上海交大-天线教程-第二章 EM回顾——EM理论

1、CEM12022-2-10耿军平耿军平电子信息与电气工程学院，电子工程系电子信息与电气工程学院，电子工程系电院楼群电院楼群1 1522522Email:Email:Tel:34204663Tel:342046632014.092014.0912122022-2-102麦氏方程：场与源之间的关系场量之间的相关变化关系：本构关系：边界条件：约束条件三类边界条件：电磁问题的归结波动方程：麦氏方程的推演形式位函数的引入：方便求解场的表示：场入射场散射场场入射场散射场2022-2-103电磁场基本方程和电磁场基本方程和电磁场运动的基本规律电磁场运动的基本规律2022-2-104电磁场基本方程和电磁场运动

2、的电磁场基本方程和电磁场运动的基本规律基本规律坡印亭定理和坡印亭矢量波动方程和电磁位函数对偶形式的电磁场方程 时谐（正弦）电磁场的复数表示 2022-2-105电磁场的基本方程电磁场的基本方程电磁场的源电磁场的源电荷和电流电荷和电流静态场的基本方程电磁感应定律与全电流定律麦克斯韦方程组与边界条件2022-2-106电磁场的源电磁场的源电荷和电流电荷和电流 电荷密度dldQlQll0limdVdQVQV0limdSdQSQSS0limllSVdlQdSQdVQS，或，或2022-2-107l电流和电流密度dtdQI 0limSIJS JSIdJSdQdVdSdl2022-2-108l电流和电流密

3、度体电流密度体电流密度J是一个矢量，方向为导体内某点正电荷的运动方向大小为垂直于它的单位面积上的电流传导电流传导电流：电子定向运动，服从欧姆定律电子定向运动，服从欧姆定律运流电流运流电流：自由空间或气体中带电粒子的自由空间或气体中带电粒子的定向运动，不服从欧姆定律定向运动，不服从欧姆定律2022-2-109l电荷守恒定律（电流连续性方程）条件：体电荷密度 带电体内任一封闭曲面S 瞬间流出S的电流i为SidJSJ2022-2-1010l电荷守恒定律（电流连续性方程）SVdQddidVdtdt JSVVdVdVt JtJ积分形式：微分形式：V静止,散度定理2022-2-1011l电荷守恒定律（电流

4、连续性方程）SVdQddidVdtdt JSt J积分形式：微分形式：流过恒定电流：0Sd JS0J或2022-2-1012电磁场的基本方程电磁场的基本方程电磁场的源电荷和电流静态场的基本方程静态场的基本方程电磁感应定律与全电流定律麦克斯韦方程组与边界条件2022-2-1013静态场的基本方程静态场的基本方程 库仑定律与电场强度1212320044RQQQQRRRFa31014niiiiQRERQFE304QRRE0QFER, Ri:从源点从源点指向场点指向场点满足线性规则和叠加原理2022-2-1014静态场的基本方程（续）静态场的基本方程（续） 库仑定律与电场强度真空中有限区域V 内连续分

5、布的体电荷，V 外外 p点点电场强度 E33001( )1( )()44|VVrdVdVRRrrrErr2022-2-1015静态场的基本方程（续）静态场的基本方程（续） 静态场，E的通量不包含电荷的区域：0nSSEdE dSES的通量包含电荷q的区域：EnSSqdE dSES的通量2022-2-1016静态场的基本方程（续）静态场的基本方程（续） 静态场，E的散度EVVQnSSdE dSdVdVEESE内曲面内总电荷1的通量2022-2-1017 高斯定理与电通量密度电通量密度，电位移矢量，电通量密度，电位移矢量，D： 只与发出电通量的电荷有关， 而与空间中所填充的媒质无关0DE2022-2

6、-1018 穿过真空或自由空间中任意封闭面的电通量等于此封闭面所包围的自由电荷总量 高斯定理0SQdES或SVddVDSSdQDS若体电荷位于封闭面内VVdVdVD2022-2-1019表明：表明：1）研究区域适于源区域）研究区域适于源区域2）源区域）源区域3）该空间任一点处电通量密度的散度等于空间任一点处电通量密度的散度等于该点处的电荷密度该点处的电荷密度4）积分方程不一定要完全满足以上条件）积分方程不一定要完全满足以上条件1）和和2）（充分而非必要）（充分而非必要）D2022-2-1020 静电场的无旋性0E000bbaalWQddE lE l闭合路径或0bbaaWQd El0dWQd E

7、l0QFE外力克服电场力做功，与路径无关外力克服电场力做功静电场是无旋场或保守场斯托克斯定理2022-2-1021 毕奥萨伐尔定律与磁通量密度2102211212l(l)4RllI dI dFR a真空中磁场力2112FF221122211022214lllRdI)RdI(dIBlallF各微小电流单元间的作用力并不一定等值反向；线圈间的总的作用力等值反响。2022-2-1022 毕奥萨伐尔定律与磁通量密度1211014lRRdIalB1211014lRsinldI|B 磁通量密度 （磁感应强度）相当于回路相当于回路l1作用于作用于回路回路l2的单位电流元的单位电流元上的磁场力上的磁场力单位：

8、单位：T1T1Wb/m22022-2-1023SSdSR304RJBVdVR304RJB体电流J面电流JS2022-2-1024载流导体在外磁场B中所受磁场力dVJSdIdJlllIdBlFBF dQVdVBJF运动速度(旋度的散度为0A)(H1ABAB0)(0矢量矢量磁位磁位A简单简单媒质媒质2022-2-1088思路2： 标量场的梯度的旋度恒等于零ttAEAE或00)(）（ttttAEAABE标量电位标量电位 说明：说明： 前面的负号是由 E 引出的2022-2-1089)()(2AAEtt高 斯高 斯定理定理 D2()At （282）2022-2-1090)(tttAJEJABAAA2)

9、()(222ttAJAA（279）全电流定律全电流定律2022-2-1091A唯一确定散度、旋度、界矢量唯一性定理BA A？A的散度可任意选取,不同场合用不同规范条件2022-2-1092A的散度确定的规范条件的散度确定的规范条件 洛仑兹规范（条件）t AA和和的的非齐次非齐次矢量波矢量波动方程动方程JAAt222222t （279）说明：这样的方程使A和分离，便于求解，多数情况下采用（282）（281）2022-2-1093A的散度确定的规范条件（续）的散度确定的规范条件（续） 库仑规范（条件）0 AA和和的的非齐次矢非齐次矢量波动方量波动方程程ttJAA2222（279）2022-2-10

10、94无源无源tAE)0(02特解说明：库仑规范下，A和满足互联方程组，2022-2-1095恒定场恒定场0 A024laRrIdBR21( )()aRRR01()()4llBIdR2022-2-1096恒定场恒定场111()()()IdIdIdIdRRRRll +l =-l0l =Id 源点函数对场点坐标的旋度00()()44llBllIdIdRR04lAlIdR2022-2-1097电磁场基本方程和电磁场运动的基本规律电磁场基本方程和电磁场运动的基本规律电磁场的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波动方程和电磁位函数对偶形式的电磁场方程对偶形式的电磁场方程 时谐（正弦）电磁场的复数表示 2022-

11、2-1098对偶形式的电磁场方程对偶形式的电磁场方程电型源（电流、电荷）电磁场磁型源（磁流、磁荷）电磁场teeDJHtBeeEe D0eBtMMDHtBJMMME0MDMM BHMEMJMEe-HeJ 磁流、磁荷是人为等效来的磁流、磁荷是人为等效来的2022-2-1099电型源加磁型源t DJHMtBJE DM B2022-2-10100矢量磁位A标量电位矢量电位AM标量磁位MMMADtMMMAH0tMMAMMMtJAA222tMMM222对偶2022-2-10101电磁场基本方程和电磁场运动的基本电磁场基本方程和电磁场运动的基本规律规律电磁场的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波动方程和电磁位函

12、数对偶形式的电磁场方程 时谐（正弦）电磁场的复数表示时谐（正弦）电磁场的复数表示 2022-2-10102时谐（正弦）电磁场的复数表示时谐（正弦）电磁场的复数表示复数形式复数形式的麦克斯韦方程组复数形式的边界条件E和H矢量的亥姆霍兹方程复坡印亭矢量和复坡印亭定理2022-2-10103复数形式复数形式)cos()cos()cos()()()()(zzzyyyxxxzzyyxxtEtEtEtEtEtEtEaaaaaazyxieEeeEtEtjitjjiii,ReRe)(分量分量复振幅复振幅2022-2-10104复数形式复数形式ReRe)(tjtjzzyyxxeeEEEtEEaaa电场强度复矢量

13、电场强度复矢量222EReE,ERe()Ej tj tjetet偏导数偏导数2022-2-10105复数形式的麦克斯韦方程组复数形式的麦克斯韦方程组DJHjBEj D0 B微分、瞬时形式非微分、瞬时形式非限定性麦氏方程限定性麦氏方程j JHBEDEJHjHEj/ E0 H微分、瞬时形式非微分、瞬时形式非限定性麦氏方程限定性麦氏方程说明：为书写方便，略去小圆点说明：为书写方便，略去小圆点2022-2-10106复数形式边界条件复数形式边界条件0)(21EEan0)(21BBanSn()21DDaSnJHHa)(21说明：为书写方便，略去小圆点说明：为书写方便，略去小圆点2022-2-10107E

14、和和H非齐次矢量的亥姆霍兹方程非齐次矢量的亥姆霍兹方程2kj EEJ2Hk HJHJEj EHj 2022-2-10108E和和H非齐次矢量的亥姆霍兹方程非齐次矢量的亥姆霍兹方程(续续)/k 波数2222xyzkkkk直角坐标：2kj EEJ2Hk HJ22kj EEJ22k HJ2G()GG 2022-2-10109空间频率空间频率k/k 波数/2/k 每每2空间距离中的波长数空间距离中的波长数2k2022-2-10110复坡印亭矢量复坡印亭矢量cos()cos()EHmEmHttSEH1() cos()cos(2)2mmEHEHtEH011( )()cos()2TaVmmEHdtTSrSE

15、H2022-2-10111复坡印亭矢量复坡印亭矢量()()EHEHjjjmmmmeeeE HEHEH()cos()2emmEHaVREHEHS( , )cos() EjmEmtte ErEE EHjmeH H同理011( )()cos()2TaVmmEHdtTSrSEH2022-2-10112复坡印亭矢量（续）复坡印亭矢量（续）12SEH坡印亭矢量的复数形式，其实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度定义Re( )SavS2022-2-10113复坡印亭矢量（续）复坡印亭矢量（续）2022-2-10114复数形式的能量密度复数形式的能量密度204121Re21Re21)(1)(EDEwdtt

16、wTweTeave简单媒质4121)()(21)(tjtjtjtjeeeeetttwEEDDED204121Re21Re21)(1)(HBHwdttwTwmTmavm简单媒质2022-2-10115)(21)(21)21(HEEHHE复坡印复坡印亭定理亭定理若右端第二项为实数，则表明：若右端第二项为实数，则表明：从封闭面从封闭面S输入的有功功率等于体积输入的有功功率等于体积V内的平均热损耗功率；内的平均热损耗功率；从封闭面从封闭面S输入的无功功率等于体积输入的无功功率等于体积V内电磁场储能的最大时间变化率内电磁场储能的最大时间变化率dVEdVwwjdVVaveavmS221)()(2)21(S

17、HEJEHE21)4141(2)21(22EHjEJHjHEj2022-2-10116三类边值问题三类边值问题2022-2-10117惟一性定理惟一性定理 当物理状态给定时总能导出一个，且只有一个物理解； 但数学上处理不当，可能导出多个解； 惟一性定理：指明正确建模，实现惟一解。 电磁场问题电磁场问题：当给定区域中的源和整个边界面上的切向电场或磁场都已确定时，此区域内的解就将惟一。2022-2-10118亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 若矢量场F(r)在无限区域中处处是单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域V中，则当矢量场的散度及旋度散度及旋度给定后，该矢量场F(r)可以表示为 F rrA r 1

18、4VdVF rrrr其中： 14VA rdV F rrr上述关系称为亥姆霍兹定理。 2022-2-10119亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理(续）续） 该定理再次表明，无限空间中矢量场被其散度及旋度惟一地确定； 而且它给出了场与其散度及旋度之间的定量关系； 或者说，给出了场与源之间的定量关系。2022-2-10120静电场边值问题的解法静电场边值问题的解法第一类边值（Dirichlet）问题：已知全部边界上电位分布，如导体表面上的电位分布；第二类边值问题（Neumann）问题：已知边界上电位的法向分布，如导体表面上的电荷分布；第三类边值问题，又称混合边值（Robbin）问题：已知部分边界上的电位分布及

19、另一部分边界上电位的法向导数。说明说明：对上述任一边值问题，满足边界条件的电位Poisson方程和Laplace方程的解是唯一的2022-2-10121静电场边值问题的解法（续）静电场边值问题的解法（续）分离变量法直角坐标系圆柱坐标系镜像法接地平面附近的点电荷线电荷导体球与点电荷复变函数法有限差分法2022-2-10122电磁场边值问题电磁场边值问题第一类边值（Dirichlet）问题：已知全部边界上电场分布，如导体表面上的电场法向分量为零；第二类边值问题（Neumann）问题：未知量的导数在边界上为已知固定值；第三类边值问题，又称混合边值（Robbin）问题：未知量和未知量的导数在边界上有确

20、定关系。如：索末菲辐射条件：（自由空间在无限远处的辐射条件）；吸收边界条件等2022-2-10123等效原理等效原理2022-2-10124波和介质中的波和介质中的等效原理等效原理概述电偶极子和磁偶极子镜像源面电流和面磁流 外加的和感应的面电流 2022-2-10125概述概述 研究有限空间区域： 感兴趣感兴趣区域区域不感兴趣区域不感兴趣区域等效等效源等效源感兴趣感兴趣区域区域2022-2-10126l等效时，确保全部边界条件得到满足；l等效源可在感兴趣区域之外或边界上；l等效源的构成方法不唯一；l如果两种不同性质的源能在所研究区域内给出同样的解（在这个区域之外可能会给出不同的解） ，则称它们

21、等效。说明说明2022-2-10127波和介质中的波和介质中的等效原理等效原理概述电偶极子和磁偶极子电偶极子和磁偶极子镜像源面电流和面磁流 外加的和感应的面电流 2022-2-10128电偶极子电偶极子E静态电场静态电场恒定电场恒定电场2022-2-10129磁偶极子磁偶极子Hl不感兴趣区域：包围小电流环的小体积l小电流环和磁偶极子在包围他们的小体积外场相同l在源的内部，二者的磁场指向相反小电小电流环流环磁偶磁偶极子极子磁流磁流元元2022-2-10130波和介质中的波和介质中的等效原理等效原理概述电偶极子和磁偶极子镜像源镜像源面电流和面磁流 外加的和感应的面电流 等效原理的应用2022-2-

22、10131镜像源（镜像源（1）无限大理想导体前的电荷2022-2-10132镜像源（镜像源（2）无限大理想导体理想导体前的偶极子2022-2-10133镜像源（镜像源（3）无限大无限大理想导磁体（切向磁场趋于理想导磁体（切向磁场趋于0的导磁表面）的导磁表面）前的偶极子前的偶极子2022-2-10134镜像源（镜像源（4）平行导电板之间的电偶极子平行导电板之间的电偶极子2022-2-10135波和介质中的波和介质中的等效原理等效原理概述电偶极子和磁偶极子镜像源面电流和面磁流面电流和面磁流 外加的和感应的面电流 2022-2-10136面电流面电流 边界上切向磁场分量的不连续引起面电流JsnasJ

23、H绕绕Js的磁场环路方向服从右手定则的磁场环路方向服从右手定则2022-2-10137sxsJ Jaxy212jkzsjkzsJ eJ eEaHaxy212jkzsjkzsJ eJ e EaHa面电流（z0）平面波（z0）平面波（z0）平面波（z0和 z0两个半空间辐射；Js在z0区域产生平面波，与入射波结合，使导体内的场为02022-2-10143例例2.平面波在平面波在z轴方向传播时的几种情况：轴方向传播时的几种情况： 电场在电场在x方向，研究方向，研究z0区域区域0jkzxE eE01jkzyE eH等效问题等效问题1：在z0处放置面电流和面磁流0/sxE J0syE M可在z0处产生同

24、样的场，而在z0处产生同样的场，而在z0处产生同样的场，而在z0处场为01jkzyE eH2022-2-10146等效问题等效问题4：以理想导体代替：以理想导体代替z0处面电流不产生任何场，因为导体表面将感应有等幅反相的面电流，抵消了外加的Js；在z0处面磁流产生相同的场2022-2-10147关于等效原理的几点说明：关于等效原理的几点说明： 在不感兴趣的区域，等效问题解是无意义的； 关于镜像法，把“存在有导体时偶极子的辐射”可以转化为偶极子阵列问题； 等效原理的用途等效原理的用途：在应用镜像法时，能重新建立公式；提供了一种由所研究区域表面上近似的源分布来获得近似解的方法。 惟一性定理保证了这

25、种近似解至少在所研究的区域内是唯一的。CEM2022-2-10 滞后位滞后位-经典天线问题分析经典天线问题分析2022-2-10149时谐场的滞后位时谐场的滞后位 空间电磁波的场源场源是天线上的时变电流和电荷时变电流和电荷，因此辐射问题就是求解天线上的场源在其周围空间所产生的电磁场分布。 严格地说，空间电磁场的求解就是在天线几何形状确定的边界条件下解麦克斯韦方程组，在绝大多数情况下这显然是十分困难甚至是不可能的。 因此，辐射问题的求解往往采用近似解法，即先近似选取天线上的场源分布，再根据场源分布求天线辐射场。2022-2-10150时谐场的滞后位（续）时谐场的滞后位（续） 根据天线的场源分布求

26、其辐射空间的电磁场，可采用直接解法和间接解法直接解法和间接解法。 直接解法直接解法就是根据电磁场的复矢量和满足的非齐次矢量亥姆霍兹方程，由天线的电流分布直接求解E和H，这种解法的积分运算十分复杂； 间接解法间接解法就是先由天线上的电流分布求解矢量磁位A，再由E和H与A间的微分关系求得E和H。这种解法的积分运算通常比直接解法要简单得多，因此多采用间接解法求解天线的辐射问题。2022-2-10151时谐场的滞后位（续）时谐场的滞后位（续） 由式（2.102）可知，若自由空间中有限区域内有时谐的体电流和体电荷分布，则矢量磁位A和标量电位V分别满足以下方程： （6.1) (6.2)式中JAkA0220

27、22VkV2200k 2022-2-10152时谐场的滞后位（续）时谐场的滞后位（续） 方程（6.2）在自由空间中任一点处的解可写成为以下形式： （6.3） 此式代表体积V内的体电荷在点 处产生的电位，R是电荷元 到点 处的距离，即 。01( )( )4jkRveV rrdvR( )p r( )r dv( )p rRrr2022-2-10153时谐场的滞后位（续）时谐场的滞后位（续） 下面在直角坐标系下证明式（6.3）满足方程(6.2)。 式（6.3）代入方程（6.2 ）2222002201( , )1( , )()()441( , )()(6.4)4jkRjkRvvjkRjkRvx y z

28、ex y z eVk VdvkdvRReex y zkdvRR 2221()()jkRjkRjkReekeRRR 由于2022-2-10154时谐场的滞后位（续）时谐场的滞后位（续）得证 注意到2是对场点坐标(x,y,z)作用，而体积分是对源点坐标(x,y,z)进行的 22200011( ,)()41( ,)4()4( , , )(6.6)jkRvjkRvVk Vx y zedvRx y z errdvx y z 2022-2-10155时谐场的滞后位（续）时谐场的滞后位（续） 矢量磁位方程（6.1）可分解为三个标量方程，而每个标量方程都同方程（6.2)类似，其解的形式也类似。 若时谐电流以体

29、电流密度 分布在有限体积V中，则此体电流在场点 处产生的矢量磁位A为J( )p r0( )( )4jkRvJ r eA rdvR(6.7) 2022-2-10156时谐场的滞后位（续）时谐场的滞后位（续） 式 (6.7) 就是矢量磁位方程（6.1）在自由空间中场点 处的解。 由式(6.7)和(6.3)容易得到A和V的瞬时表达式为( )p r(6.8) 0( )cos ()( , )4vRJ rtvA r tdvR0( )cos ()1( )4vRrtvV rdvR (6.9) 2022-2-10157 式中相位因子 表明，自由空间中离开源点为R的观察点在某一时刻t的位场A和V是由时谐电流和电荷

30、激发的，但它并不取决于同一时刻t的电流源和电荷源，而是取决于时刻 (t-R/v) 的源。 换言之，观察点的位场变化滞后于波源的变化，滞后时间为R/v，这个时间即是电磁波在自由空间中传播距离r所需的时间。 因此，通常称A为滞后矢量磁位，V为滞后标量电位。时谐场的滞后位（续）时谐场的滞后位（续）cos ()tR v2022-2-10158 根据时谐电流源解得A后，即可按以下两式确定E和H （推导过程见p.39 (2-76式2-78式)）时谐场的滞后位（续）时谐场的滞后位（续）（6.10） (6.11) 00)(AjAjE)(10AH 这正是式这正是式(2.78)和和(2.76b)的复数表达形式的复

31、数表达形式 CEM2022-2-10导波系统分析导波系统分析波导问题2022-2-10160柱形传输系统的导波及其特性柱形传输系统的导波及其特性柱形传输系统中的电磁场2022-2-10161柱形传输系统中的电磁场柱形传输系统中的电磁场广义正交坐标系：z轴与规则传输系统的轴线相重合 u、v是规则传输系统横截面上的曲线坐标、直角坐标、圆柱坐标2022-2-10162图5.2 规则柱形传输系统及其坐标系2022-2-10163柱形传输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）广义正交坐标系下分析规则传输系统的常用方法：纵向场法纵向场法 赫兹矢量位法2022-2-10164边界条件边界条件柱形传

32、输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）纵向场法纵向场法依据：规则传输系统的边界形状和尺寸沿其轴向不变E、H的的矢量亥姆矢量亥姆霍兹方程霍兹方程只含电场纵向分量的标量亥姆霍兹方程只含磁场纵向分量的标量亥姆霍兹方程场纵向分量场横向分量分分离离2022-2-10165柱形传输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）假定： 规则传输系统内填充的媒质均匀、线性、各向同性； 传输系统内无自由电荷和传导电流； 场为时谐场。则复矢量E和H满足齐次矢量亥姆霍兹方程2222( , , )( , , )0( , , )( , , )0u v zku v zu v zku v zEEHH2022-

33、2-10166柱形传输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）复矢量E和H分解为横向分量横向分量和纵向分量纵向分量( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )zzu v zu v zau v zu v zu v zau v ztztzEEEHHH2022-2-10167 将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量，代入方程 (5.3a) (5.3b) (5.4a) (5.4b)222222220000zzzzttttEkEHkHkkEEHH 柱形传输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）2022-2-10168 正交柱坐标系电磁场的正交柱坐标

34、系电磁场的纵向分量、横向分纵向分量、横向分量量分别满足标量、矢量亥姆霍兹方程分别满足标量、矢量亥姆霍兹方程 除直角坐标系外，除直角坐标系外，(5.4)不能再分解为两个不能再分解为两个(5.3) (5.3)和特定边界条件联合求解和特定边界条件联合求解Ez、Hz 由由Ez、Hz求出横向分量求出横向分量Et、Ht柱形传输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）2022-2-10169拉普拉斯算符可分解为222222tztz 柱形传输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）Z的度量因子h31，u、v的度量因子与z无关121 221()()()0hhhhz hz hz横向拉普拉斯算子横向

35、拉普拉斯算子2022-2-10170将方程(5.3a)分离变量，令 (5.7) 将(5.7)和(5.6)两式代入方程(5.3a)并整理，可得 (5.8) zZTEzZvuEzvuEzzz, TEkTEdzzZdzZztz222211柱形传输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）纵向场分量的纵向场分量的横向分布横向分布纵向场分量的纵向场分量的纵向分布纵向分布2022-2-10171显然只有（58）式左、右两端都等于某一常数该式才能成立。令此常数为 ，则得 (5.9a) (5.9b) 0222TEkTEzzt 0222zZdzzZd2柱形传输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）2022-2-10172同样可得 的两个方程为 (5.10a) (5.10b) 2220tzzHTkHT 0222zZdzzZdzH柱形传输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）2022-2-10173若在(5.9)和(5.10)两方程中，令 ,则有 (5.11a) (5.11b)222 kkc 022TEkTEzczt 022THkTHzczt柱形传输系统中的电磁场（续）柱形传输系统中的电磁场（续）2022-2-10174在图5.2所示的正交坐标系中， 为将上式代入(5.11)式，得 (5.12)