图像处理及理解(第三章)

1、第三章第三章 图像变换图像变换3 31 1 概述概述 一、图像处理可用线性系统描述一、图像处理可用线性系统描述 其输入与输出图像的关系：其输入与输出图像的关系： 原原始始图图像像处处理理后后图图像像),(yxf),(yxg),(),(yxfyxg二、二、 图像处理的方法图像处理的方法1 1 直接处理直接处理-阵列运算（线性代数）阵列运算（线性代数） 将输出图像阵列看作输入图像阵列各元素的加将输出图像阵列看作输入图像阵列各元素的加权组合权组合2 2 间接处理间接处理-图像变换图像变换条件：条件：1 1）变换是可逆的；）变换是可逆的； 2 2）算法不复杂）算法不复杂优点：优点：1 1）运算速度快（

2、快速算法）运算速度快（快速算法）2 2）便于二维数字滤波处理）便于二维数字滤波处理3 3在图像处理中广泛应用二维正交变换：在图像处理中广泛应用二维正交变换：利用某些正交变换可以从图像中利用某些正交变换可以从图像中提取提取一些一些特征特征：如付氏变换后平均值（即直流项）正比于图像灰如付氏变换后平均值（即直流项）正比于图像灰度值的平均值，高频分量则表明图像中目标边缘度值的平均值，高频分量则表明图像中目标边缘的强度及方向；的强度及方向； 在变换的基础上，便于完成图像的在变换的基础上，便于完成图像的变换编码变换编码。变换后的能量不变，但其分布会有变化，往往集变换后的能量不变，但其分布会有变化，往往集中

3、到少数一些项上，有利于存储和传输。中到少数一些项上，有利于存储和传输。 3 32 2 图像的线性运算图像的线性运算3 32 21 1 二维连续线性系统二维连续线性系统设输入，输出，二维线性系统映射设输入，输出，二维线性系统映射为，则为，则1 1 线性叠加原理线性叠加原理 其中其中a,ba,b为常数为常数),(yxf),(yxg),(),(yxfyxg),(),(),(),(),(),(212121yxbgyxagyxfbyxfayxbfyxaf2 2二维狄拉克（二维狄拉克（DiracDirac）冲激函数）冲激函数 具有性质：具有性质：1 1）2 2） ，为任意小的正数，为任意小的正数其它0,

4、00,yxyx其它yxyx,0, 1),(),(dxdyyxdxdyyx3 3）筛选性）筛选性 4 4）分解性分解性 二维冲激函数可分解为二个沿正交坐标定义的二维冲激函数可分解为二个沿正交坐标定义的一维冲激函数的乘积一维冲激函数的乘积5)5),(),(),(gdxdyyxyxg)()(),(yxyxexp2 ()( , )juxvy dudvx y 3 3二维冲激响应函数二维冲激响应函数h(x,y)h(x,y) 点扩展函数点扩展函数（PSFPSF） 由于由于h(x,y)h(x,y)是当系统的输入为是当系统的输入为 函数或函数或点光源时系统的输出，是对点光源的响应，点光源时系统的输出，是对点光源

5、的响应，因此称为点扩展函数。质量差的图像传输系因此称为点扩展函数。质量差的图像传输系统统h(x,y)h(x,y)的作用将把图像中的一点弥散开来。的作用将把图像中的一点弥散开来。 ),(),(yxyxh4 4空间不变性空间不变性 当输入的单位脉冲函数延迟了当输入的单位脉冲函数延迟了 单位后，单位后， 即对应于即对应于x,yx,y平面中平面中 处的点源处的点源 , , 其响应满足其响应满足则该系统称为则该系统称为空间不变系统空间不变系统( (位移不变系统位移不变系统) )。物理意义：输出仅在物理意义：输出仅在x,yx,y方向移动了方向移动了 单位，单位，函数形状不变。函数形状不变。),(),(yx

6、,),(),(),(yxhyxyxh,5 5卷积卷积 对于二维线性位移不变系统，如果输入对于二维线性位移不变系统，如果输入 ，输出输出 , , 则则由卷积积分的对称性，也可写成：由卷积积分的对称性，也可写成： ),( yxf),(yxg),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(yxhyxfddyxhfyxfddyxfyxfyxg ddhyxfyxg),(),(),(6 6相关相关 1 1） 函数函数 的自相关函数的自相关函数 定义：定义： 2 2）二个函数）二个函数 和和 的互相关函数的互相关函数定义：定义： ddyxffyxfyxfyxfyxfyxRff),(),(),()

7、,(),(),(),(),(yxf),( yxf),( yxgddyxgfyxgyxfyxgyxfyxRfg),(),(),(),(),(),(),( 3 32 22 2 二维连续二维连续FourierFourier变换变换 一、一维一、一维FourierFourier ： 1 1实变量函数实变量函数f(x)f(x)是连续可积的，是连续可积的， 即即: : ，且，且 是可积的，是可积的， FourierFourier变换对一定存在：变换对一定存在： 其中其中u -u -频率频率d xxf)()(uFduuxjuFxfuFdxuxjxfuFxf)2exp()()()(F)2exp()()()(

8、F1 - 2 2一维一维FourierFourier变换的复数形式变换的复数形式 则则 一维一维FourierFourier谱（幅值）谱（幅值） 相角相角 能量谱（功率谱）能量谱（功率谱） )()()()()(ujIuReuFuFuj2122)()()(uIuRuF)()(tan)(1uRuIu)()()()(222uIuRuFuE3 3典型例子典型例子-门函数（矩形）门函数（矩形）P50P50 XxXxAxf00)(uXjeuXuAuF)sin()()()sin()(uXAXSauXuXAXuF窗口函数窗口函数二、二维连续二、二维连续FourierFourier变换变换 条件：条件： 是连续

9、可积的，即是连续可积的，即 ，且且 是可积的，是可积的，FourierFourier变换对一定存在：变换对一定存在： ),(yxfdxdyyxf),(),(vuFdudvvyuxjvuFyxfvuFdxdyvyuxjyxfvuFyxf)(2exp),(),(),()(2exp),(),(),(1 1 - - F F F F 变换的复数形式变换的复数形式 二维谱（幅值）二维谱（幅值） 相角相角 能量谱（功率谱）能量谱（功率谱） ),(),(),(),(),(vujIvuRevuFvuFvuj2122),(),(),(vuIvuRvuF),(),(tan),(1vuRvuIvu),(),(),()

10、,(222vuIvuRvuFvuE例子例子-二维矩形体函数二维矩形体函数以上推导利用了尤拉公式：以上推导利用了尤拉公式： YyXxYyXxAyxf,0 ,00),(vYevYuXeuXAXYvuFuYjuXj)sin()sin()( ，),()sin()sin(),(vuAXYSaVYvYuXuXAXYvuF1sin( )()2jxjxxeej再具体分析下面的付氏变换：再具体分析下面的付氏变换：上式表明：图像可以看成是由无数正弦上式表明：图像可以看成是由无数正弦和余弦函数加权求和得到，加权因子为。和余弦函数加权求和得到，加权因子为。 dudvvyuxjvyuxvuFdudvvyuxjvuFyx

11、f)(2sin)(2cos),()(2exp),(),(),(yxf),(vuF3 33 3 二维离散二维离散FourierFourier变换及其性质变换及其性质前节所分析的二维信号是在前节所分析的二维信号是在X X轴和轴和Y Y轴两个轴两个方向上空间连续的信号。然而，图像处理的信方向上空间连续的信号。然而，图像处理的信号往往不是这样的信号。常见的电视信号只在号往往不是这样的信号。常见的电视信号只在625625条扫描行上才有取值，也就是说，该信号条扫描行上才有取值，也就是说，该信号在在Y Y轴方向上是离散的。为了得到二维离散信轴方向上是离散的。为了得到二维离散信号，还要再在水平方向上抽样。号，

12、还要再在水平方向上抽样。 一、一维一、一维DFTDFT离散离散-对连续函数的采样，采样间隔，对连续函数的采样，采样间隔，采样点数，则离散函数采样点数，则离散函数 式中式中一维一维DFTDFT对：对： )(xfxN0( )()f xf xn x 0,1,2,.,1nN10102exp)()(2exp)(1)(NuNxNuxjuFxfNuxjxfNuF周期、离散周期、离散说明几个概念：说明几个概念：1 1）和）和 都是离散序列。都是离散序列。 表示取自表示取自相应连续函数的任意相应连续函数的任意N N个等间隔抽样值；个等间隔抽样值； ，当，当 的值对应于在的值对应于在 处的连续变换的抽样值。处的连

13、续变换的抽样值。2 2）频域采样间隔）频域采样间隔 与空域采样间隔与空域采样间隔 的关系：的关系： 3 3）DFTDFT总是存在的，不必考虑连续总是存在的，不必考虑连续FTFT的绝对可积条件。的绝对可积条件。4 4）DFTDFT的的 和和 都是周期性函数（周期为都是周期性函数（周期为N N）。在）。在实际应用中，取一个周期，则实际应用中，取一个周期，则 和和 是有限长度是有限长度N N的序列。的序列。)(xf)(uF) 1(),.,2(),1 (),0(Nffff)()(0uuuFuF1,.,2 , 1 , 0NuuNuuuuuu) 1(,.,2,0000uxxNu1)(xf)(uF)(xf)

14、(uF二、二维二、二维DFTDFT 由一维推广：由一维推广： 若若M=NM=N时：时： 其中：其中： 10101010)(2exp),(),()(2exp),(1),(MuNvMxNyNvyMuxjvuFyxfNvyMuxjyxfMNvuF 101010102)(2exp),(),()(2exp),(1),(NuNvNxNyNvyuxjvuFyxfNvyuxjyxfNvuF1,.,2 , 1 , 0,; 1,.,2 , 1 , 0,NyxNvu说明：说明：1 1） 和和 都是离散值，且是周期性函数都是离散值，且是周期性函数（周期（周期N N）2 2）正反变换常数取法不一，多为各取）正反变换常数

15、取法不一，多为各取3 3）付氏谱，相位，功率谱表达式与连续时一样，）付氏谱，相位，功率谱表达式与连续时一样，只不过所有变量为离散值。只不过所有变量为离散值。 ),(vuF),(yxfN1三、二维三、二维DFTDFT的性质的性质1 1线性特性：线性特性： ；则则 其中为常数其中为常数 2 2变换的可分离性：变换的可分离性：由二维由二维DFTDFT的公式：正反变换核可以分解成只的公式：正反变换核可以分解成只含和的两个指数函数的乘积，于是其相含和的两个指数函数的乘积，于是其相应的二维应的二维DFTDFT可以分离成两次一维可以分离成两次一维DFTDFT的乘积，因的乘积，因此可将二维此可将二维DFTDF

16、T分解为二步进行，每一步都是一维分解为二步进行，每一步都是一维DFTDFT。 ),(),(11vuFyxf),(),(22vuFyxf),(),(),(),(2121vubFvuaFyxbfyxafF Fba,uxvy3 3平移性：平移性：若，则平移性可由下式给出：若，则平移性可由下式给出：上式的物理意义：上式的物理意义： 指数项乘指数项乘 并取其乘积的变换，使频率平面并取其乘积的变换，使频率平面的原点移到点的原点移到点 ； 指数项乘指数项乘 并取其乘积的反变换，使空并取其乘积的反变换，使空间平面的原点移到点间平面的原点移到点 。 ),(),(vuFyxfNvyuxjvuFyyxxfvvuuF

17、Nyvxujyxf)(2exp),(),(),()(2exp),(00000000),(yxf),(00vu),(vuF),(00yx 若取若取 则则 此时将此时将 的付氏变换的原点移到相应的付氏变换的原点移到相应 频率方阵的中心。频率方阵的中心。 注意：注意： 的移动并不影响它的付氏变换的幅的移动并不影响它的付氏变换的幅度：度： 结论：结论：DFTDFT的平移性只是的平移性只是相移相移，幅值不变。，幅值不变。 200NvuyxyxjNyvxuj) 1()(exp)(2exp00)2,2() 1)(,(NvNuFyxfyx),(yxfNN ),(yxf),()(2exp),(00vuFNvyu

18、xjvuF4 4周期性和共轭对称性：周期性和共轭对称性：1 1）周期性）周期性 物理意义：物理意义：DFTDFT的正反变换具有的正反变换具有N N周期性，应用中周期性，应用中只需取一个周期。在空间域中，也有相似的只需取一个周期。在空间域中，也有相似的性质。性质。2 2）共轭对称性）共轭对称性 其谱其谱 物理意义：是以物理意义：是以中心对称中心对称的图形的图形, ,计算只计算只要求右半个周期，计算量减少。要求右半个周期，计算量减少。),(),(),(),(NvNuFNvuFvNuFvuF),(yxf),(),(vuFvuF),(),(vuFvuF),(vuF),(vuF5 5旋转不变性旋转不变性

19、引入极坐标引入极坐标 及及 则则无论在连续的或离散的付氏变换对中用直接无论在连续的或离散的付氏变换对中用直接代入方法可以证明，代入方法可以证明，说明：如果被旋转，则也被旋转了同说明：如果被旋转，则也被旋转了同一角度；类似地，如果被旋转，则也一角度；类似地，如果被旋转，则也被旋转了同一角度。被旋转了同一角度。sincosyxsincosyu),(),(),(),(FvuFfyxf),(),(00Ff),(yxf0),(vuF),(vuF0),(yxf6 6）分配性和比例性）分配性和比例性分配性分配性 与对加法可以分配，而对乘法则与对加法可以分配，而对乘法则不行。不行。比例性比例性 设，为标量，设

20、，为标量，则；则；说明：说明：空间空间比例尺比例尺展宽展宽，对应于，对应于频域频域比例尺比例尺压缩压缩。 F F1 1 - -F F),(),(vuFyxfba,),(),(vuaFyxaf),(1),(bvauFabbyaxf7 7）均值）均值 二维离散函数平均值定义二维离散函数平均值定义 将代入式：将代入式： 得得 因此：因此： 上式表示：均值等于变换的原点值上式表示：均值等于变换的原点值 10102),(1),(NXNYyxfNyxf0 vu1120012 ()( , )( , )expNNxyjuxvyF u vf x yNN112001(0,0)( , )NNxyFf x yN( ,

21、 )(0,0)f x yFF F8 8）微分性质）微分性质 二变量函数的拉普拉斯（二变量函数的拉普拉斯（LaplacianLaplacian）算子）算子定义为定义为 按照二维付氏变换的定义可得拉氏算子的变换按照二维付氏变换的定义可得拉氏算子的变换 拉普拉斯算子通常用于检测图像轮廓的边缘。拉普拉斯算子通常用于检测图像轮廓的边缘。 ),(yxf22222),(yfxfyxf),()()2(),(2222vuFvuyxfF FF F9 9）卷积和相关）卷积和相关 卷积定理和相关定理主要研究：卷积定理和相关定理主要研究：（1 1）二个函数和的付氏变换关系；）二个函数和的付氏变换关系；（2 2）空域与频

22、域关系）空域与频域关系 二维连续函数和卷积定义二维连续函数和卷积定义 二维卷积定理：，则二维卷积定理：，则作用：利用卷积定理可避免直接求卷积，可先求作用：利用卷积定理可避免直接求卷积，可先求相乘得卷积值。相乘得卷积值。 ),(yxf),(yxgddyxgfyxgyxf),(),(),(),(),(),(vuFyxf),(),(vuGyxg),(),(),(),(),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfvuGvuFyxgyxfF F1 1 - -F F),(yxf),(yxg二维离散函数和卷积二维离散函数和卷积注意问题：因离散付氏变换和反变换都是周期注意问题：因离散付氏变换和反变换都是周

23、期性函数，卷积（相关）要避免交叠误差，必须性函数，卷积（相关）要避免交叠误差，必须对离散函数定义域扩展（增对离散函数定义域扩展（增0 0方法）。方法）。设离散函数设离散函数 定义域定义域 AXBAXB阵列阵列 离散函数离散函数 定义域定义域 CXDCXD阵列阵列 定义域扩展定义域扩展 用增用增0 0方法扩充二个新方法扩充二个新 二维离散函数（二维离散函数（MXNMXN阵列）阵列）),(yxf1010ByAx),(yxg1010DyCx11DBNCAM二维离散卷积定理二维离散卷积定理 为离散值为离散值 1, 1010 , 10),(),(NyBMxAByAxyxfyxfe1, 1010 , 10

24、),(),(NyDMxCDyCxyxgyxge),(),(),(),(),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfvuGvuFyxgyxfeeeeeeeevuyx,二维相关定理二维相关定理 二维连续函数和相关定义二维连续函数和相关定义二维离散函数相关定理二维离散函数相关定理， 则则 “* *”表示复共轭表示复共轭),(yxf),(yxgddyxgfyxgyxf),(),(),(),(),(),(yxfyxfe),(),(yxgyxge),(),(),(),(),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfvuGvuFyxgyxfeeeeeee在图像处理中相关主要应用于模板或者原在图像处理中

25、相关主要应用于模板或者原型匹配方面，在给定的未知图像和已知的原始型匹配方面，在给定的未知图像和已知的原始图像集之间求最紧密的匹配。解决这个问题的图像集之间求最紧密的匹配。解决这个问题的一个途径是计算未知的和每一个已知图像之间一个途径是计算未知的和每一个已知图像之间的相关。然后，选取使相关函数具有最大值的的相关。然后，选取使相关函数具有最大值的图像，从而就找到了最紧密的匹配。图像，从而就找到了最紧密的匹配。 四、应用付氏变换注意问题四、应用付氏变换注意问题1 1）付氏变换缺点：）付氏变换缺点： 付氏变换是由复指数函数构付氏变换是由复指数函数构成正交集，比实数计算（成正交集，比实数计算（DCTDC

26、T、DWTDWT、DHTDHT）费时；）费时；收敛性慢。收敛性慢。2 2）付氏变换谱能量集中（主要低频部分），衰）付氏变换谱能量集中（主要低频部分），衰减快，但显示不清楚。若定义一个函数：减快，但显示不清楚。若定义一个函数： 更有利于对付氏变换的视觉理解。更有利于对付氏变换的视觉理解。 3 3）快速算法（）快速算法（FFTFFT）-基基2 2算法（算法（N N为为2 2整数幂）整数幂）基本算法（基本算法（“蝶形蝶形”运算）：运算）：按时间抽取算法按时间抽取算法* *；按频率抽取算法；按频率抽取算法)v)F(u,log(1v)D(u,五、五、FFTFFT1 1） 概述概述一维：一维： 对于每个：

27、对于每个：N N次复数乘法，次复数乘法，N-1N-1次复数加法；次复数加法；对于对于N N个：次复数乘法，个：次复数乘法，N N（N-1N-1）次复数加）次复数加法。因而，普通法。因而，普通FTFT计算量与正比，当计算量与正比，当N N很大时，很大时，计算量非常大。计算量非常大。19651965年库利提出了年库利提出了FFTFFT算法，复数乘法和加法算法，复数乘法和加法正比于，当正比于，当N N很大时，计算量显著减少。很大时，计算量显著减少。 102exp)(1)(NxNuxjxfNuF1,.,2 , 1 , 0; 1,.,2 , 1 , 0NuNxuu2N2NNN2log2 2）FFTFFT

28、基本原理（基本原理（N N为为2 2的整数幂算法）的整数幂算法）-按时间按时间抽取抽取 一维：一维： （1 1） 把式（把式（1 1）表示成）表示成 （2 2） 其中其中 （3 3） 并且假定并且假定N N满足满足 （4 4） 其中是正整数，在这个基础上，其中是正整数，在这个基础上，N N可以写成可以写成 （5 5） 其中其中M M也是正整数。也是正整数。 102exp)(1)(NxNuxjxfNuF10)(1)(NxuxNWxfNuFNjWN2expnN2MN2把式（把式（5 5）代入式（）代入式（2 2）得到）得到 （6 6） 因为由式（因为由式（3 3） ， 式（式（6 6）可以表示成）

29、可以表示成 （7 7）如果我们定义：如果我们定义： （8 8） （9 9）其中：其中： 。1012(210)2(21202) 12(1)2(121)(21)(MxxuMMxxuMMxuxMWxfMWxfMWxfMuF）uxMuxMWW2211200111( )(2 )(21)2MMuxuuxMMMxxF ufx WWfxWMM10)2(1)(MxuxMWxfMuF偶10) 12(1)(MxuxMWxfMuF奇0,1,2,.,1uM由此，式（由此，式（7 7）变成）变成 （1010）又因为又因为 和和 ，由式由式(8),(9),(10)(8),(9),(10)可得结论：可得结论： （1111）

30、式式(8)-(8)-式式(11)(11)表示：表示：N N点变换可以通过原始表达点变换可以通过原始表达式分成式式分成式(10)(10)和式和式(11)(11)的两个部分加以计算。的两个部分加以计算。 前一半的计算要求计算式前一半的计算要求计算式(8)(8)、式、式(9)(9)给出的给出的两个两个 点变换，然后计算式点变换，然后计算式(10)(10)，求得对，求得对 的的 。另一半可以直接从式。另一半可以直接从式(11)(11)得到，用不着得到，用不着额外求变换的值。额外求变换的值。 21( )( )( )2uMF uFuWFu偶奇uMMuMWWuMMuMWW2221()( )( )2uMF u

31、MFuWFu偶奇)(uF2N) 12(,.,2 , 1 , 0Nu)(uF0,1,2,.,1uM3 3）逆）逆FFTFFT （付氏正变换形式）（付氏正变换形式） 102exp)()(NuNuxjuFxf 两边求共轭102exp)()(NuNuxjuFxfN两边除102exp)(1)(1NuNuxjuFNxfN3 34 4 离散图像变换的一般表达式离散图像变换的一般表达式1 1）代数表达式：）代数表达式： 和和 分别为正反变换核。分别为正反变换核。 特点：（特点：（1 1）不同的）不同的 和和 决定不同变换；决定不同变换； （2 2）如）如 及及 称为称为可分离可分离的。如付氏变换：的。如付氏变

32、换： 10101010),(),(),(),(),(),(NuNvNxNyvuyxhvuTyxfvuyxgyxfvuT),(vuyxg),(vuyxh),(vuyxg),(vuyxh),(),(),(21vyguxgvuyxg),(),(),(21vyhuxhvuyxh221211( , , , )( , )( , )vyuxjjNNg x y u vg x u gy veeNN(3)(3)如如 与与 , , 与与 函数形式上相同函数形式上相同-加法对称加法对称 2 2）矩阵表达式）矩阵表达式 设数字图像设数字图像 是实数方阵是实数方阵(NXN),(NXN),变换核变换核 和和 是可分离和加法

33、对称。图像变换的矩阵是可分离和加法对称。图像变换的矩阵表达式为表达式为 其中其中P P和和Q Q是变换矩阵是变换矩阵(NXN)(NXN)。 设设P P和和Q Q是满秩矩阵是满秩矩阵( (即满足条件即满足条件A A是方阵且是方阵且 ),),则一定是可逆矩阵，式则一定是可逆矩阵，式 分别用分别用 左乘左乘和和 右乘，得右乘，得 说明：数字图像能从它的反变换中完整恢复。说明：数字图像能从它的反变换中完整恢复。 1g2g1h2h),(yxf),(vuyxg),(vuyxhPfQF 0APfQF 1P1Q11FQPf两种表达形式的关系两种表达形式的关系( (等价关系等价关系) ) PfQF 1100(

34、, )( , ) ( , ) ( , )NNxyF u vP x u f x y Q y v11( , )( , )exp2P x ug x ujux NN21( , )( , )exp2Q x ugy vjvy NN二维可分离变换核二维可分离变换核( , ) ( , ) ( , , , )P x uQ y vg x y u v3.5 3.5 离散离散WalshWalsh变换及离散变换及离散HadamardHadamard变换变换3.5.1 3.5.1 一维一维WalshWalsh变换变换 设设 ， 的离散的离散WalshWalsh变换记作变换记作正变换核：正变换核： ； 反变换核：反变换核：

35、 ； 其中：其中： 是是z z的二进制表示的第的二进制表示的第k k位位, ,如如 ，则则 ， ， 。 nN2)(xf10)()(1) 1(1),(niubxbiniNuxg1010)()(1) 1()(1)(NxniubxbinixfNuW10)()(1) 1(),(niubxbiniuxh1010)()(1) 1()()(NuniubxbiniuWxf)(zbk6z 0)(0zb1)(1zb1)(2zb说明：说明：1 1）WalshWalsh变换正、反变换核是一样的，是变换正、反变换核是一样的，是+1+1或或-1-1的组合的组合 2 2）WalshWalsh变换本质上是将序列变换本质上是将

36、序列 各项值的符号按各项值的符号按一定规律改变，进行加减运算。一定规律改变，进行加减运算。 3 3）变换核矩阵表示是对称的，正交矩阵）变换核矩阵表示是对称的，正交矩阵 如如M=4M=4时时 P64P64各元素关于主对角线对称各元素关于主对角线对称, ,行与列正交行与列正交( )( )。 )(xfMITMGMGMGTMG1111111111111111G1TGG3 35 52 2 二维二维DWTDWT说明：说明：1 1）正、反变换核一样；）正、反变换核一样； 2 2）对称可分离（二维）对称可分离（二维-两次一维）；两次一维）； 3 3）FWTFWT类似类似FFTFFT，令，令 ； 4 4）矩阵表

37、示）矩阵表示 ； P65P65例题例题 5 5）二维）二维DWTDWT具有某种能量集中，而且原始数具有某种能量集中，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，可以压缩图像信息。于矩阵的边角上。因此，可以压缩图像信息。 1111111( )( )( )( )2000111( )( )( )( )0001( , )( , )( 1)( , )( , )( 1)iniiniiniininNNbx buby bvxyinNNbx buby bvuviW u vf x yNf x yW u v 1NWGfGN1W2GWGf 3 3

38、5 53 3 离散离散HadamardHadamard变换（变换（DHTDHT） 1 1DHTDHT的特点：的特点： 1 1）DHTDHT与与DWTDWT都是都是+1+1、-1-1正交函数系，区别正交函数系，区别在于正、反变换核的在于正、反变换核的行行和列的和列的次序不同次序不同； 2 2）DHTDHT具有具有递推关系递推关系，高阶矩阵可用二个，高阶矩阵可用二个低阶矩阵的直积得到。低阶矩阵的直积得到。 2 2一维一维DHT DHT 递推关系：递推关系：(H(H变换核变换核) , ,) , , , , ,10)()(10)()(1010) 1)()() 1)(1)(NuubxbNxubxbnii

39、iniiiuHxfxfNuH1111H222224HHHHH44448HHHHHNNNN2NHHHHH3 3二维二维DHT DHT 可分为二步一维的可分为二步一维的DHTDHT，矩阵表示为，矩阵表示为 (G(G为为H H变换核）变换核） GfGH21N101011( )( )( )( )20011( )( )( )( )001( , )( , )( 1)( , )( , )( 1)niiiiiniiiiiNNbx b uby b vxyNNbx b uby b vuvH u vf x yNf x yH u v G GfH3 36 6 离散余弦变换（离散余弦变换（DCTDCT） 一、一维一、一维

40、DCT DCT DCT DCT的核矩阵的核矩阵 k(k(行行, ,频域频域) )、n(n(列列, ,时域时域)=0,1,2,)=0,1,2,.,N-1.,N-1 其中其中 是一个正交矩阵，是一个正交矩阵， 但不是对称矩阵。而反变换矩阵根据正交性即为但不是对称矩阵。而反变换矩阵根据正交性即为 n n（行）、（行）、k k（列）（列）=0,1,2,=0,1,2,.,N-1.,N-1 注意：除了行、列序号互换外，形式上与正变换注意：除了行、列序号互换外，形式上与正变换完全一样。完全一样。 NNNknkcN2) 12(cos)(2C1,.,2 , 11021)(NkkkcCNNNknkcN2) 12(

41、cos)(2T1CC二、二维二、二维DCTDCT的定义与计算的定义与计算 数字图像数字图像 可看成一个可看成一个MXNMXN的矩阵，借助于的矩阵，借助于二维二维DCTDCT，可以将图像从空间域（即，可以将图像从空间域（即mnmn平面）变平面）变换到换到DCTDCT域（即域（即klkl平面）。二维平面）。二维DCTDCT为：为：102(21)( )( )( )cos0,1,2,.,12NnnkF kc kf nkNNN102(21)( )( )( )cos0,1,2,.,12Nknkf nc k F knNNN),(nmf110011002(21)(21)( , )( ) ( )( , )cos

42、cos2222(21)(21)( )( )( , )coscos1,2,.,1;1,2,.,122MNmnMNmnmknlF k lc k c lf mnMNMNnlmkc kc lf mnkMlNMNNM11001( , )( , ) 0;0MNmnF k lf mnklMN 二维二维DCTDCT实际上可分解为两个一维实际上可分解为两个一维DCTDCT。 二维反变换二维反变换 IDCTIDCT也是可分离的。也是可分离的。DCTDCT可从可从DFTDFT实数部分求得实数部分求得11002(21)(21)( , )( ) ( ) ( , )coscos220,1,2,.,1;0,1,2,.,1

43、1,2,.,-1; 1,2,.,-1MNklmknlf m nc k c l F k lMNMNmMnNkMlN1( , )( , ) 0;0f mnF k lklMN3 37 7 离散卡离散卡- -洛（洛（K-LK-L）变换）变换 离散离散K-LK-L变换是根据图像的统计特性进行的正交变换是根据图像的统计特性进行的正交变换，又称变换，又称HotellingHotelling变换或主元分析。变换或主元分析。 在图像集合在图像集合 中的每个中的每个M MN N维图像维图像 可可以用堆叠方式表达成以用堆叠方式表达成MNMN维向量维向量 其中其中 是集合中第是集合中第i i帧图像第帧图像第j j行元

44、素排成的列行元素排成的列向量。向量。),(nmfi),(nmfiif1Mi,i,1i,0iffff( ,0)( ,1)( ,1)iiifjfjfj Ni, jfji,f 向量的协方差矩阵定义为向量的协方差矩阵定义为其中其中 是是 的平均值向量，的平均值向量， 表示求统计表示求统计平均的运算。在平均的运算。在L L帧图像组成的集合中，帧图像组成的集合中， 上述平均值向量上述平均值向量 是是MNMN维的，而维的，而 阵是阵是MNMN阶方阶方阵。阵。 fTfffmfmfEC fEmffELiL11iffmTffTiiTfffmmffmfmfCLiLiLL1111fmfC设设 和和 ， ，是，是 的特

45、征向量及其相应的的特征向量及其相应的特征值，特征值，因此，因此， = = 对各实特征向量对各实特征向量 进行正交化处理后，就得到了进行正交化处理后，就得到了卡卡- -洛变换的变换矩阵洛变换的变换矩阵 ，其第，其第i i行元素由特征向行元素由特征向量量 构成，即构成，即 且且 显然，显然， 是一个是一个MNMN阶正交矩阵。阶正交矩阵。 iaiMNi,.,2 , 1fCMN.21fCiaiiaMNi,.,2 , 1iaATiaT1T2TMNaaAa10ijij Tiia aA离散离散K-LK-L变换可以表达为变换可以表达为 变换后变换后 的平均值向量的平均值向量 为为 而变换而变换 后的协方差矩阵

46、后的协方差矩阵 因此，因此， = = = )mA(fgfggm 1MN0AmfEA)mA(fEgEmffgggCTfTTffTTffTffgAACA)m)(fm(fAA)m)(fmA(fAmAfAmAfCEEETfgAACCT1T2f12MNTMNaaC aaaaT1T2f1f2fMNTMNaaC aC aC aa= = =最后得到最后得到 这表明，经这表明，经K-LK-L变换后，中的各个元素之间是变换后，中的各个元素之间是不不相关相关的；的； 中的第中的第i i个元素的方差，就是个元素的方差，就是 的第的第i i个特征值个特征值 。离散离散K-LK-L反变换式：反变换式： 12MNT1T21

47、2MNTMNaaaaaa12000000MNT1T212MNTMNaaaaaagCMN00000021ggfCifTmgAf3.3.* * 哈尔（哈尔（HAARHAAR）变换）变换n付氏变换的基函数间仅是频率不同；付氏变换的基函数间仅是频率不同；n哈尔变换是使用哈尔函数作为基函数的对称、可哈尔变换是使用哈尔函数作为基函数的对称、可分离变换。要求分离变换。要求N N为为2 2的整数次幂。的整数次幂。n哈尔函数在尺度（宽度）和位置上都不同。因此，哈尔函数在尺度（宽度）和位置上都不同。因此，哈尔变换具有哈尔变换具有尺度尺度和和位置位置双重属性。这种属性使双重属性。这种属性使得它不同于前述的其它变换，

48、是讨论小波变换的得它不同于前述的其它变换，是讨论小波变换的一个起点。一个起点。哈尔函数的定义：哈尔函数的定义：由于哈尔函数在尺度和位置两个方面都可变化，由于哈尔函数在尺度和位置两个方面都可变化，所以基函数的索引必须要有双重索引的机制。所以基函数的索引必须要有双重索引的机制。哈尔函数定义在哈尔函数定义在0,10,1区间，令整数区间，令整数由其它两个整数由其它两个整数p p和和q q唯一决定，即：唯一决定，即：注意：注意：k k不仅是不仅是p p和和q q的函数，而且的函数，而且p p和和q q也是也是k k的函数。的函数。对于任意对于任意k0k0，是使的，是使的2 2的最大幂，而的最大幂，而q-

49、1 q-1 是余数。是余数。12qkp10Nkkp2p2哈尔函数定义为：哈尔函数定义为：且且Nxh1)(0otherwiseqxqqxqNxhppppppk0222122212121)(22则可以产生一组基函数，这些基函数在尺度则可以产生一组基函数，这些基函数在尺度（宽度）和位置上都有所变化。索引（宽度）和位置上都有所变化。索引p p规定了规定了尺度，而尺度，而q q决定了平移量。决定了平移量。1,.,2 , 1 , 0NiforNix哈尔变换的哈尔变换的8 8* *8 8核矩阵核矩阵2200000000220000000022000000002222220000000022221111111

50、11111111181rH哈尔变换的基图像哈尔变换的基图像特点：特点：1 1）虽然基函数可以由单一的索引）虽然基函数可以由单一的索引k k来决定，但它来决定，但它们都由索引们都由索引p p和和q q规定的尺度规定的尺度/ /位置双重属性。位置双重属性。2 2）假设在信号中沿）假设在信号中沿x x轴的某一位置有一个特征轴的某一位置有一个特征（如一条边），则付氏变换可以按照平移理论（如一条边），则付氏变换可以按照平移理论将这个位置编码到相位谱中。尽管这个特征的将这个位置编码到相位谱中。尽管这个特征的位置可以唯一地被确定，并通过付氏变换完全位置可以唯一地被确定，并通过付氏变换完全恢复，但它在谱中并不

51、能很直观地显示出来。恢复，但它在谱中并不能很直观地显示出来。而哈尔变换能直接地反映线和边，这是由于它而哈尔变换能直接地反映线和边，这是由于它的基函数有类似的这些特征。的基函数有类似的这些特征。 我们知道，如果一个信号，或信号中的一我们知道，如果一个信号，或信号中的一个部分可以近似地匹配上某个基函数，则在变个部分可以近似地匹配上某个基函数，则在变换后，会产生一个对应那个基函数的较大的变换后，会产生一个对应那个基函数的较大的变换系数。由于基函数是正交的，则这个信号对换系数。由于基函数是正交的，则这个信号对应其它的基函数产生较小的系数。这样，哈尔应其它的基函数产生较小的系数。这样，哈尔变换可以给出一

52、些线和边的尺寸和位置信息。变换可以给出一些线和边的尺寸和位置信息。例：在例：在N=8N=8时的基图像的右下象限部分可以用来时的基图像的右下象限部分可以用来搜索图像中不同位置的小特征。搜索图像中不同位置的小特征。几种变换的特点和应用范围几种变换的特点和应用范围nDFT：具有快速算法，数字图像处理中最为常用。需要复数运算。可把整幅图像的信息很好地用于若干个系数来表达。nDCT：有快速算法，只要求实数运算。在高相关性图像的处理中，最接近最佳的KL变换，在实现编码和维纳滤波时有用。同DFT一样，可实现很好的信息压缩。n哈达玛变换：在图像处理算法的硬件实现时有用。在图像数据压缩、滤波、编码中有用。信息压

53、缩效果好。nHARR变换：非常快速的一种变换。在特征抽取、图像编码、图像分析中有用。信息压缩效果平平。nKL变换：在许多意义下是最佳的。无快速算法。在进行性能评价和寻找最佳性能时有用。对小规模的向量有用，如彩色多谱或其他特征向量。对一组图像集而言，具有均方差意义下最佳的信息压缩效果。3 38 8 小波变换（小波变换（Wavelet TransformWavelet Transform）3.8.1 3.8.1 概述概述 小波分析是上世纪小波分析是上世纪8080年代中后期逐渐发展真正年代中后期逐渐发展真正起来的一个数学分支，在信号处理、图像处理、模起来的一个数学分支，在信号处理、图像处理、模式识别

54、等众多领域得到应用，被认为是近年来在工式识别等众多领域得到应用，被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。具及方法上的重大突破。一、一、 传统变换方法的局限性传统变换方法的局限性 1 1） 对瞬态和局部信号分量的分析性能不对瞬态和局部信号分量的分析性能不佳：以付氏变换为例，其正交基函数是正弦信佳：以付氏变换为例，其正交基函数是正弦信号（等幅震荡；两个方向上无限延伸），而瞬号（等幅震荡；两个方向上无限延伸），而瞬态信号只在很短的间隔上是非零的，同样，图态信号只在很短的间隔上是非零的，同样，图像中的许多重要特征（如边缘）在空间位置上像中的许多重要特征（如边缘）在空间位置上都是高度局部性的。因而这些瞬

55、态或局部信号都是高度局部性的。因而这些瞬态或局部信号和付氏的任何基函数都毫无相似之处，不能由和付氏的任何基函数都毫无相似之处，不能由其变换系数紧致地表示。其变换系数紧致地表示。2 2）时）时-频和空频和空-频局部化：有时需要将信号在频局部化：有时需要将信号在时域和频域中的特性或图像在空域和频域中的特时域和频域中的特性或图像在空域和频域中的特性结合起来进行分析。如要了解图像的哪一部分性结合起来进行分析。如要了解图像的哪一部分含有高频分量，或者信号的哪一段的频率分量分含有高频分量，或者信号的哪一段的频率分量分布情况等，传统变换方法无法解决。布情况等，传统变换方法无法解决。二、二、 关于小波变换关于

56、小波变换从以前的讨论可知，不管是连续的或者离散从以前的讨论可知，不管是连续的或者离散的变换，变换中的每个系数都是取待变换的函数的变换，变换中的每个系数都是取待变换的函数和相应的基函数的内积的形式，这就使函数中所和相应的基函数的内积的形式，这就使函数中所含有的和基函数相同的分量有较大的系数，因此，含有的和基函数相同的分量有较大的系数，因此，从某种意义上说，每个系数的大小，反映出待变从某种意义上说，每个系数的大小，反映出待变换的函数和相应的基函数的相似程度。同样，在换的函数和相应的基函数的相似程度。同样，在进行反变换时，则是由经过变换系数加权的基函进行反变换时，则是由经过变换系数加权的基函数相加恢

57、复出原来的信号或图像。这说明：数相加恢复出原来的信号或图像。这说明：采用采用和信号或图像中可能所含的分量相似的基函数进和信号或图像中可能所含的分量相似的基函数进行变换，具有潜在的价值。行变换，具有潜在的价值。小波变换具有空间小波变换具有空间频率局部性、方向性、频率局部性、方向性、多分辨率性等优点，并与视觉特性接近，因而对多分辨率性等优点，并与视觉特性接近，因而对图像处理，尤其是图像变换编码十分有用。图像处理，尤其是图像变换编码十分有用。3 38 82 2 连续小波变换（积分小波变换）连续小波变换（积分小波变换）定义：给定实函数，若其付氏变换定义：给定实函数，若其付氏变换满足以下允许条件满足以下

58、允许条件 则称为基本小波。则称为基本小波。 )(x)(dC2)()(x注意，由于是在积分式的分母上，所注意，由于是在积分式的分母上，所以必须有以必须有 同时也可得到同时也可得到 所以上述基本小波的幅频特性和带通滤波器的所以上述基本小波的幅频特性和带通滤波器的转移函数非常相似。实际上，任何随着频率的增转移函数非常相似。实际上，任何随着频率的增加衰减足够快的带通滤波器，其具有零均值的冲加衰减足够快的带通滤波器，其具有零均值的冲激响应都可作为基本小波使用。激响应都可作为基本小波使用。 0)(0)0(dxx0)(对进行平移和伸缩，可得到一个小波基函对进行平移和伸缩，可得到一个小波基函数集合数集合式中，

59、为实数，且。变量反映了式中，为实数，且。变量反映了一个具体基函数的伸缩尺度（宽度）；表示其一个具体基函数的伸缩尺度（宽度）；表示其沿轴平移的位置。通常基本小波以原点为沿轴平移的位置。通常基本小波以原点为中心，因此的中心位于。中心，因此的中心位于。函数以小波为基的连续小波变换：函数以小波为基的连续小波变换：小波变换的系数以被变换的函数和每一个基小波变换的系数以被变换的函数和每一个基函数的内积形式给出。函数的内积形式给出。 )(x)(,xba)(1)(,abxaxbaba,0aabx)(x)(,xbabx )(xf)(xdxxxffbaWbabaf)()(,),(,连续小波逆变换为连续小波逆变换为

60、 二维连续小波变换可定义为：二维连续小波变换可定义为：式中式中 为二维基本小波。为二维基本小波。二维连续小波反变换为二维连续小波反变换为 0,2)(),(11)(dbdaxbaWaCxfbafdxdyyxyxffbbaWyxyxbbabbayxf),(),(,),(,),(1),(,abyabxayxyxbbayx 0,3),(),(11),(dadbdbyxbbaWaCyxfyxbbayxfyx3 38 83 3 二进小波变换二进小波变换 一个基本小波通过伸缩和平移构成一组基函一个基本小波通过伸缩和平移构成一组基函数。二进小波约束条件：通过对基本小波数。二进小波约束条件：通过对基本小波 的的