圆的相似综合题

1、相似与圆综合题目练习 2. (2013?湛江)如图，已知 AB 是O O 的直径，P 为OO 外一点，且 OP/ BC, / P=Z BAC . (1) 求证：PA 为O O 的切线； (2) 若 OB=5 , OP=，求 AC 的长. 3. (2013?营口)如图，点 C 是以 AB 为直径的O O 上的一点，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为点 D . (1) 求证：AC 平分/ BAD ; (2) 若 CD=1 , AC= . | ，求OO 的半径长. 4. ( 2013?西宁)如图，O O是厶ABC 的外接圆，BC 为O O 直径，作/CAD= / B，且点 D 在 BC 的延长

2、线上，CE 丄 AD 于点 E. (1) 求证：AD 是O O 的切线; (2) 若O O 的半径为 8, CE=2，求 CD 的长. 6. (2013?宁夏)在 RtA ABC 中，/ ACB=90 D 是 AB 边上的一点，以 BD 为直径作 O O 交 AC 于点 E,连结 DE 并延长，与BC 的延长线交于点 F.且 BD=BF . (1) 求证：AC 与O O 相切. (2) 若 BC=6 , AB=12，求 O O 的面积. 7. (2013?黄冈)如图，AB 为OO 的直径，C 为O O 上一点，AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC 平 分 / DAB . (1

3、) 求证：DC 为O O 的切线； (2) 若O O 的半径为 3, AD=4，求 AC 的长. 9. (2013?朝阳)如图，直线 AB 与O O 相切于点 A，直径 DC 的延长线交 AB 于点 B , AB=8 , OB=10 (1) 求O O 的半径. (2) 点 E 在O O 上，连接 AE , AC , EC,并且 AE=AC ,判断直线 EC 与 AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论. (3) 求弦 EC 的长.11. (2013?巴中)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE 丄 BC,垂足为 E,连接 DE , F 为线段 DE 上一点, 且 / AFE= /

4、B (1) 求证： ADF DEC ; (2) 若 AB=8 , AD=6 . ;, AF=4 -二求 AE 的长. 12. (2012?岳阳)如图所示，在 O O 中，=，弦 AB 与弦 AC 交于点 A，弦 CD 与 AB 交于点 F,连接 BC. (1) 求证：AC2=AB ?AF ； (2) 若O O 的半径长为 2cm, / B=60 求图中阴影部分面积. 14. (2012?陕西)如图，正三角形 ABC 的边长为 3+. :. (1) 如图，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上，在正三角形 ABC 及其内部，以点 A 为 位似中心，作正方形 E

5、FPN 的位似正方形 E F P N 且使正方形 E F P N 的面积最大(不要求写作法)； (2) 求(1)中作出的正方形 E FP N 的边长； (3) 如图，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在 边 CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由. 图 图 15. (2012?河南)类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补 充完整. 原题：如图 1，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交

6、射线 CD 于点 G.若 型=3，求里的值. EF CG 繆的值是 (2)类比延伸 如图 2,在原题的条件下, 若塑=m (m0),则 EF -的值是 (用含有 m 的代数式表示)，试写出解答 (1) 在图 尝试探究 1 中，过点 E作 EH / AB 交 BG 于点 H, 则 AB 和 EH 的数量关系是 ,CG 和 EH 的数量关系是 G 过程. (3) 拓展迁移 DC / AB，点 E 是 BC 的延长线上的一点， AE 和 BD 相交于点 F. 杠!： =a,上=b, (a0, CD BE b 0) ，则型的值是 (用含 a、b 的代数式表示) EF如图 3,梯形 ABCD 中, 初中

7、数学组卷 一.解答题(共 15 小题) 2. (2013?湛江)如图，已知 AB 是O O 的直径，P 为O O 外一点，且 (1) 求证：PA 为O O 的切线； 考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质. 分析： (1)欲证明 PA 为O O 的切线，只需证明 OA丄 AP ; 2)通过相似三角形 ABC s PAO 的对应边成比例来求线段 解答： (1)证明：/ AB 是O O 的直径， / ACB=90 / BAC+ / B=90 又/ OP/ BC , / AOP= / B , / BAC+ / AOP=90 / / P=Z BAC . / P+Z AOP=90 由三角形内

8、角和定理知 Z PAO=90 即 OA 丄 AP. 又/ OA 是的O O 的半径， PA 为O O 的切线; （2）解：由（1）知，Z PAO=90 / OB=5 , OA=OB=5 . 又/ OP, 3 在直角 APO 中，根据勾股定理知 PA=二 I , 由（1）知，Z ACB= Z PAO=90 / Z BAC= Z P, ABC POA , AB AC P0= PA 10 AC 25= 2 0 3 3 (2) 若 OB=5 , OP=，求 AC 的长. OP / BC, Z P=Z BAC . AC 的长度. 解得 AC=8 .即 AC 的长度为 8. 点评：本题考查的知识点有切线的

9、判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等, 进而得到两个三角形相似，是解答( 2)题的关键. 3. (2013?营口)如图，点 C 是以 AB 为直径的O O 上的一点，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为点 D . (1) 求证：AC 平分/ BAD ; (2) 若 CD=1 , AC= . | i,求OO 的半径长. 考点： 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质. 专题： 压轴题. 分析： (1) 连接 OC.先由 OA OC,可得/ ACO / CAO,再由切线的性质得出 OC 丄 CD，根据垂直于冋一直线 的两直线平行得到 AD / CO,由平行

10、线的性质得 / DAC= / ACO，等量代换后可得 / DAC= / CAO ,即卩 AC 平分/ BAD ; (2) 解法一：如图 2，过点 O 作 OE 丄 AC 于 E.先在Rt ADC 中，由勾股定理求出 AD=3，由垂径定 理求出 AE=丄!卫，再根据两角对应相等的两三角形相似证明 AEO ADC，由相似三角形对应边成比例 2 | 得到塑旦，求出 AO=-!，即OO 的半径为上；解法二：如图 2，连接 BC .先在 Rt ADC 中，由勾股 AD AC 3 g 定理求出 AD=3，再根据两角对应相等的两三角形相似证明 ABC ACD，由相似三角形对应边成比例 得到塑型，求出AB=2

11、2，则O O 的半径为上. AD AC 3 3 解答： (1)证明：连接 OC . / OA=OC , / ACO= / CAO . / CD 切 O O 于 C, OCXCD, 又/ AD 丄 CD , AD / CO , / DAC= / ACO , / DAC= / CAO , 即 AC 平分/ BAD ; (2)解法一：如图 2，过点 O 作 OE 丄 AC 于 E.在 Rt ADC 中，AD= VAC2-DC2=7 -K, / 0E 丄 AC , 2 | 2 / / CAO= / DAC , / AEO= / ADC=90 AEO s ADC , Vio 二一 J 即： 肓， i，

12、A0=5，即O O的半径为卫. 国 3 解法二：如图 2，连接 BC . 在 Rt ADC 中，2=寸人严口”=4（怖）龙_注3. / AB 是 O O 直径， / ACB=90 / / CAB= / DAC , / ACB= / ADC=90 ABC ACD , 二 i-L m 即 _ , 3 710 vio AE=AC= 图？ 即0 0的半径为二 点评：本题考查了等腰三角形、平行线的性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质此 题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用. 4. ( 2013?西宁)如图，O O 是厶 ABC 的外接圆，BC 为O O 直径，作/

13、CAD= / B，且点 D 在 BC 的延长线上，CE 丄 AD 于点 E. (1)求证：AD 是O O 的切线； 考点： 切线的判定；解分式方程；相似三角形的判定与性质. 分析： (1) 首先连接 OA,由 BC 为 O O 直径，CE 丄 AD , / CAD= / B ,易求得 / CAD+ / OAC=90 即/OAD=90 则可证得 AD 是O O 的切线； (2) 易证得 CED OAD， 然后设 CD-x，则 OD=x+8 ,由相似三角形的对应边成比例， 可得方程： 解答： (1)证明：连接 OA , / BC 为O O 的直径， / BAC-90 / B+ / ACB-90 /

14、 OA-OC , / OAC- / OCA , / / CAD- / B , / CAD+ / OAC-90 即 / OAD-90 OA 丄 AD , 点 A 在圆上， AD 是O O 的切线； (2)解：/ CE 丄 AD , / CED= / OAD=90 CE / OA , CED OAD , ,CE=2, 设 CD=x，贝 U 0D=x+8 , 即, 解得 x= 经检验 x=二是原分式方程的解, 3 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握辅助 线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用. 5. (2013?绍兴)在 ABC 中，/ C

15、AB=90 AD 丄 BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G,点 F 在 BC 上. (1) 如图 1, AC : AB=1 : 2, EF 丄 CB,求证：EF=CD . (2) 如图 2, AC : AB=1 : 二 EF 丄 CE,求 EF: EG 的值. 圍 1 2 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质. 专题：压轴题. 分析：(1)根据同角的余角相等得出 / CAD= / B，根据 AC : AB=1 : 2 及点 E 为 AB 的中点，得出 AC=BE，再 利用 AAS 证明 ACD BEF，即可得出 EF=CD ; (2)作 EH 丄

16、 AD 于 H, EQ 丄 BC 于 Q,先证明四边形 EQDH 是矩形，得出 / QEH=90 则/ FEQ= / GEH , 再由两角对应相等的两三角形相似证明 EFQ EGH，得出 EF: EG=EQ : EH，然后在 BEQ中，根据 1 Jg 正弦函数的定义得出 EQ=BE，在 AEH 中，根据余弦函数的定义得出 EH= _ AE，又 BE=AE，进而求出 2 2 EF : EG 的值. 解答：(1)证明：如图 1, 在厶 ABC 中，/ Z CAB=90 AD 丄 BC 于点 D , Z CAD= Z B=90 - Z ACB . / AC : AB=1 : 2, AB=2AC ,

17、点 E 为 AB 的中点， AB=2BE , AC=BE .点评: 所以 CD=li. 在厶 ACD 与厶 BEF 中， fZCAD=ZB ZADC=ZBFE=90 IAOBE ACD BEF , CD=EF，即 EF=CD ; (2)解：如图 2，作 EH 丄 AD 于 H , EQ 丄 BC 于 Q, / EH 丄 AD , EQ 丄 BC, AD 丄 BC , 四边形 EQDH 是矩形， / QEH=90 / FEQ= / GEH=90 - / QEG , 又/ / EQF= / EHG=90 EFQEGH , EF: EG=EQ: EH. / AC : AB=1 :小，/ CAB=90

18、 / B=30 在厶 BEQ 中，/ / BQE=90 sin / B= EQ4BE . AS 2 EH= E 点 E 为 AB 的中点， BE=AE , EF： EG=EQ : EHTBE：亨心航 Hl 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综 合性较强，有一定难度解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形 EQDH 是矩形. 6. (2013?宁夏)在 RtA ABC 中，/ ACB=90 D 是 AB 边上的一点，以 BD 为直径作 O O 交 AC 于点 E,连结 DE 并延长，与在厶 AEH 中，/ / AHE=90

19、 / AEH= / B=30 C BC 的延长线交于点 F.且 BD=BF . (1) 求证：AC 与O O 相切. (2) 若 BC=6 , AB=12，求 O O 的面积. 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质. 分析： (1)连接 OE，求出/ ODE= / F= / DEO，推出 OE/ BC ,得出 OE 丄 AC ,根据切线的判定推出即可; (2)证厶 AEO ACB，得出关于 r 的方程，求出 r 即可. / OD=OE , / ODE= / OED , / BD=BF , / ODE= / F, / OED= / F, OE / BF , / AEO= / ACB=90 A

20、C 与O O 相切； (2)解：由(1)知/ AEO= / ACB，又/ A= / A , AOE ABC , ， f r 12- r 设O O 的半径为 r, 6 12 解得：r=4, O O 的面积n 42=16 兀 点评：本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主 要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想. 7. (2013?黄冈)如图，AB 为OO 的直径，C 为O O 上一点，AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC 平 分 / DAB . (1) 求证：DC 为O O 的切线； (2) 若O O 的半径为 3, AD=

21、4，求 AC 的长. 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质. 分析：(1)连接 0C,由 OA=OC 可以得到/ OAC= / OCA，然后利用角平分线的性质可以证明 / DAC= / OCA , 接着利用平行线的判定即可得到 OC/ AD，然后就得到 0C 丄 CD，由此即可证明直线 CD 与OO 相切于 C 占； 八、 2)连接 BC,根据圆周角定理的推理得到 / ACB=90 又/ DAC= / OAC ,由此可以得到 ADC ACB , 然后利用相似三角形的性质即可解决问题. 解答：(1)证明：连接 0C OA=OC / OAC= / OCA / AC 平分 / DAB / DAC

22、= / OAC / DAC= / OCA OC / AD / AD 丄 CD OC 丄 CD 直线 CD 与O O 相切于点 C; (2)解：连接 BC,则/ ACB=90 / / DAC= / OAC , / ADC= / ACB=90 ADC ACB , 二二 AC2=AD ?AB , / O O 的半径为 3, AD=4 , AB=6 , AC=2 . . 点评：此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件 证明三角形相似即可解决问题. 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， (1 )求出三角形全等的条件 /仁/

23、 E 是 解题的关键，(2) (i)根据两次三角形相似求出 AP=BF 是解题的关键，(ii)判断出路径为三角形的中位线 是解题的关键. 9. (2013?朝阳)如图，直线 AB 与O O 相切于点 A，直径 DC 的延长线交 AB 于点 B , AB=8 , OB=10 (1) 求O O 的半径. (2) 点 E 在O O 上，连接 AE , AC, EC,并且 AE=AC ,判断直线 EC 与 AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论. 考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质. 分析：(1)连接 OA，交 EC 于 F，根据切线性质得出 / OAB=90 根据勾股定理求出即可；

24、(2) 根据 AE=AC 推出弧 AE=弧 AC,根据垂径定理求出 OA 丄 EC,根据平行线判定推出即可; (3) 证厶 OFCOAB，求出 FC,根据垂径定理得出 EC=2FC ,代入求出即可. 解答： (1)解：连接 AO ,交 EC 于 F, / AB 切 O O 于 A , OA 丄 AB , / OAB=90 在 Rt OAB 中，由勾股定理得： OA= | | 二=-=6, 答：OO 的半径是 6. (2) 直线 EC 与 AB 的位置关系是 EC / AB . 证明：/ AE=AC , 弧 AE=弧 AC , / OA 过 O, OA 丄 EC, / OA 丄 AB , EC

25、/ AB . (3) 解：/ EC / AB , OFCOAB , FC 0C -= 曲 6 8 10 FC= 24 / OA 丄 EC , OA 过 O , 点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线性质，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学 生综合运用性质进行推理的能力. 10. (2013?百色)如图，在等腰梯形 ABCD 中，DC / AB , E 是 DC 延长线上的点，连接 AE，交 BC 于点 F. (1) 求证： ABF ECF; 考点：相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质. 分析：(1)由 两直线平行，内错角相等 ”推知/ B= / ECF, / BAF= /

26、 E.则由 两角法”证得结论； (2) 利用(1)中的相似三角形的对应边成比例得到 口丄，即丄=卫所以CE=_J (cm). CE CT CE 2 3 解答： (1)证明：/ DC / AB , / B= / ECF, / BAF= / E, ABF ECF . (2)解：在等腰梯形 ABCD 中，AD=BC , AD=5cm , AB=8cm , CF=2cm , BF=3cm . / 由(1)知， ABF ECF , 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质等腰梯形的两腰相等. 11. (2013?巴中)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE 丄 BC,垂足为 E,连

27、接 DE , F 为线段 DE 上一点, 且 / AFE= / B 考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质. 专题： 压轴题. 分析： (1) 利用对应两角相等，证明两个三角形相似 ADF DEC ； (2) 利用 ADF DEC，可以求出线段 DE 的长度；然后在在 Rt ADE 中，利用勾股定理求出线段 AE 的长度. BF C 8 .3 CE 点评: 體，求 AE 的长. 求 CE 的长. ，即 cm). (1)求证： ADF DEC ; 解答： (1)证明：/ ?ABCD , AB / CD, AD / BC , / C+Z B=180 / ADF= / DEC .

28、 / Z AFD+ Z AFE=180 Z AFE= Z B, Z AFD= Z C. 在厶 ADF 与厶 DEC 中， fZAFD=ZC rtZADF=ZDEC AC=2AE=2 cm , ADF sDEC . (2)解：/ ?ABCD , CD=AB=8 . 由(1)知 ADF s DEC , 鏈 DE=亞 g_12 CD，AF 血 在 Rt ADE 中，由勾股定理得： AE珂曲-血I -翻) 5 点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点题目难度不大，注 意仔细分析题意，认真计算，避免出错. O O 中，=，弦 AB 与弦 AC 交于点 A，弦 CD

29、 与 AB 交于点 F,连接 BC. (1) 求证：AC2=AB ?AF ； (2) 若O O 的半径长为 2cm, / B=60 求图中阴影部分面积. 考点： 扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质. 专题： 几何综合题. 分析： (1) 由 r, L 呻,利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等 的两三角形相似可得出 ACF 与厶 ABC 相似，根据相似得比例可得证； (2) 连接 OA , OC ,利用同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，由/ B 为 60求出/ AOC 为 120 过 O 作 OE 垂直于 AC,

30、垂足为点 E ,由 OA=OC ,利用三线合一得到 OE 为角平分线，可得出 / AOE 为 60在 Rt AOE中，由 OA 及 cos60的值，利用锐角三角函数定义求出 OE 的长，在 Rt AOE 中，利用勾股定理 求出 AE 的长，进而求出 AC 的长，由扇形 AOC 的面积- AOC 的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形 的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积. 解答： (1)证明：-匸 / ACD= / ABC , 又 / BAC= / CAF , ACF ABC , 斗十，即 AC2=AB?AF ； (2)解：连接 OA , OC,过 O 作 OE 丄 AC,垂足为点

31、 E, 如图所示： / / ABC=60 / AOC=120 , 又 OA=OC , / AOE= / COE=XI20 60 2 在 Rt AOE 中，OA=2cm , OE=OAcos60 =1cm, cm, 12. (2012?岳阳)如图所示，在 2 则 S 阴影=S 扇形 OAC - SAOC=1 戈。兀 2 2 - 3xi=73) cm2. 350 2 3 点评：此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等 腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键. 14. (2012?陕西)如图，正三角形 AB

32、C 的边长为 3+. :. (1) 如图，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上，在正三角形 ABC 及其内部，以点 A 为 位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 EFPN,且使正方形 EFPN 的面积最大(不要求写作法)； (2) 求(1)中作出的正方形 E F P N 的边长； (3) 如图，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在边 AB 上，点 P、N 分别在 边 CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由. 考点：位似变换；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质. 专题：几何综

33、合题；压轴题. 分析：(1)利用位似图形的性质，作出正方形 EFPN 的位似正方形 E F PN ，如答图所示； (2) 根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式 E F+AE+BF =AB，列方程求得 正方形 E F P N 的边长； (3) 设正方形DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n (m 务),求得面积和的表达式为： S 二二(m- n) 2 2 2，可见 S 的大小只与 m、n的差有关： 当 m=n时，S 取得最小值； 当 m 最大而 n最小时，S 取得最大值.m 最大 n最小的情形见第(1) ( 2)问. 解答：解：(1)如图，正方形 E F P N 即为所求. (2)设正方形 E F P N 的边长为 x. ABC 为正三角形, AE =BF = _ x. x=，