第十四章十五章排列与组合,概率、统计初步1009

1、两个基本原理v 一、分类计数原理v 二、分步计数原理做做一件事一件事，完成它有，完成它有n类方法，第一类有类方法，第一类有 种不同的方法，第二种不同的方法，第二类类有有 种不同的种不同的办法办法，第，第n类有类有 种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成这件事共有不同的方法的种数为：这件事共有不同的方法的种数为： 12.nNmmm1m2mnm做做一件事一件事，完成它需要分成，完成它需要分成n个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有 种不同的方种不同的方法，做第二步有法，做第二步有 种不同的种不同的办法办法，第，第n步有步有 种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有不同的方法的种数为：那么

2、完成这件事共有不同的方法的种数为： 1m2mnm12nNm mm排 列从从 个不同的元素中个不同的元素中, ,任取任取 个个, ,按按照一定的顺序排成一列照一定的顺序排成一列, ,称为从称为从 个不同的元素中任意个不同的元素中任意取出取出 个元素的一个排列。个元素的一个排列。n,m m nNmn且nm从从 个不同的元素取出个不同的元素取出 个元素的个元素的所有排列的个数，称为从所有排列的个数，称为从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的排列数，用符号的排列数，用符号 表示（或记为表示（或记为 ）n,m m nNmn且nmmnPmnA 12 .1mnPn nnnm连乘形式阶乘形式全排

3、列数公式!mnnPnm!nnPn0! 1思 考从从 四个字母中四个字母中, ,四个字母都参与排列的排列数为四个字母都参与排列的排列数为多多少种？少种？, , ,a b c dabcdbcdacdabdabccd bd bc cd a d acbd a d abbc ac ab 列举列举如下如下：abcdbacdcabd dabcabdcbadccadbdacbacbdbcadcbaddbacacdbbcdacbdadbcaadbcbdaccdabdcabadcbbdcacdbadcba 排列数是排列数是24，排列的过程可用以下的步骤完成，排列的过程可用以下的步骤完成: :第一步，从第一步，从

4、中任选一个排在最前面，共有中任选一个排在最前面，共有4种不同的选法；种不同的选法；第二步，从第一步选剩的第二步，从第一步选剩的3个字母中任选一个排在第二位，共有个字母中任选一个排在第二位，共有3种种不同的选法；不同的选法；第三步，从第一步、第二步选剩的第三步，从第一步、第二步选剩的2个字母中任选一个排在第三位，个字母中任选一个排在第三位，共有共有2种不同的选法；种不同的选法；第四步，经过第一步、第二步、第三步的选排，剩下的字母只有一第四步，经过第一步、第二步、第三步的选排，剩下的字母只有一个，共有个，共有1种选法。种选法。根据分步计数原理，排列数为根据分步计数原理，排列数为, , ,a b c

5、 d12344 3 2 1 24mnPN m m m m 在数字在数字0, ,1, ,2, ,3中中, ,可以组成多少个没有重复的三位数可以组成多少个没有重复的三位数? ?1233 3 218Nmmm 排在第一位的可以是排在第一位的可以是1,2,3中的任一个数字中的任一个数字,因此第一因此第一步骤有三种选择步骤有三种选择; 排在第二位的可以是排在第二位的可以是0和和1,2,3中除已占中除已占据第一位的数字外的任何一个数字据第一位的数字外的任何一个数字,因此第二步骤有三种因此第二步骤有三种选择选择; 排在末位的可以是排在末位的可以是0和和1,2,3中除已占据第一、二位中除已占据第一、二位的数字外

6、的任何一个数字的数字外的任何一个数字,因此第三步骤有二种选择。根因此第三步骤有二种选择。根据分步计数原理，得数字据分步计数原理，得数字0,1,2,3中中,可以组成没有重复的可以组成没有重复的三位数排列数为三位数排列数为：解一解一 按分步计数法确定排列数按分步计数法确定排列数课 堂 练 习在数字在数字0, ,1, ,2, ,3中中, ,可以组成多少个没有重复的三位数可以组成多少个没有重复的三位数? ?解二解二 按分类计数法确定排列数按分类计数法确定排列数第一类：第一类：0不参与首位排列，不参与首位排列，1,2,3三个数字排在百位、十位、三个数字排在百位、十位、个位的排列数是个位的排列数是第二类：

7、0排在十位，1,2,3三个数字中任选二个数字分别排在首位、个位的排列数是第二类：0排在个位，1,2,3三个数字中任选二个数字分别排在首位、十位的排列数是根据分类计数原理，得数字0,1,2,3中,可以组成没有重复的三位数排列数为：33P23P23P3223333 2 13 23 218PPP 课 堂 练 习组 合 从从 个不同的元素中个不同的元素中, ,任取任取 个元个元素并成一组素并成一组, ,称为从称为从 个不同的元素中任意取出个不同的元素中任意取出 个元个元素的一个组合。素的一个组合。n,m m nNmn且nm从从 个不同的元素取出个不同的元素取出 个元素的个元素的所有组合的个数，称为从所

8、有组合的个数，称为从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数，用符号的组合数，用符号 表示表示n,m m nNmn且nmmnC 1 .1!mmnnmmn nnmPCPm!mnnCm nm01nC 思 考从从 四个字母中四个字母中, ,任取两任取两个字母个字母进行组合进行组合的的组合组合数为数为多少种？多少种？, , ,a b c d从从 四个字母中四个字母中,任取二任取二个字母进行组合的组合数为如下个字母进行组合的组合数为如下：a b c db c dc d , , ,a b c d,ab,ac,ad,bc,bd cd24C2422PP4 32 16性 质排 列组 合与顺序无关

9、与顺序有关区 别11mmnnPnPmn mnnCC11mmnnPnmP11mmmnnnCCC排列与组合的性质及其比较课 堂 练 习在在20件产品中，有件产品中，有2件次品，件次品，其余其余是是合格合格品，品，从中任取从中任取3件进行质量检验，问：件进行质量检验，问：(1)3件都是合格品，有件都是合格品，有多少种多少种取法取法? (2)3件中件中恰恰有一件次品有一件次品，有多少种取法，有多少种取法?(1) 3件件都是合格品的取法就是从都是合格品的取法就是从18件正品中任取件正品中任取3 3件，件，故共有故共有31818 17 168163 2 1C (2) 先先从从2件次品中取件次品中取出出一件

10、次品有一件次品有 种取法，再从种取法，再从18件合格品中任取件合格品中任取2件的取法有件的取法有 种。种。 由分布计数原理由分布计数原理得恰有一件是次品的取法共有得恰有一件是次品的取法共有218C1221818 1723062 1CC12C（种种）（种种） 一、随机事件及其概率n1. 随机事件、必然事件、不可能事件n2. 随机事件的概率在一定条件下可能发生在一定条件下可能发生,也可能不发生的的事件叫做随机事件；在一也可能不发生的的事件叫做随机事件；在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的定条件下必然发生的事件叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件事件称

11、为不可能事件。例如：抛下一枚硬币，正面朝上。0.aa 当 为实数时，在在大量重复进行同一次试验时，事件大量重复进行同一次试验时，事件A A发生的频率发生的频率 （其中，（其中，n n为试验的次数，为试验的次数，m m为事件为事件A A发生的次数）总接近于某个常数，在它发生的次数）总接近于某个常数，在它附近摆动，则称这个常数是事件附近摆动，则称这个常数是事件A A的概率，记作的概率，记作P(A),P(A),并且并且 此时必然事件此时必然事件A A的概率是的概率是1 1，不可能事件的概率是，不可能事件的概率是0 0。mn0(A)1,P频率：在确定的条件下，在频率：在确定的条件下，在n次试验中，如果

12、事件次试验中，如果事件A发生了发生了m次，我们次，我们把把 叫做事件叫做事件A发生的频率。发生的频率。mn如果把骰子落地时向上的面是如果把骰子落地时向上的面是1这一事件叫做这一事件叫做A，则在一次抛掷中，则在一次抛掷中，A的概率是的概率是二、等可能事件及其概率v 基本事件v 每个基本事件的概率一次试验中，可能出现的每一个结果称为一个基本事件。如果一次试验中，由n个基本事件组成，且所有基本事件出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率均为 。1n一般地，如果一次试验中共有n种可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率P(A)是 ，即 mn.mPAn如抛掷一个骰子，它落地时向上的

13、面可能的情形是如抛掷一个骰子，它落地时向上的面可能的情形是1，2，3，4，5，6中之一，那么，骰子落地时向上的面是中之一，那么，骰子落地时向上的面是1、是、是2、是、是3、是、是4、是是5、是、是6这些事件可看作是等可能事件。这些事件可看作是等可能事件。1( )6P A 如果把骰子落地时向上的面是如果把骰子落地时向上的面是2的整数倍数这一事件叫做的整数倍数这一事件叫做A，则在一次抛掷中，则在一次抛掷中，A的概率是的概率是31( )62P A 课堂练习一暗箱中有大小相等的一暗箱中有大小相等的8个白球和个白球和2个黑球，每次摸出个黑球，每次摸出2个个球，从中摸出二个黑球的概率是多少？球，从中摸出二

14、个黑球的概率是多少？解解 每次从暗箱中每次从暗箱中2个球，共有个球，共有 种摸法；每次摸出二个黑球，种摸法；每次摸出二个黑球，共有共有 种摸法。把每次摸球及其结果都看作是一事件，则它种摸法。把每次摸球及其结果都看作是一事件，则它们是等可能事件。把摸出黑球看用是事件们是等可能事件。把摸出黑球看用是事件A A，A A的概率是的概率是210C22C2221011( )10 9452 1CP AC 三、互斥事件及其概率n1. 互斥事件n3.对立事件及其概率 不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件。不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件。设事件A、B互斥，把A、B中有一个发生的事件记为A+B，则有如果互

15、斥事件如果互斥事件A、B中必有一个发生，那么就称中必有一个发生，那么就称A、B为对立事件。为对立事件。事件事件A的对立事件为的对立事件为 ，n2.互斥事件的概率加法公式()( )( )P ABP AP B如果 彼此互斥，那么事件 发生（即 中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即12nAAA、 、.、12nA AA+.+12nAAA、 、.、1211.nnP A AAP AP AP A+.+A( )1( )P AP A 如抛掷硬币如抛掷硬币,正面向上和正面向上和背面向上是互斥事件背面向上是互斥事件。课堂练习在在20件产品中，有件产品中，有15件是一级品，件是一级品，5件是二级

16、品件是二级品。从中任抽从中任抽三件，求其中至少有一件为二级品的概率三件，求其中至少有一件为二级品的概率。 设三件全是一级品为事件设三件全是一级品为事件A，三件中至少有一件为二级品为事三件中至少有一件为二级品为事件件A的对立事件的对立事件A事件事件A的概率是的概率是:31532015 14 1391( )20 19 18228CP AC事件事件A的对立事件的对立事件 的概率是的概率是:A91137( )1( )1228228P AP A 3211255155153205 4 3/6 5 4 15/2 5 15 14/2 137( )20 19 18/6228CC CC CP AC 四、相互独立事

17、件同时发生的概率四、相互独立事件同时发生的概率n 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则它们是相互独立事件。n 相互独立事件的概率乘法公式：若A,B是相互独立事件，它们同时发生的概率记作 ，那么()( )( )P A BP A P B1212(.)( )() . ()nnP A AAP A P AP A()P A B一般地，若事件 相互独立，它们同时发生的概率12nAAA、 、.、一般地说，一般地说， 相互独立事件同时发生的概率相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件等于每个事件发生的概率的积发生的概率的积.课堂练习甲、乙两人各参加一项不同的竞赛，进入前甲、乙两人各参加一

18、项不同的竞赛，进入前8名的概率都是名的概率都是0.6，求下列概率，求下列概率(1) 两人都进入前两人都进入前8名；名；(2) 两人中恰有一人进入前两人中恰有一人进入前8名；名；(3) 两人中至少有一人进入前两人中至少有一人进入前8名名.设甲进入前设甲进入前8名的为事件名的为事件A，概率为，概率为 乙乙进入前进入前8名名的为事件的为事件B，概率为，概率为（1）( ),P A( ).P B()( )( )0.6 0.60.36P A BP A P B两人中恰有一人进入前两人中恰有一人进入前8名，就是名，就是“甲进入而乙未进甲进入而乙未进入入 ” ”或或“乙进入而甲未进入乙进入而甲未进入 ” ”它们

19、是互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式和相互独立它们是互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求概率是事件的概率乘法公式，所求概率是（2）()A B事件发生()A B事件发生()()( ) ( )( ) ( ) 0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.48P ABP ABP A PBP A PB （3） 两人都未进入前两人都未进入前8名的概率是名的概率是 ，至少有一人，至少有一人进入前进入前8 8名的概率是名的概率是()P A B1() 1( ) ( ) 1 (1 0.6) (1 0.6) 0.84PP ABP A PB 五、独立重复试验n若在一次试验中

20、某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率 例如 抛掷一枚硬币三次，恰有一枚硬币正面朝上的概率是多少？( )(1)kkn knnP kC Pp113 1113 12333(1)(10.5)(10.5)3 0.50.50.375PC PC P已知一次抛掷中硬币正面朝上的概率为已知一次抛掷中硬币正面朝上的概率为0.5,P 抛掷次数抛掷次数3n 硬币恰好正面朝上的次硬币恰好正面朝上的次数数1,k 依公式依公式, ,所求概率是所求概率是六六、统计初步、统计初步n 总体与样本 n 样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。叫做这组数据的样本方差，记作叫做这组数据的

21、样本方差，记作在统计中，在统计中，所所要要考察的对象的全体叫做总体，其中的每一个被考察考察的对象的全体叫做总体，其中的每一个被考察的对象称为个体，从全体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本的对象称为个体，从全体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。样本中个体的数目叫做样本容量。n 样本方差 在一组数据 中，若其平均数为 ，那么x12,.,nx xx2.S222121()()()nxxxxxxn2222121S()()()nxxxxxxn121+.+nxxxxn已知一组数据已知一组数据9.9，10.3，9.8，10.1，10.4，10，9.8，9.7，计算这组数据的

22、方差。计算这组数据的方差。课堂练习1(9.9 10.39.8 10.1 10.4 109.89.7)81808102222121S()()()nxxxxxxn121+.+nxxxxn2221(9.9 10)(10.3 10)(9.7 10)810.4480.055考点探究16.从5位同学中任意选出3位参加公益活动，不同的选法共有 A.C.B.D.【 】B5种20种15种10种2012成考题考点探究17.将3枚均匀的硬币各抛掷一次，恰有2枚正面朝上的概率为 A.C.B.D.【 】C2012成考题141338342013 成人高考v数学总复习集合与简易逻辑（考纲要求）n1了解集合的意义及其表示方法

23、，了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，了解符号 的含义，并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系。 , , , n2了解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念。 近五年知识考查情况近五年知识考查情况函 数（考纲要求）n1了解函数的概念，会求一些常见函数的定义域。n2了解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断一些常见函数的单调性和奇偶性。n3理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的图像和性质，会求他们的解析式。n4理解二次函数的概念，掌握它们的图像和性质以及函数 与 的图像间的关系；会求二次函数的解析式及最大值或最小值。能运用二次函数的知识解决有关问题。n理解分数指数

24、幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。掌握指数函数的概念、图像和性质，n理解对数的概念，掌握对数的运算性质。掌握对数函数的概念、图像和性质。20()yaxbxc a 20()yax a 近五年知识考查情况近五年知识考查情况不等式和不等式组（考纲要求）n了解不等式的性质，了解不等式的性质，会会解一元一次不等式、一元一解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，会会解一元二次不等式。会表示不等式组或不等式组解一元二次不等式。会表示不等式组或不等式组的解集的解集。n会会解形如解形如 和和 的绝对值不的绝对值不等式。等式。|axbc

25、|axbc 近五年知识考查情况近五年知识考查情况数列（考纲要求）n1 1了解了解数列及其通项、前数列及其通项、前n n项和的概念。项和的概念。n2 2理解理解等差数列、等差中项的概念，等差数列、等差中项的概念，会会（灵活灵活）运）运用等差数列的通项公式、前用等差数列的通项公式、前n n项和公式解决有关问题。项和公式解决有关问题。n3 3理解理解等比数列、等比中项的概念，等比数列、等比中项的概念，会会（灵活灵活）运）运用等比数列的通项公式、前用等比数列的通项公式、前n n项和公式解决有关问题。项和公式解决有关问题。近五年知识考查情况近五年知识考查情况导数（考纲要求）n1 1理解理解导数的概念及几

26、何意义。导数的概念及几何意义。n2 2掌握函数掌握函数 （c c为常数）为常数）, , 的导的导数公式，会求多项式函数的导数。数公式，会求多项式函数的导数。n3.3.了解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并了解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。及闭区间上的最大值和最小值。n4.4.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的最大值与最小值。题的最大值与最小值。yc ()nyx nN 近五年知识考查情况近五年知识考查情况

27、三角函数（考纲要求）之一一三角函数及一三角函数及有关有关概念概念n1 1了解了解任意角的概念，任意角的概念，理解理解象限角和终边相同的角象限角和终边相同的角的概念。的概念。n2 2了解弧度的概念，了解弧度的概念，会会进行弧度与角度的换算。进行弧度与角度的换算。n3 3理解理解任意角三角函数的概念，任意角三角函数的概念，了解了解三角函数在各三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值。象限的符号和特殊角的三角函数值。二、二、三角函数式的变换三角函数式的变换n1 1掌握掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式，同角三角函数的基本关系式、诱导公式，会会运用它们进行计算、化简和证明。运用它们进行计算、化简

28、和证明。n2 2掌握掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，切公式，会会运用它们进行计算、化简、和证明。运用它们进行计算、化简、和证明。三角函数（考纲要求）之二三三、三角函数的图像和性质、三角函数的图像和性质n1 1掌握掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质，正弦函数、余弦函数的图像和性质，会会运运用这两个函数的性质（定义域、值域、周期性、奇用这两个函数的性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）解决有关问题。偶性和单调性）解决有关问题。n2 2了解了解正切函数的图像和性质。正切函数的图像和性质。n3 3会求会求函数函数 的周期、最大值和最的周期、

29、最大值和最小值。小值。n4 4会会由已知三角函数值求角，并会由已知三角函数值求角，并会用符号用符号 表示。表示。四四、解三角形解三角形n1 1掌握掌握直角三角形的边角关系，直角三角形的边角关系，会会用它们解直角用它们解直角三角形。三角形。n2 2掌握掌握正弦定理和余弦定理，正弦定理和余弦定理，会会运用它们解斜三运用它们解斜三角形。角形。sin()yAx sinarcxsarcco xtanarcx近五年知识考查情况近五年知识考查情况平面向量（考纲要求）一、平面向量一、平面向量n1 1理解理解向量的概念，向量的概念，掌握掌握向量的几何表示，了解向量的几何表示，了解共线向量的概念。共线向量的概念。

30、n2 2掌握掌握向量的加、减运算；向量的加、减运算；掌握掌握数乘向量的运算；数乘向量的运算；了解两个向量共线的条件。了解两个向量共线的条件。n3 3了解平面向量的分解定理。了解平面向量的分解定理。n4 4掌握掌握向量的数量积运算，了解其几何意义和在向量的数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用；了解向量垂直处理长度、角度及垂直问题的应用；了解向量垂直的条件。的条件。n5 5了解向量的直角坐标的概念，了解向量的直角坐标的概念，掌握掌握向量的坐标向量的坐标运算。运算。n6 6掌握掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式式和平移公式

31、近五年知识考查情况近五年知识考查情况直线（考纲要求）n1 1理解理解直线的倾斜角和斜率的概念，直线的倾斜角和斜率的概念，会会求直线的求直线的斜率。斜率。n2 2会会求直线方程，会（求直线方程，会（灵活灵活）应用直线方程解决）应用直线方程解决有关问题。有关问题。n3 3了解（了解（掌握掌握）平行与垂直的条件以及点到直线）平行与垂直的条件以及点到直线的距离公式，的距离公式，会会应用它们解决简单的问题。应用它们解决简单的问题。近五年知识考查情况近五年知识考查情况圆锥曲线（考纲要求）n1 1了解曲线和方程的关系，了解曲线和方程的关系，会会求两条曲线的交求两条曲线的交点。点。n2 2掌握掌握圆的标准方程和一般方程以及直线和圆圆的标准方程和一般方程以及直线和圆的位置关系，能的位置关系，能灵活灵活运用它们解决有关问题。运用它们解决有关问题。n3 3理解理解椭圆、