天津大学 高数 第十章 曲线积分及曲面积分 课件

1、曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分1. 第一类曲线积分第一类曲线积分2. 第二类曲线积分第二类曲线积分3. 第一类曲面积分第一类曲面积分4. 第二类曲面积分第二类曲面积分（曲面薄板质量）（曲面薄板质量）（物质曲线质量）（物质曲线质量）（变力作功）（变力作功）（通量）（通量）第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 知识总结知识总结1. 第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),(tttd)()(22)(),(ttf(1)利用参数方程化为定积分利用参数方程化为定积分 (2)要结合利用第一类曲线积分的性质简化计算要结合利用

2、第一类曲线积分的性质简化计算 ()Ldss周长 曲线曲线L方程可带入被积函数方程可带入被积函数 可使用对称性与轮换对称性可使用对称性与轮换对称性: :| 1, (|) LLxyxyx ds例 设则 2 2答案：例. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性例例. 计算,d)(22szyxI其中 为曲线02222zyxazyx解解: 利用轮换对称性 , 有szsysxddd222注：利用重心公式sysydd0343Iazoyx(重心在原点)1dddd03x sy sz s

3、xyz s22223112()dd333xyzsasa2第二类第二类曲线积分的计算曲线积分的计算(1)(1)利用参数方程化为定积分利用参数方程化为定积分 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧 :(3)(3)曲线积分与路径无关的等价条件曲线积分与路径无关的等价条件(2)(2)格林公式和格林公式和斯托克斯公式斯托克斯公式zoyx1例：计算例：计算其中其中 由平面由平面 y = z 截球面截球面22yx 提示提示: 因在因在 上有上有,

4、1222yx故故:原式原式 = tttdsincos2022221162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx从从 z 轴正向看沿逆时针方向轴正向看沿逆时针方向.,12所得 zLDyQxPyxyPxQdddd(2) (2) 格林公式格林公式推论推论: 正向闭L 所围D 的面积LxyyxAdd21应用格林公式注意事项：应用格林公式注意事项：格林公式三个条件格林公式三个条件曲线封闭性曲线封闭性曲线正向曲线正向偏导连续性偏导连续性 否则加边法加边法考虑反方向考虑反方向挖洞法挖洞法当被积函数或积分曲线比较复杂时考虑用当被积函数或积分曲线比较复杂时考虑用格林公式格林公式Dya

5、Lxo计算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L为上半圆周, 0,)(222yayax提示提示: :BA2d dDxy02a沿逆时针方向.L ABABI例例.yx说明说明: 若在某单连通区域内若在某单连通区域内,xQyP则2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方

6、便的积分路径可选择方便的积分路径;(3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件例例. 设质点在力场作用下沿曲线 L :xycos2由)2, 0(A移动到, )0,2(B求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见, 在不含原点的单连通区域不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 积分路径是否可以取?OBAO取圆弧LBAyox为什

7、么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !),(yxyxo例例. 求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因为yP236yyx ,xQ故这是全微分方程. , 0, 000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0 ,(x 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, RQP,在包含 在内的一例例. 为柱面与平面 y

8、= z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222(1)根据曲面方程化为二重积分根据曲面方程化为二重积分 3. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算当:( , )zz x y时，( , , )df x y zS22( , , ( , ) 1d dx yxyDf x y z x yzzxy当:( , )xx y z时，( , , )df x y zS22( (

9、, ), , ) 1ddyzyzDf x y zy zxxyz当:( , )yy x z时，( , , )df x y zS22( , ( , ), ) 1d dxzxzDf x y x z zyyxz(2)要结合利用第一类曲面积分的性质简化计算要结合利用第一类曲面积分的性质简化计算 ()dSS面积 曲面方程可带入被积函数曲面方程可带入被积函数 可使用对称性与轮换对称性可使用对称性与轮换对称性注：注：要根据曲面方程的形式选择恰当的公式要根据曲面方程的形式选择恰当的公式例例. 设设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分一卦限中的部分, 则有则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d

10、)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研考研 )xozy例例. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxD则 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD4. 第二类曲面积分的计算第二类曲面积分的计

11、算(1)(1) 根据曲面方程化为二重积分根据曲面方程化为二重积分 (2)(2) 根据曲面积分的联系化为第一类曲面积分根据曲面积分的联系化为第一类曲面积分(3) (3) 高斯公式高斯公式其方向用其方向用法向量指向法向量指向表示表示 :方向余弦方向余弦coscoscos 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧侧的规定侧的规定有向曲面有向曲面的侧的侧：注注: 1. 同一个曲面的同一个方向可以按同一个曲面的同一个方向可以按 上述有不同的描述方式上述有不同的描述方式2. 有向曲面要根据需要的公式选择有向曲面要根据需要的公式选择 应该看成哪一个侧应该看成哪一

12、个侧yxz111n例如例如: 球面在第一卦限的外侧也可以球面在第一卦限的外侧也可以 看成上侧、前侧、右侧看成上侧、前侧、右侧( , , )d dR x y zxy( , , ( , )x yDR x y z x ydxdy； ( , ) zz x y当 取上侧( , , ( , )x yDR x y z x ydxdy；当 取下侧 当xoy面0(1)(1) 根据曲面根据曲面方程化为二重积分方程化为二重积分 :( , )0F x y（或）注：要根据所求为注：要根据所求为dxdy、dydz、dzdx选择曲面选择曲面方程的形式代入公式方程的形式代入公式解解:例例. 计算曲面积分dd ,xyzyz其中

13、 为球面2x在第一卦限部分的下侧. ozyx122:1xyz122zy :下侧,应看为后侧5115R ddxyzyz ddyzDyzyz 222RyzyxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos(cos, cos, cos )是曲面在指定那一侧的单位法向量是曲面在指定那一侧的单位法向量(2)(2) 根据曲面积分的联系化为第一类曲面积分根据曲面积分的联系化为第一类曲面积分例例. 求求 ( , , )dd2 ( , , )d dIf x y zxyzf x y zyzx其中其中在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧. :1xyz( , , )f x y z为连续函数，为连续函数，

14、( , , )d d ,f x y zzxy解：解：(cos, cos, cos ) (1, 1,1)131 ( , , )2 ( , , )( , , )d3If x y zxf x y zyf x y zzS1d3xyzS1131d.2233S(3) (3) 高斯公式高斯公式公式公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd 由闭曲由闭曲面面 所围成所围成, 的方向取外侧的方向取外侧, 高斯公式条件高斯公式条件曲面封闭性曲面封闭性曲面外侧曲面外侧偏导连续性偏导连续性 否则加面法加面法考虑反方向考虑反方向挖洞法挖洞法例例.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设

15、 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10d221d z202dcos130d12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标例例. 计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd31342121I例例. 设 是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足够小的正数, 作曲面取下侧 使

16、其包在 内, 2为 xoy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,1与21ozyx取上侧, 计算, )0( z则21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx232220 d d()xyxy2第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得定积分定积分可把方程代入被积函数化简的为可把方程代入被积函数化简的为二重积分、三重积分二重积分、三重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分注：注：可利用对称性的为可利用对称性的为第一第一曲线积分曲线积分第一曲面积分第一曲面积分多元函数积分学均可运用坐标轮换对称性质多元函数积分学均可运用坐标轮换对称性质例例. 设设222:1,xyz 的外侧1为 在第一卦限中的部分中的部分, 则则1222( ) 8ddd d +d d ;Axyzyzx zxy1222( )4ddd d +d d;Bxyzyzx zxy1222( )2ddd d +d d;Cxyzyzx zxy()0.D222dddddd( )xyzyzx zxy解:222dddddd(222 )0 xyzyzx zxyxyz dvD例例. 设设同一组的两个积分均为零的是同一组的两个积分均为零的是( ).22( )d , d;AxSxydz( )d , d;Bx Sx ydz22( )d , d;Cx y Sx y zdx2