牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式

1、教案一 牛顿一科特斯(Newton-Cotes)求积公式基本内容提要1数值积分的基本思想2代数楮度的概念3牛顿一科特斯求积公式及其余项4牛顿一科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学目的和要求1理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念2学握插值熨求积公式基本思想及某木的牛顿一科特斯求积公式：梯形求积公 式、辛莎森(Smipson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积 公式及其余项公式3 了解牛顿一科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学重点1插值型求积公式的基本思想2牛顿一科特斯求积公式的构造过程3分析牛顿一科特斯求积公式的稳定性和收敛性4低阶牛顿一科特斯求积公式及其积分余项公式教学难点1数

2、值积分公式代数桔度概念的理解和应用2牛顿一科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入我们可以构造一个多项式近似代替某个未知西数或复杂函数。据此，可以推 导用來近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。这就是数值积分 与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的雨要性是显而易见的。以定积分的计算为 例，要计算定积分£ fx)dx理论上可以用Newton-Leibniz公式：jaf(x)dx=F(b)-F(a)其'PF(x)是被积函数的某个原函数。但对很多实际问题，上述公式却无能为力。 这是因为：1) 被

3、积两数/(x)的原函数理论上存在，但无法知道它可用J：计算的表达式，如，等初等函数。X2) 被积函数/(X)本身没有可用J：计算的表达式，而仅仅是一种数表西数，即 只知道该函数在部分特殊点的函数值。因此，借助丁插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。§3.1牛顿柯特斯求积公式3.1.1数值积分的基本思想肖先利用积分中值定理:jj(x)dx=f)(b-a)y壮b导出矩形求积公式、 梯形求积公式。再利用定积分的定义：/(羽心=巴亡/©)山，分析定积分的四个基本步 骤：分割、近似、求和、取极限。分割就是把总体(整块梯形而积)分成若干分 量(小曲边梯形面积)，近似就是任每个分最

4、中用容易计算的帚去代表小曲边梯形 的面枳(这是用矩形面积近似Illi边梯形的面积)。求和就是把分戢加起來得到总近 似值，最后取极限就紂到积分的准确值C数值计算时可以省掉求极限这一步，只 耍经过前三步就可求得积分近似值，这就是建立数值积分方法的基本步骤。3.1.2代数精度的概念数值求枳方法是近似方法，为要保证箱确度，I然希里求枳公式能够对“尽 可能多”的被积函数/(x)都准确成立，在计算方法中，常用代数粘:度这个概念來 描述它。bir定义311：若求积公式：丿(砂/川£去/(忑)对于任意不高丁 m次的代数多项式都准确成立，而对J-xw+1不一定能准确成立，则称该求积公式的代数精度m o

5、一般地，欲使求积公式$(©)貝冇m次代数精度。只要令它对J /(x) = l,.r,j2,.F*都能准确成立，即要求:乞九=b ci&0n1A-02m+1n 1U»o加 + 1如果先选定求积节点，如.以区间a.b的等距节点依次为节点，这时取m=n,求解上述线性方程组即町确定系数人，从而使求枳公式至少m=n次代数粘:度。3.13牛顿柯特斯求积公式设耍计算定积分为：I(f) = jj(x)dx o数值计算定积分的方式就是利用被积函数在某些节点的信息，推导定积分 的近似计算公式。其做法是第一步：在匕上上选择一些点，比如说是n<x0<x1<x <b,

6、 了解这些 节点处被枳旳数的信息，比如说算出/UJ,/ = 0丄“。第二步：把上述信息作为插值条件，构造/(x)的拉格朗口插值多项式<0第三步：用厶(X)代替/(X),按如下方式推导计算公式：心« f L”(x)dx = y (x)/(兀加=工；0(兀)妖/、(3-1)其中Ja称为求积系数，兀称为求积节点。按上述过程得到的积分公式(3.1)叫做插值熨求积公式。当然，如果用其 他的方式找到一个简单函数p(x),使得p(x) f(x),那么也能推出一个数值积 分公式：Kf) = f(x)dx a (p(x)dx .这类近似计算的积分公式叫做数值积分公式。由于厶(x)是f的近似，所以

7、上述求积公式(3.1)存在截断误差(称为求 积余项):5町wmf為严（莎恥皿其中§是与X有关的一个数有时为了突出这一点，常记它为C或氛0。如果 e（x）不变号,则由第二积分中值定理可知：存在常数 W切,使得R门=詁帀广叫）氏冷）厶最常用的数值积分公式是等跆节点的插值熨求枳公式，即插值节点兀=a + ibji = - ，/ = 0,1, /?.n只咚步长力已知或已知，就能方便的算出所有求积节点兀。下面列出这样的一些求积公式及其余项：梯形求积公式：(3.2)1)it = lji = b-a、心呜/(X。) + /(),ler门=-寻m）2)辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式

8、：0 * h-an = 2,h = ,心N £/(" +4/(xJ + /(xJ./?5町=-缶严(")3)牛顿（Newton）求积公式：2 b-a/门 Q ¥"（入）+ ”（儿）+ 3/（兀）+ /（兀）,O町=-驚)柯特斯(Cotes)求积公式：.> b-an = 4,/? =心卜石7/(兀)+ 32/(兀) + 12/(xJ + 32/(“)+7/g), 町=-爲严(")上述这类公式统称为牛顿柯特斯(Newion-Cotes)求积公式，是它的阶 数。从各阶牛顿柯特斯公式的余项表达式可知：梯形求积公式对所有次数不超过1的多项

9、式是准确成立的；辛普森求积公式对所有次数不超过3的多项式是准确成立的；牛顿求积公式对所有次数不超过3的多项式是准确成立的；柯特斯求积公式对所有次数不超过5多项式是准确成立的。定理3丄1当为偶数时，阶牛顿柯特斯求积公式至少具有” + 1阶代数精度。3.1.4牛顿柯特斯求积公式的稳定性和收敛性牛顿-柯特斯公式需耍计算各节点处的函数值/(兀),心0丄几当/(x)较复杂时，如In'x,厂'等。这些函数值的计算常常存在舍入误差。分析这种舍入谋差 对数值计算公式的影响，就叫做算法的稳定性分析。假设/(x)的近似值为yf，它们的绝对误差限是5,则由此产生的定积分的计算误差为£&/（兀）一乞心 < J|A/=0 /=0其中,A = (A°，A，A,)J内此牛顿-柯特斯求枳公式在求枳系数小为负数时是数值稳足的。最后由丁龙格现象存在，不难得知，牛顿柯特斯求积公式不一定具有收敛 性。从以上关于稳定性和收敛性的分析可知，数値计算中应主张使用低阶的牛 顿柯特斯求积公式。课堂演示 习题三第1题，说明数值积分计算过程和误差估计方法。课堂小结布置作业参考文献1. Burden R L, Faires J D.Numencal Ana