正弦定理和余弦定理练习题

1、2.在C中，卄 si nA假设aA.30B.453.在ABC 中,2 .2a bA.60B.45cosBb，那么C.60D.902c bc，那么A等于C.120D. 30【正弦定理、余弦定理模拟试题】选择题:1. 在 ABC 中，a 2. 3, b 2 2, B 45，那么 A为D.30A. 60 或120 B. 60C.30 或1504.在 ABC 中，|AB| 1 ,|BC| 2, (AB BC) (AB BC) 52B ,那么边|AC|等于A.5B.5 2.3C. .5 2 3D.、5 2 35.以4、5、6为边长的三角形一定是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角

2、形6.在 ABC 中，bcosAacosB，那么三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在 ABC 中，cosA cosB si nA si nB，那么 ABC 是丨A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x27x 60的根，那么三角形的另一边长为A. 52B. 2 .13C. 16D. 4填空题:9. 在 ABC 中，a b 12，A 60，B 45，那么 a ，b 10. 在 ABC 中，化简 b cosC ccosB 11. 在 ABC 中，sinA:sin B:sinC 6:54，那么 cos

3、A 12. 在 ABC中，A、B均为锐角，且 cosA sinB，那么 ABC是 三.解答题：13. 在 ABC中， A 45，a 2，c -6，解此三角形。14. 在四边形 ABCD中, BC a, DC 2a,四个角A、B C、D的度数的比为 3:7:4:10 求AB的长。15. ABC的外接圆半径是、.2，且满足条件2.一2(sin2A sin2 C) (a b) sinB。1求角Co2求ABC面积的最大值。四大题证明在 ABC中一J =匚=2R其中R是三角形外接圆半径sin A sin B sinC证略见P159注意：1 这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三

4、种表示方法(P159)例 二在 任 一 ABC 中 求 证例三在厶ABC中, a3 , b.2 , B=45 求 AC与c解一：由正弦定理得:sin AasinB3sin45L仝b22 B=45 <90即b<a.A=60或120a(si nB si nC) b(si nC si nA) c(si nA 证：sinB) 0左= 2Rsin A(sinB sin C) 2Rsin B(sinCsin A) 2Rsin C(sin A边sin B)2Rsin Asin B sin Asin C =0=右边sin BsinCsin Bsin A sin C sin Asin C sin B

5、当 A=60 时 C=75bsin Csin B当 A=120 时 C=15 c解二：设c=x由余弦定理将条件代入，整理:解之：x亠22bsin Csin Bb2 a26x2 si n75sin 452 si n15sin 45c2 2ac cos B当c亠 2时cosA2b22 2c a2bc从而 A=60 C=75当c -时同理可求得：A=1202例四 试用坐标法证明余弦定理证略见P161例五 在厶 ABC中, BC=a, AC=b,2cos(A+B)=1 求 1解：1 cosC=cos6 . 226 . 22J6 42 22 ()2 32_2 2 6 221 Z 2( 31)2C=15a

6、, b是方程x2 2 3x 2角C的度数2 AB的长度 3 ABC勺面积0的两个根，且(A+B)=1cos(A+B)=寸.C=1202由题设:aB=aC+bC2AC? B(? osCa2 b22ab (a b) ab2 2b 2abcos120(2 3)22 10 即 AB= 103abc= absi nC absi n1202 2如图，在四边形ABCD中,BDA=60 ,BCD=135求BC的长 解：在 ABD中，设BD=x 那么 BA2 BD2 AD2 2BD AD 即 142 x21022 10x cos60整理得：x2 10x 960解之：X1 16x26舍去AD CD, AD=10,

7、 AB=14,由余弦定理:BCsin CDBBDsin BCD二 BC16sin 30sin 135例七备用 ABC中，假设三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 2求以此最大角为角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。2 2 2a b ck4cosC -0解得1 k 42ac2(k1)k 1, b k, c k 1 kN且k 1但k 2时不能构成三角形应舍去tC为钝角解：1设三边a当k13时 a 2,b3,c 4,cosC,C 10942设夹C角的两边为x, y x y 4SxysinC x(4 x)-15 ( x24x)44当x2时S最大=15 k N 二 k 2 或 3三、作业

8、：?教学与测试?76、77课中练习补充：1.在厶ABC中,求证:2 ab2b22 c2 c2a 0cos AcosBcosBcosCcosCcos A2.如图ABBCCD=33BDC=45 求 ABACB=30 BCD=75的长 (1K 2)【试题答案】 选择题：1. A提示:a bsin Asin Bsin Aa sin Bb2. B提示：由题意与正弦定理可得 tanB 13. C提示：由余弦定理与可得cosA 丄24. D2提示： AC AB BC , AC (AB BC)(AB BC)2AC 52.3|AC| . AC ,52、35. A提示：长为6的边所对角最大，设它为那么cos162

9、536180" 2450906. C提示：由余弦定理可将原等式化为bb2c2a2a2 a2 cb22bc2ac即2b22a2，ab7. C提示：原不等式可变形为cos(A B) 00 A B ，B 0，2从而 C A B，8. B提示：由题意得cos -或2舍去5三角形的另一边长 523225 3 cos-522、-13二 .填空题：9.3612、. 6,12 .624absi nAsin 606提示abbbsin Asin Bsin Bsin 452又a b 12,a 3612、6, b12、. 62410.a提示：利用余弦定理，得原式b a2b2c2a2 c2b2ca2ab2ac

10、11.18提示：由正弦定理得a: b: c654设1份为k,那么a6k, b5k, c4k再由余弦定理得cosAb2c2 a212bc812.钝角三角形提示:由 cosA sinB得 sin( A) sinB2A、B均为锐角,0，-sin x 在(0,上是增函数2(A B).解答题：解：由正弦定理得：213.sin Cc6si nAa60或160时，asin B sin AC 120 时,-sin B sin A2n22UB180(A2 62、242B180(A262、3422、3C)75C)15BCD是以CDB 30BDA 150 30120在 BD中，由正弦定理有：222AB BD sin

11、 BDAsi nAb31， C60，B75或b.31， C120，B1514.解:设四个角A B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x那么有3x7x 4x10x360解得x15A45，B 105，C60，D 150连BD,在BCD 中,由余弦定理得：BD2BC2 2DC2BCDC2 2 1 2cosC a 4a 2 a 2a3a2BD、.3a此时,DC2 BD 2BC2DC为斜边的直角三角形3.2a2AB的长为215.解：1 R.2且2.2 (sin2 Asin2 C) (ab) sin B2 2 22 2 sin Bb)2Rsi nB(2、2) (sin A sin C) (a b) 即(2R)2 sin2A(2R)2 sin2C (a由正弦定理知a2 c2