等差数列的前n项和

1、 著名数学家高斯小的时候，勤于思考，善于动脑，这著名数学家高斯小的时候，勤于思考，善于动脑，这一点在班级是有名的。他遇到问题总是问一点在班级是有名的。他遇到问题总是问“为什么为什么”；用；用一种方法解决问题之后，他还考虑有没有其他别的更有效一种方法解决问题之后，他还考虑有没有其他别的更有效的方法，老师和同学们都喜欢他。一天，老师给同学们出的方法，老师和同学们都喜欢他。一天，老师给同学们出了一道了一道“1 2 3 99 100的和等于多少？的和等于多少？”的数学题，同学们都觉得没什么难的，于是便十分认真地的数学题，同学们都觉得没什么难的，于是便十分认真地用一个数加另一个数慢慢求和的方法来计算。不

2、一会，小用一个数加另一个数慢慢求和的方法来计算。不一会，小高斯便举手示意他做完了。老师和同学们都觉得特别奇怪高斯便举手示意他做完了。老师和同学们都觉得特别奇怪：别人连一半还没加完，小高斯怎么就算完了呢？：别人连一半还没加完，小高斯怎么就算完了呢？ 你知道高斯是怎么计算的吗？你知道高斯是怎么计算的吗？1009998974321 .505010150(1) 高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？ (2) 如果换成如果换成+200=？我们能否快速求和？我们能否快速求和？ 如何求？如何求？ (3) 根据高斯的启示，如何计算根据高斯的启示，如何计算1

3、8+21+24+27+624=？?321 naaaa(4) 等差数列等差数列an的首项为的首项为a1,公差为公差为d，如何计算，如何计算思考：思考：一般的，我们称一般的，我们称为数列为数列 an 的的前前n n项和项和，用，用Sn表示，即表示，即naaaa 321.321nnaaaaS 对于公差为对于公差为d的等差数列，如何求它的前的等差数列，如何求它的前n项和？项和？.) 1()2()(1111dnadadaaSn 用两个式子表示前n项和.) 1()2()(dnadadaaSnnnnn .) 1()2()(1111dnadadaaSn 由得到).()()()(21111nnnnnaaaaaa

4、aaS n个).(1naan由此得到等差数列由此得到等差数列an 的前的前n项和的公式项和的公式.2)(1nnaanS.2) 1(2) 1(111dnnnadnaanSn用 代入上面的公式，得到dnaan) 1(1.2)(1nnaanS.2) 1(1dnnnaSn在已知首项和尾项时使用此公式。在已知首项和尾项时使用此公式。在已知首项和公差时使用此公式。在已知首项和公差时使用此公式。例例1 2000年年11月月14日教育部下发了日教育部下发了关于在中小学实施关于在中小学实施“校校校校通通”工程的通知工程的通知。某市据此提出了实施。某市据此提出了实施“校校通校校通”工程的总目工程的总目标：从标：从

5、2001年起用年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，校园网。据测算，2001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加年增加50万元。那么从万元。那么从2001年起的未来年起的未来10年内，该市在年内，该市在“校校校校通通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？解：解：根据题意，从根据题意，从20012010年，该市每年投入年，该市每年投入“校校通校校通”工程的经费都比上一年增加工程的经费

6、都比上一年增加50万元。所以，可以建立一万元。所以，可以建立一个等差数列个等差数列an,表示从表示从2001年起各年投入的资金，其中年起各年投入的资金，其中.50,5001da那么，到那么，到2010年年(n=10),投入的资金总额为投入的资金总额为).(7250502) 110(105001010万元S 答：从答：从20012010年，该市在年，该市在“校校通校校通”工程中工程中的总投入是的总投入是7250万元。万元。例例2 等差数列等差数列-10，-6，-2，2， 的前多少项的和为的前多少项的和为54？解：设题中的等差数列是设题中的等差数列是an，前，前n项和为项和为Sn.则则a a1 1

7、-10-10，d d-6-6-（-10-10）4 4，S Sn n54.54.由等差数列前由等差数列前n n项和公式，得项和公式，得.5442) 1(10nnn解得解得 n n1 19 9，n n2 23 3（舍去）（舍去）. .因此，等差数列的前因此，等差数列的前9 9项和是项和是54.54.例例3.堆放铅笔的堆放铅笔的V V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120120支，这个支，这个V V形架上共放着多少支铅笔？形架上共放着多少支铅笔？解： 由题意可知，这个由题意可知，这个V

8、形架上共放着形架上共放着120层层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为数列，记为an，(an表示自下而上第表示自下而上第n层所放的铅笔数层所放的铅笔数)其中其中a1=1,a120=120.根据等差数列前根据等差数列前n项和的公式，得项和的公式，得72602)1201 (120120S答：答：V形架上共放着形架上共放着7260支铅笔支铅笔.100,7*mNnnmmM且1求集合求集合 的元素个数，的元素个数，并求这些元素的和并求这些元素的和.解：解：72147100n1007 n由由 得得nM正整数正整数 共有共有14个即个即 中共有中共有14个元素个元素

9、71a即：即：7，14，21，98 是以是以 为首项，为首项，9814a以以 为末项的等差数列为末项的等差数列.7352)987(14nS答：略答：略课堂练习 2. 已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是 1220，求其前，求其前n项和的公式项和的公式.641dannnnnSn2362) 1(431010S122020S由题设：由题设：122019020310451011dada得：得：课堂练习解：解：课堂练习 3.一等差数列共有一等差数列共有10项，其中奇数项的和是项，其中奇数项的和是12.5，偶数项的，偶数项的和是和是15，求首项和公差，求首项和公差. 首项首项 a1=0.5,公差公差 d=0.5.4.已知等差数列的前已知等差数列的前n项和为项和为a，前，前2n项和为项和为b，求前，求前3n项和项和S3n=3(b-a).5. 等差数列等差数列 中，若前中，若前100项之和等于前项之和等于前10项和的项和的100倍，倍， 求求 。 na10010aa