椭圆及其标准方程

1、想一想v在我们实际生活中，同学们见过椭圆吗？能举出一些实例吗？生活中的椭圆仙女座星系星系中的椭圆星系中的椭圆我们一起来看看我们一起来看看实验操作实验操作(1)在画图的过程中，细绳的两端点的位置是固定的还是在画图的过程中，细绳的两端点的位置是固定的还是运动的？运动的？(2)在画图的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？在画图的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？(3)在画图的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样在画图的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？的关系？ 思考思考v结合结合“探究探究1”1”以及以及“圆的定义圆的定义”, ,思思考讨论一下应该如何定义椭圆？考讨论一下应该

2、如何定义椭圆？f1f2m注意注意:椭圆定义中需要注意的四处地方椭圆定义中需要注意的四处地方：（1） 必须在必须在平面内平面内;（2）两个定点）两个定点-两点间距离两点间距离确定确定;（3）定长）定长-轨迹上任意点到两定点的轨迹上任意点到两定点的距离和距离和确定确定.(4) 常数|f1f2|mf2f1 平面内平面内与两个与两个定点定点 的距离的和等于的距离的和等于常数常数（大于大于 ）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆，这两个定点，这两个定点 叫做叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距. . 2 21 1f f, ,f f12ff2 21 1f

3、f, ,f f 在椭圆的定义中，如果这个定长小于在椭圆的定义中，如果这个定长小于或等于或等于 ，动点，动点m m的轨迹又如何呢？的轨迹又如何呢？ 12f f当常数当常数= = 时时, ,动点动点m m轨迹为线段轨迹为线段f f1 1f f2 2；21ff当常数当常数2c221|=+pfxcy222|=-+pfx cy则：则：2222+-+= 2xcyx cya2222+= 2 -+xcyax cy2222222+= 4-4-+-+xcyaax cyx cy222-c =-+axax cy22222222-+=-acxa yaac设设222-= 0acbb得得即：即：2222+=1 0 xyab

4、abo方程方程: :2222+= 1 0 xyabab是是焦点在焦点在x轴上轴上椭圆的椭圆的标准标准方程方程焦点坐标为：焦点坐标为： f1( -c , 0 )、f2( c , 0 )注注：椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦：椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦 点的中点为坐标原点点的中点为坐标原点.你能类比焦点在x轴上的椭圆标准方程的建立过程，建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程吗？思考思考3xof2f1y)0(12222babxay它表示它表示: 椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴轴 焦点是焦点是f1（0，-c）、）、 f2（0，c） c2= a2 - b2 （2 2）在椭圆两种标准方程中，总有）在椭圆两种标准方程

5、中，总有ab0ab0；（4 4）a a、b b、c c都有特定的意义，都有特定的意义，a a椭圆上任意一点椭圆上任意一点p p到到f f1 1、f f2 2距离和的一半；距离和的一半；c c半焦距半焦距. .有关系式有关系式 成立。成立。椭圆的标准方程椭圆的标准方程of1f2yx(3) 哪个变量下的分母大哪个变量下的分母大, ,焦点就在哪个轴上焦点就在哪个轴上（1）方程的左边是两项）方程的左边是两项平方和平方和的形式，等号的右边是的形式，等号的右边是1；222cba xof2f1y(1)因为因为x项的分母大，故椭圆的焦点在项的分母大，故椭圆的焦点在x轴上。其中轴上。其中a=5,b=4,c=3

6、11625122yx 164100222xy1、判断下列各椭圆的焦点所在的坐标轴并指出、判断下列各椭圆的焦点所在的坐标轴并指出a、b、c的值的值(2)因为因为y项的分母大，故椭圆的焦点在项的分母大，故椭圆的焦点在y轴上。其中轴上。其中a=10,b=8,c=6互动演练（学生讲解，教师点评）（学生讲解，教师点评）14922yx(1)11271622 yx(2)0 ,5(),0 ,5( )3 , 0(),3, 0( 116722yx在椭圆在椭圆 中中, a=_,b=_, 焦点位于焦点位于_轴上，焦点坐标是轴上，焦点坐标是_. 32x在椭圆在椭圆 中，中，a=_, b=_, 焦点位于焦点位于_轴上，焦

7、点坐标是轴上，焦点坐标是_. y472、填空：、填空：3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：、求适合下列条件的椭圆的标准方程：2)a=4,c=1，焦点在，焦点在y轴上；轴上； 1)a=4,b=1，焦点在，焦点在x轴上；轴上； 1151622 xy11622 yx192522yx192522xy5.已知已知f1、f2是椭圆是椭圆 的两个焦点，的两个焦点，过过f1的直线交椭圆于的直线交椭圆于m、n两点，则三角形两点，则三角形mnf2的周长为的周长为 . 192522yx20例例1 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过并且经过点点 .求它的

8、标准方程求它的标准方程. .53(,)22 解解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为22221 (0).xyabab由椭圆的定义知由椭圆的定义知222253532(2)()(2)()2 102222a 典例剖析所以所以10.a 又因为又因为 , ,所以所以2c 2221046.bac因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为221 .106xy思考：能用其他方法求它的方程吗？思考：能用其他方法求它的方程吗？解法二解法二: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上, ,所以设它所以设它的标准方程为的标准方程为: :222

9、21 (0).xyabab2c224ab22532222( )()1ab 又又由由已已知知联立联立,22106ab解解得得，因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: :221 .106xy( 2,0),(2,0) 又又焦点的坐标为焦点的坐标为例例 题题 演演 练练教师总结：椭圆方程的求解步骤教师总结：椭圆方程的求解步骤一定定焦点位置；二设设椭圆方程；三求求a、b的值.2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到平面内到两两个定点个定点f1，f2的距离的的距离的和和等等于于常数常数（大于大于f1

10、f2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，fcfc120,-0,，fcfc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系1、根据所学知识完成下表、根据所学知识完成下表xyf1 1f2 2poxyf1 1f2 2poa2-c2=b2本课小结本课小结2、椭圆方程求法：、椭圆方程求法：一定定焦点位置；二设设椭圆方程；三求求a、b的值.方程221axby什么时候表示椭圆？什么时候表示什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示轴上的椭圆？什么时候表示焦点在焦点在y轴上的椭圆？轴上的椭圆？习题习题2.2 a2.2 a组组 1 1，2 2yxo),(yxpr设圆上任意一点设圆上任意一点p(x，y) 以圆心以圆心o为原点，建立直角坐标系为原点，建