第九章 7微分法在几何上应用

1、微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线和法平面一、空间曲线的切线和法平面定义定义设设 M 是空间曲线是空间曲线 L 上的一个定点上的一个定点, M*是是 L 上的一个动点上的一个动点, 当当M* 沿曲线沿曲线 L 趋于趋于M 时时 , 割线割线MM* 的极限位置的极限位置 MT （如果极（如果极限存在）限存在） 称为曲线称为曲线 L 在在 M 处的切线处的切线下面我们来导出空间曲线的切线方程下面我们来导出空间曲线的切线方程。设空间曲线的方程。设空间曲线的方程)1()()()( tztytx (1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.且且导数不同时为零导数不同时为零;)

2、,(0000ttzyxM 对对应应于于设设.),(0000*tttzzyyxxM 对对应应于于ozyxM*.M的的方方程程割割线线*MMzzzyyyxxx 000ozyxM*.M考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以, t ,000zzzyyyxxx t t t ,0,*时时即即当当tMM 曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：法平面：过过 M0 点且与切线垂直的平面点且与切线

3、垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即。空间曲线方程。空间曲线方程,)()( xzxy 取取 x 为参数为参数,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzx

4、yyxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(00000 zzxyyxxx 。空间曲线方程。空间曲线方程,0),(0),( zyxGzyxF切向量切向量 yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFT,切线方程为切线方程为切线方程切线方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy例例 2 2 求求曲曲线线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处处的的切切线线及及法法平平面面方方程程. 1dxdzdxdyxdxdzzdxdy

5、y,zyxzdxdy ,zyyxdxdz , 0) 1, 2, 1 ( dxdy, 1)1, 2, 1( dxdz,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线。设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线,)()()(: tztytx nTM曲线在曲线在M处的切向量处的切向量),(),(),(000tttT 令令),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 由由于于曲曲线线是是曲曲

6、面面上上通通过过M的的任任意意一一条条曲曲线线，它它们们在在M的的切切线线都都与与同同一一向向量量n垂垂直直，故故曲曲面面上上通通过过M的的一一切切曲曲线线在在点点M的的切切线线都都在在同同一一平平面面上上，这这个个平平面面称称为为曲曲面面在在点点M的的切切平平面面.则则,Tn 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 垂直于曲面上切平面的向量称为垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量曲面的法向量.曲面在曲面在M

7、处的法向量处的法向量即即),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 。空间曲面方程形为。空间曲面方程形为),(yxfz 令令,),(),(zyxfzyxF 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(0

8、0yxyxfz 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的，即即使使得得它它与与z轴轴的的正正向向所所成成的的角角 是是锐锐角角， 则则法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为 ,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 3 3 求求旋旋转转抛抛物物面面122 yxz在在点点)4 , 1 , 2(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1

9、, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解令令, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF切平面方程切平面方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx法线方程法线方程.001221 zyx例例 5 5 求求曲曲面面2132222 zyx平

10、平行行于于平平面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程. 解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx满足方程满足方程, 10 x所求切点为所求切点为),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 切平面方程切平面方程(1)0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(2)0)2(12)2(8)1(

11、2 zyx2164 zyx例例6 在椭球面在椭球面 上求一点，上求一点，1222222 czbyax使它的法线与坐标轴正向成等角使它的法线与坐标轴正向成等角解解令令1),(222222 czbyaxzyxF则则2222,2,2czFbyFaxFzyx 2020202,2,2czbyax注意到法线与坐标轴正向的夹角注意到法线与坐标轴正向的夹角 ,相等相等故故 coscoscos 202020czbyax1220220220 czbyax解得解得2221cba ),(222222222222cbaccbabcbaa 所求的点为所求的点为),(000zyxP的法线的方向向量为的法线的方向向量为 故椭

12、球面上任一点故椭球面上任一点例例7设设 z = z ( x , y )由方程由方程0),( czbyczaxf确定，确定， 其中其中f ( u , v )可微可微证明证明 z = z ( x , y ) 表示锥面表示锥面 ),(0cbaP记记),(000zyxP为曲面上一点为曲面上一点则连接则连接 PP0 的的直线的方程为直线的方程为tczczbybyaxax 000 )()()(000cztczbytbyaxtax时时当当0 t证证)()(,)()(0000ccztcbbytbccztcaaxtaf 0),(0000 czbyczaxf得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以得出直线上的点都在

13、曲面上，所以曲面是以 (a,b,c) 为顶点的锥面。为顶点的锥面。曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时求法向量的方向余弦时注意符号注意符号）思考题思考题 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求 .三、小结三、小结空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意量注意采用推导法采用推导法）思考题解答思考题解答设切点设切点),(000zyx,2,2,6000zyxn 依题意知切向量为依题意知切向量为3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 x

14、z 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 练练 习习 题题一一、 填填空空题题: :1 1、 曲曲线线2,1,1tzttyttx 再再对对应应于于1 t的的点点处处切切线线方方程程为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 法法平平面面方方程程为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 曲曲面面3 xyzez在在点点)0 , 1 , 2(处处的的切切平平面面方方程程为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 法法线线方方程程为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 求求出出曲曲线线32,tztytx 上上的的点点, ,使使在在该该点点的的切切线线平平行行于于平平面面42 zyx. .三三、 求求球球面面6222 zyx与与抛抛物物面面22yxz 的的交交线线在在)2 , 1 , 1(处处的的切切线线方方程程 . .四四、求求椭椭球球面面12222 zyx上上平平行行于于平平面面