广义积分敛散性判别法的应用

1、安.师专攀报(自泊科学蔽1995年旅魂翔2若、1,。 、 +co, 则犷一 ,(,dX 发散 ; 定理2对于瑕积分弃一,(xd、,设vxe(a,b,r(x0,.是瑕点,且l五m(x一a护f(xd(0(d成+col若入 则 2若入l,0 镇 +oo, 则 当b是瑕点时,对极限lim犷f(·d益收敛;犷一“·,d·发散,(b一x人f(xd,也有同1、2的判别结果。需注意的是定理中被积函数f(x是非负的。上述判别法是通过比较原则导出的,即是在比较原则中,选定g(x=x一奉或(x一a一盖作为比较对象,利用标准积分犷-努或介;粤二XJ.气X一a,(a>0的敛散性推导得

2、出的。这在分析教材中都有介绍。在使用判别法时,关键在于如何选取入与d,使得符合判别法的条件,从而得出相应的结论收敛或发散。一般来说.这种选取是较为困难的。因此,选取入、d,就成为教学中的难点,在分析教材中的例,都是预见选好了入,求出d,据判别法得出相应结论。具体做习题时,在选取入后;还要结合考虑x性(x的极限,当入,d符合判别法条件l或幻后,才有相应的结论。对入、d用“尝试法洲对号入座”,一般不易掌握,但是考虑判别法的特点,还是有一定规律可循的。我们通过对下述例题的讨论,看怎样选取入与d。例讨论几兴dx的敛散性解一”是被积分函数(x,一兴的瑕点·”0<·<,时,

3、in·<”,叮>”,考虑极限31imx了工一。+一Inx、反二一1im一Inx1sm4x寺一。一。十x一皿一。十。_3_.,、,_送里入丁丈1,dU,砍原积分收双。悦分析讨论:能否取入一告呢?由极限lim、奋x。+一InXV下lim(一inx一co,不满足O<入<1,O簇d<十、的条件。x一O+怎样确定入呢?我们考虑极限limxx。十Inx侧丁1jm,要使该极限值为有限,而O<久 。 +x 专一 故可选取、任(告,的值,从而上述极限值为。,符合判断法条件.再看下例例2讨论介黔d·的敛散性解x一0为被积函数的瑕点。考虑极限limx一Insi

4、nXx。十一InsinXx./10x。+x一入+9/10_一,_.9/。d,_,9,.、一一.,_,、I_翻.、小。策了月又入俩足一入十下下盏之U,肚目入岌下万,田叹火工、们U十co,1旦入<、l,故刊别法大义又。1UtU·26·安峨师专学报(自然科学版11995年第4期从而对任意。任R,r(a收敛。于是对。的范围就会得出错误的结论。二03、不要以被积函数的分母在积分区间取零值,就判定它是无界函数的瑕点。如:只恶一,.黑恶存在丫一,不是瑕朴但一0是瑕点·又如犷一竺粤鸟一当0<减,时,一o不是瑕点。二概竺架蜂一蚀笋·警4、对判别法极限形式本质的

5、认识,、要判另,犷一f(x·的敛散性,由极限式:竺乳f(·./赤,需考虑一+一时,f(·一”的速度:当它超过赤一。的速度,而、>1时,该,分收。;当它不超过赤一。的速度,而入、1时,该积分发散,于是讨论f(x一O的阶就成为判断积分是否收敛的关键。例3解讨论犷一合·的敛散性考虑limx一+目X.l+x.lim一x一十的X1一(轰+一,+x.一一x,可取入二n一m,就有】jmx一.一+的X.l+x.当、-。一>l时,厂一品dX收熟当、-。一。时,犷一湍dX发散·有时候不知道需要进行比较的六的次“、,可以利用泰勒公式看出.例4积”方一万君

6、清”否“敛考虑被积函数的分母、石二而哥厂厄一厂万二要不蕊弃虑石子一x海石不;可取、一音于是,lim*1_丫x+甘7二了._x百-一代不二二二二二二二=1im=VZ一/-./,r一-;x+,x了xVx一Vx一星这里、一合,d一吓,故原积分发散,2,、要判另”瑕积分丈,“·,d·(a是瑕点,的敛散性,由极限黑f(xIx入,需考虑当xa干时,f(x一+,的速度:大时,积分发散;当它的阶比,2二(、<小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、1火义一己产气汽一砚少例5判别积分瑕点是dX、/丁一。xdx,.,.-丁二二一-日可叙欲任VxInx一l一,X.nU广、厂干!nx+几岸绎,;

7、盯2VXjnX解八|抑安.一t攀报自价科攀版”9.5年结翔一、_一二9,.,一,.、,“00.一,_、.、,_.一班远取入俩足一入十1下又U,从阅气育,六刀一二二型。田歹必堵活州月得:二tI、月Jlim一Insinx七OX妈坑x”贝丫详./l0tO宁品,1imx,.+,“二L厂犷、_、工气一人州卜;下,X一川1Ulim:二导.9,人-吧尸二lU吕InX(*从而应选取入满足若取、一斋<。,即、<斋·由(*式有d一+co,而、<.故判另,法失效.、一斋>。·即。斋·由(*式得到d一。,若取、:,判另,法也失效.一。9_._.一_卞足只能取下万吸

8、人吸I.列取入,1U或等,由判别法可知,原积分绝对收敛。19一20注:,、如果结合标准积分卫从而考虑选取、在斋与;之、;又户补,a是瑕点,当<,时收敛,就可初步判断有晶 比一19dx2、在使用判别法时,如果遇到取久(l(或l得d二O,取入>l,得d+co,说明判别法失效,应当改用其它方法。如对积分犷一摇汤,(a>。,由极限:呱一忌万-x入一1:二军益(Inx.+co,入>10,O<入提l,不能确定积分的敛散性·但用定义可得犷一蔽备一呱广蔽器歹一呱户豁t工一易不石InA+co,0 0,a>l于是,当a>1时,原积分收敛,当O 时 , 原积分发散

9、。 二、对判别法的进一步讨论l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d就可能出现负值的情况。对变号函数的广义积分,会遇到条件收敛情况,可应用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法:2、对所给广义积分必须找出它的全部奇点,如果所讨论的广义积分在其定义区间的两端点是无穷限或瑕点,或瑕点在区间内,则应把所讨论的广义积分分拆成几个广义积分之和,使每个广义积分都只在它的一个端点出现无穷限或瑕点,然后分别用判别法予以讨论。如对积”方一器一有两个奇“”“+一必须考虑且器·与厂一器:然”别

10、讨论。另由狄利克雷判别法可知积分收敛。事实上,.几一、dx-:siox一sinA,而六在(0,十二单调,且Iim十一。+。Vx人0又如oamma函数:P(a=xe一xdx,+oo是奇点脚<1时,x=。是奇点,故必须分|日勺心!门别讨论只一与丁广-一xdx,从而得出a>。时,r(aw敛。但如果用狄利克雷判别法,有.知一卜,价.言一如一! 常数 , 而 : 蚁告一。 , 卜 ( 。 ,+ 一 单调 , 广义积分敛散性判别法的应用本文讨论的广义积分指无穷积分与瑕积分,即函数在无穷区间上的积分与无界函数的积分。它们是借助于可变上(或下限的黎曼积分的极限来定义的。要判别它们的敛散性,可考虑函

11、数在其任一内闭子区间上的黎曼可积性,借助积分性质以及积分方法:换元法、分部积分法等直接计算,对于被积函数是单调函数或含有周期函数因子的无穷积分,可利用广义积分与级数的关系讨论其收敛性,即转化为级数的敛散性问题。但是在大多数的情况下.都是通过使用判别方法、准则来确定,如柯西收敛准则,绝对收敛的比较判别法、柯西判别法、积分判别法以及条件收敛的阿贝尔判别法,狄利克雷判别法等来判别确定广义积分的敛散性。现就常用的柯西判别法的极限形式判别广义积分的敛散性作一些探讨,并予以推广。一、对判别法的应用为行文方便起见,给出柯西判别法的极限形式如下:定理,对于无穷积分犷一f(·d一设v·。a,

12、十一,f(·仃,a>0,且一smx入f(x=d(0镇d镇+co,若、>,0、d<+co,贝。犷一“·d·收敛;安,师守攀报(自鹅科攀压1995年筑4期1limx!一工一。+一,去一一。.这里、一告,d一。,故:弓些-收敛;Vxlnx“盲Vxlnx由一im(l一x:l一1一侧丁Inxx一111见万下=干甲x1一VXlnX二l,这里入l,d=l,故e.二些一发散.从而原积分发散.d玄VxInx有时候不知道(x一a一的次数入,也可以通过泰勒公式看出。“6积分且丙攀两是否收敛解xO是瑕点由于俨x(扩一毛一:=访xZx+o(xZx圣访2+o(,一一_2川省

13、出胜联入=下Q从而:im、圣二二冬二一去:o+Vx(e“一e一VZ这里入2气犷,OJ万,于是原积分收敛。注:本例可借助极限limex一e一X=2,从而得到一imx号I。+ll谓夏下之不二下寸万.三、对柯西判别的推广l、当柯西极限判别法中极限不存在时,可考虑x入f(xI的上确界(或下确界的极限值情况以及入的范围,从而可将该判别法推广如下:定理3_八.若土乳s”px.f(xl一d<+co,且入>,则J.f(xdx(a>0绝对收敛,2若证明一imsnrxAr(x!d>0,且入成l,则,+.l已知lim犷一,“·,X发散·supx入if(x一J 且入 >

14、;l, 则 V 。 >o, 日 x 。 >a,Vx>x 。 , 有 x .f (·.<科,即.f(x,<宁,记M一升,则M>0,而厂一令当。1时收敛,由比较判别法可知,犷一f(·dX绝对收敛;2已知土乳i”fxIr(x=d>0,且入镇l,则v“>o,.竺>0,可限制,使得0<飞,于是“x。>一使得Vx>x。,有X、,·,>。一>“,即.,·.>宁,而犷一令当、,时发散,由比较判别法知厂一f(X.d·发散.证毕注:l当百=d时,表明柯西极限判别法中极限存在,

15、于是可得出柯西判别法的极限形式;2判定出犷一f(xd·发散、但犷一f(·d·是否发散或条件收敛,还需另作判断,3对瑕积分也有类似定理3的推广形式.在具体应用推广的定理时容易判断广义积分的敛散性.例7讨论丁一学d·的敛散性安顺师专学报自然科学版1995年第期co,入>l解由于,·1e.恤加1111】X一一不存在0,入 入 1, 皿 +.X 故柯西判别法失效 , 改用推广形式 , 取入一 l, 这 时,1imx十.,.2.二入InIX一=2x二1.故原积分发散。2、考虑积分犷-liminfex+创Jdxx(Inx“(。>0,:m、入二共

16、二一:一十二XLJ月X少+oo,久>l0,0<入成1,可证上述积分当a>l时绝对收敛,当0<。l时发散;以该积分为标准,可得出下述推广形式:定理4设a。,l若一smsupxOnx护Ir(x一万 且入 >l,x 十“ ; 则犷一 f(XdX 绝对收 ; 2若150snfx(Inx!f(x!d>0,且入(lx十。J,则犷一,(·,·发散。(证,由柯西判别法的应用可见,必须弄清判别法本质及形式特点,选取入,确定出d,还是有一定规律可循。判别法的推广形式对二类广义积分分敛散性的判别,也是有效而简便的.(上接15页根据定理3,定理4和定理6,我们得

17、到:推论2:假设下列条件成立:(lr(t,y,yN是强次线性的;(2条件(H,一(H、成立(3条件(H。(或H。成立,且对充分大的t有g食(t 或 g*(t<:(t 那么方程(2的所有解振动的必要与充分条件是(39成立。参考文献1x,oopa一samyandBG劝ang.05记lationandnonoseiuationinfirstorderneutra一d让介rontialegua-tions.J.Mat卜nal.andPPI.151(1990,42一572B.5.Lal一1andB.0zhang.osei一ationoffirstorderneutraldifferentiazequationsppz.nal,39(1990,265一274.3,FIvanov。ndT.Kusano.osellationoftheso一utioosofacla,sof价storde:funetiona一di价rentialequationsofneutraltyPe.UkrMarhJ,41(1989.1370一1375·4.F一vanovandT