(3 ，），且 c=1a ,则 ， 2 的值分别为 (）A ,1 .2,1B. ,D 1， 24.已知 M( ， -2)， N( 5， - ) 且错误 ! =错误 !

13、错误 ! ,则点 P 的坐标为 ()A.(-8, )B. 错误 !C错误 ! .(8， 1)5. 在平行四边形 ABD 中， C 为一条对角线若 错误 ! (2，4)，错误 ! =（ 1,3),则错误 ! 等于(）A.( ， - )?B.(-3,- ）C.(3,5)?D (2,4)6. 向量 错误 ! =(7 ， ),将错误 ! 按向量 (3, ）平移后得向量错误 ! ,则错误 ! 的坐标形式为（)A.（ 10,1)?B ( , 1)C.( ,-5)?D (3,6）二、填空题7. 已知点 A( ,3),B( ,-1)，则与向量 错误 ! 同方向的单位向量为 _.8.已知平面上三点 A(2,-4

14、），(，6)，C（ ,10),则 .2 错误 ! 错误 ! 错误 ! 的坐标是 9.已知 A(-1,-2) ， ( ,3)， C（ -2,0） ,D( ， ） ,且错误 ! 2错误 ! ,则+ .10已知四边形 ABCD 为平行四边形，其中 ( ,-1), B(-， 7)， C(1, ），则顶点 D 的坐标为 _ _.三、解答题11.已知 a (2,1)， =( 1,3)， c(1,2),求 = a3b c，并用基底 a、b 表示.12. 已知点 A(3,4)与 ( 1,2),点 P 在直线 A上，且 |错误 ! |=2|错误 ! ,求点 P 的坐标13. 已知点 A（ -1, )， (2，

15、8)及 错误 ! 错误 ! ，错误 ! 错误 ! 错误 ! ,求点 C、D 和错误 !AC =的坐标 .当堂检测答案1.设平面向量 a=(3,5) ， =( 2,1)，则 a-2b 等于 () (7， )B （ 7,7)C（ 1， 7)D (1,) 已知向量 错误 ! ( , 2）， 错误 ! =（ 5， ),则向量 错误 ! 错误 ! 的坐标是（) A 错误 !?B.错误 !C.(-8 ， 1)D.(8 ，1)3. 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A（ 0,2），B(-1， 2)， (3,1)，且 错误 ! 错误 ! ,则顶点 D的坐标为（) .错误 !B. 错误 !C.(3,2)D.(

16、,3)4已知向量 a=(2,-3 ）， b (1,2),p (9，），若 p=m+nb,则n .5设向量 a=(1,-3), =(-2 ， 4)， c=(-1 ，-2). 若表示向量 4a,4b-2c,2( c)，d 的有向线段首尾相接能构成四边形,求向量 .课时精练答案一、选择题 答案 .答案D 3.答案 D解析 由错误 ! 解得错误 !4. 答 案 解析设 P（x， y),由（ x 3,y+2) 12(-8 ， 1), x=1, - f(3 ,2). 答案 解析 错误 ! =错误 ! 错误 ! , 错误 ! =错误 ! -错误 ! （ 1， 1） . 错误 ! =错误 ! -错误 ! =（

17、-3， -5） . 答案C解析错误 ! 与错误 ! 方向相同且长度相等 ,故错误 ! =错误 ! （ 7， -5） .二 、 填 空 题 答案 错误 !解析 错误 ! 错误 ! -错误 ! =(4, 1) (1, )=(3 ， -4), 与错误 ! 同方向的单位向量为 错误 ! 错误 ! . 8.答案( 3， 6） 答案错误 !解析 错误 ! =( 2,0)（ -， -2） (-， 2）， 错误 ! =(x， y) (2，3） (x-2， y 3），又 2错误 ! 错误 ! ，即( x-4,2-6) （ 1,2), 错误 !解得 错误 ! x+y错误 ! 0.答案 (7， -6)解析设 D（

18、x， )，由错误 ! 错误 ! , (x 5,y+1)(2, 5). x=7, 6 三、解答题11.解 2a 3 +c 2（ 2,1)+3(-1 ， 3) (1， ) (4,2)（ 3,9)+(1,2) (2,13)设 p=xa+ b，则有错误 ! ，解得 错误 ! . =19a b.77 2.解 设 点坐标为 (,y）， | P， p6( )| 2| o（ PB， )|.当在线段 A上时 ,错误 ! 2错误 ! . （ x 3,y 4）= ( -x,2-y), 错误 ! 解得 错误 ! 点坐标为 (错误 ! ,）当在线段 AB 延长线上时 ,错误 ! 2错误 ! . (3， y 4) -2( 1 x,2-y )， 错误 ! 解