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文档简介
1、AUTUMN APPLICATION第二讲 常数项级数的敛散性§8.2 数项级数的敛散性判别法一、正项级数收敛的充要条件若数项级数的各项均非负,则称 为正项级数由于,因此, ,所以正项级数的部分和数列是单调增加数列即若有上界,则由“单调有界数列必有极限”知,该正项级数必收敛反之,若正项级数收敛于,即 ,则数列必有上界,从而得到如下重要结论:定理1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有上界二、正项级数及其敛散性判别法1. 比较判别法定理2(比较判别法) 设和都是正项级数,且(1)若级数收敛,则级数也收敛;(2)若级数发散,则级数也发散证 (1)若级数收敛,其部分和数列有上界,于是有,
2、使又,故 即的部分和数列有上界根据定理1知,级数 收敛 (2)若发散,则级数必发散,因为若级数收敛,由(1)知,级数也收敛,与假设矛盾,故级数发散由于级数每项乘以非零数,以及去掉级数的有限项,所得级数的敛散性与原级数相同,可得如下推论:推论 设,均为正项级数,且从级数的某项起恒有,则(1)若收敛;则也收敛;(2)若发散,则也发散例1 试证调和级数 发散证 显然在上满足拉格郎日中值定理条件,所以至少存在一个实数;使得,于是,级数与级数的所有对应项便有,由于,所以因此,级数发散;由正项级数比较判别法可知,调和级数是发散的例2 讨论级数的敛散性解 当时,有由于调和级数发散,所以由比较判别法可知,当时
3、,级数也是发散的当时,又级数是等比级数,且其公比故收敛,于是当时,根据比较判别法的推论可知,级数也收敛综上所述,当时,级数收敛;当时,级数发散应用比较判别法的关键,是把新给的级数与一个敛散性已知的正项级数作比较,常用作比较的正项级数有调和级数、等比级数与级数例3 判别级数的敛散性解 因为 ,又时的一级数是收敛的,所以,原级数收敛例4 证明级数 收敛证 满足,而是等比级数,由比较判别法可知,级数收敛例5 判定级数 的敛散性解 因 ,而级数收敛,所以级数收敛为使用方便,下面给出比较判别法的极限形式:定理3 设级数和都是正项级数,且则它们有相同的敛散性证 取使满足依极限定义,存在正整数,当时,有,即
4、 ,得由比较判别法可知级数,具有相同的敛散性例6 判断级数的收敛性解 一般项,且,而级数发散,故级数也发散由比较判别法可推出另一个常用的判别法2. 比值判别法定理4 (比值判别法) 设是正项级数,若,则 (1)当时,级数收敛; (2)当时(或)时,级数发散;(3)当时,级数可能收敛也可能发散 例7 判断级数的收敛性解 因为 ,所以该级数收敛例8 判断正项级数的敛散性解 因为 ,所以该级数收敛例9 判别级数的敛散性解 因为 ,所以该级数发散 注 当时,无法判别级数的敛散性例如,级数有,它是发散的,但级数也有 却是收敛的3. 根值判别法定理5 (根值判别法) 对于正项级数的一般项,若;则(1)当时
5、,级数收敛;(2)当时,级数发散;(3)当时,级数可能收敛也可能发散例10 判断级数的敛散性解 因为 ,而,所以收敛再根据比较判别法,原级数收敛例11 设,且,试判断级数的敛散性解 因为,而;所以,根据根值判别法有(1)当时,级数收敛; (2)当时,级数发散;(3)当时,级数可能收敛也可能发散三、交错级数及其敛散性判别法称级数为交错级数,其中皆为非负数定理6 (莱布尼兹判别法) 若交错级数满足:(1);(2)则交错级数收敛,且其和,其余项的绝对值交错级数是一类特殊的级数,定理6表明,若交错级数收敛,其和,即不超过首项;若用部分和作为的近似值,所产生的误差,即不超过第项例12 交错级数满足条件
6、(1) ; (2)所以它是收敛的,且其和 如果取前项的和作为的近似值,即产生的误差例13 判断级数的敛散性,并估计用代替其和时所产生的误差解 因为(1) ;(2)所以它是收敛的又因为 ,所以也就是说,用代替可使误差小于四、绝对收敛与条件收敛对于一般项级数其各项为任意实数,若级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛,则称级数绝对收敛;若级数收敛,而级数发散,则称级数条件收敛易知是绝对收敛级数,而是条件收敛级数定理7 若收敛,则必收敛例14 判断级数的敛散性解 因为 而级数收敛由比较判别法知,级数收敛,所以级数绝对收敛例15 证明 级数 绝对收敛证 因为 ,根据比值判别法,级数收敛,从而,此交错级数绝对收敛例16 为了治病需要,医生希望某药物在人体内的长期效用水平达200,同时还知道每天人体排放25%的药物试问医生确定每天的用药量是多少?解 因为是连续等量服药,留存体内的药物水平是前一天药物量的加上当日的服用量,可见第天人体内该药物含量由于是长期服药,也考虑到会产生抗药性等复杂情况,为简化计算,服药期间可算作趋于无穷大因此体内该药物最终存留量200不妨理解为等比级数的
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