2018-2019学年上海虹口区高二年级第二学期期中统考二数学试卷

1、虹口区2018学年度第二学期期中教学质量监控测试高二数学 试卷一、填空题(本大题共 12小题，每小题3分,满分36分)1、过点(1,0)且与直线x y =0平行的直线方程是 【答案】x -y -1 =02、将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为 2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为 cm2【答案】4二3、以A(1,1), B(3,1)为直径的端点的圆的方程是 【答案】(x -2)2 y2 =24、正方体的外接球体积为 V1,其内切球体积为V2，则V1的值为5、椭圆的长轴长是短轴长的 2倍，它的一个焦点为 «3,0),则椭圆的标准方程是 2【答案】 土 ,

2、y2 =146、已知正四棱锥的底面边长是 2,侧棱长是55 ,则该正四棱锥的全面积为 【答案】12 227 .双曲线2A =1 (a >0 )的一条渐近线方程为y =2x,则a的值为答案：18 .点P是棱长为a的正方体ABCD -ABCD1棱AB1上的动点，则四棱锥P-ABCQ的体积为3答案：曳322229 .已知椭圆 今+=1(m>0刑双曲线步-=1(n>0冶相同白焦点 1F2,点P为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1L,PF2,的值是.答案：1310 .正方形铁片的边长为4cm,以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，剪下一个顶角为B 的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形

3、容器，则这个圆锥形的容器等于 cm3.311 . （A组题）在棱长为a正方体ABCDAB1C1D1中，M、N、P分别是正方形 ABCD、正方形BBGC和正方形ABBA的中心，则过点M、N、P的平面截正方体的截面面积为 .210 / 912 . （A组题）在平面直角坐标系xOy中，C为直线y=5上的动点，以C为圆心的圆C截y轴所得的弦长包为6,过原点。作圆C的一条切线，切点为P则点P至U直线3x+4y25 = 0的距 离最小值为.答案：111、（B组题）在棱长为a正方体ABCDAB1C1D中，M、N分别是正方形ABCD、和BBGC的中 心，则过点A M、N的平面截正方体的截面面积为 .答案：Na

4、2212、（B组题）如果直线3x+4y+a=0被圆（x1，+（y+3 2 =16截得的弦长最长时，实数a的值等答案：9二、选择题13、直线m _L平面a ,下面判断错误的是（）A.若直线n _L m ,则n / aB,若直线n _La ,则n / mC.若直线n / a ,则n _L mD,若直线n / m ,则n _L a 【答案】A214、已知直线l:2x-y+2=0被双曲线C:x2-工=1截得的线段长等于 3芯,下面哪一条直线被双曲12线C所截得的弦长不等于 3后（）AJ :2y -x 2 =0B.l : -2x-y 2=0C.l :2x y 2 = 0D.l :2x-y-2 = 0【答

5、案】A15、有一把三角尺 ABC ,2A = 30，/C=901把边BC放置在桌面上，当三角尺与桌子所在的平面 成60 口的时候，AB边所在的直线与桌面所成的角等于（）.3一二八二r.3A. arcsin B. C. D.arcsrn4634【答案】D416、（ A组题）阅读材料：在空间直角坐标系O-xyz中，过点PM,y0Z ）且一个法向量为n = （a,b,c）的平面a的方程为a(x x)+b y0y+(c Z0 Z0=；过点P( x0, y 0,z 0且一个方向向量为d =(u, v,w "vw=0 )的直线l的方程为x x0 = y y0 = z Zo 根据上面的结论，解决下

6、面问题：已 u v w知平面a的方程为x+2y-2z-4 = 0,直线l是两平面3x 2y 7 = 0与2y z+6 = 0的交线，则直线l与平面a所成角的大小为()A. arcsin314B. arcsin 21C.5、.万 arcsin 4212.377D. arcsin 377(B组题)直线x J3y +2 =0与直线x +J3y + 2 = 0的夹角等于（A.jiB.一4C.一兀D. 一217、抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A(4, 4),过抛物线C的焦点F 作倾斜角等于45?的直线l ,直线1交抛物线C与M , N两点。(1)求抛物线C的方程(2)求线段MN的长

7、【答案】(1)依题意可设抛物线C： y2=2px(p>°), 将A(4,4)代入的16=2pM4,得p = 2抛物线C的方程为y2 =4x设MyJN Hyp ,F (1,0).直线l:y=x-1,联立方程y=x-1(2) y2=4x7肖去 y可彳# x26x +1 =0, x1 +x2 =6MN | =x1 +x2 +1 +1 =8线段MN的长等于818、如图，AB是异面直线a、b的共垂线，长度为2,点C、D分别在直线a、b上，且CD长为4,过线段AB的中点M做平面气线段CD与平面8交点为N(1)求异面直线AB和CD所成角的大小(2)求证：直线a/占且CN =DN过B作直线a使

8、得a / a',过点C乍CE ABfi与a 交于点E,由a/a且CE/ AB, ABE晶平行四边形，,CE=AB连ED,贝L ECDJ大小等于异面直线 ABF口CD 答案(1)所成角的大小，AB±a, AB±b,且a - b=B, AB,平面 BDE, CEL平® BDE,CE±ED,由CE = AB = 2,CD = 4/ECD=E,/. AB和CD所成角的大小为 - 33连BC交背点F,连MF、FN .'；AB ± AB ±MF ,有直线a直线FM在平面BAC 上，二 a/ MF：* a/ d同理可证b/ d,由M

9、是线段AB的中点，a/ MF,从而F是线段BC的中点，： b/ 8由F是线段BC的中点，22x y19、过双曲线万一万-1(|,0)(1)当直线AB垂直于(2)设直线AD与直线 【答案】的右焦点F且与x轴不重合的直线交双曲线 C于A B两个点，定点从而N是线段CD的中点，CN=DNx轴时，求直线AD的方程。x = 1相交于点E,求证：FD/BE2_,: F(2,0),直线 AB: x=2，由 £-匕=1得丫 = ±&2 2当A 2,疝 时，直线AD勺方程为y=(x。),即y = 2&(x3)2二 22 2().L 3L 3当A 2,-72)时，直线AD勺万程

10、为y=-2(x-3)，即y = -2我仅-3)2-3222二直线AD的方程为y = -2V2(x - 3)(2)当直线AB®直于x轴时，由(1)知，若yA = V2,yB = V2直线AD的方程为y = 2拒仅-1),W yE = -72,有FD / BE,若yA=-拒,yB =也 直线AD的方程为 y = _2y/2(x_3)，得yE JtFD / BE 当直线AB垂直于x轴时，设Axa>a) ,B (XB,y b),设直线AB:y=k(x-2), 由 y=k(x-2)222222224k4k ,2x -y =2得(k -1 ) x -4k x+4k +2=0,x A +xB

11、 =,xAxB =-k -1k -111c、3yA-k(x A-2)直线AD: y=A%(x3),将x=1代入得丫£=上口=上一一3233xa -xa -xa -2223 4k24k2 2k(22-2)y _y n 2k2-1 k2-1'=0y e yB30xa 一2, FD / BE 20、(本题12分，(3)小题有分A B题)在三棱锥A-BCD中，AABC和4ABD者B是以AB为 斜边的直角三角形， AB _CD,AB =10,CD =6.(1) 问在AB上是否存在点E ,使得AB _L平面ECD ?(2)如果sbc = s宓bd = 30，求二面角C-AB-D的大小。(

12、3) (A组题)求三棱锥A-BCD体积的最大值。(3) ( B组题)如果SABC =SABD =3。，求三棱锥A-BCD的体积。【答案】20,解: C1)过C作连即.v AB1CD.ABICEr CEcGD = C，血JL平面E8 ，在上存在点E,使得451平面ECD. 3分(2)由(1)知48上平面ECD,NCE0是二 面角C-*一。的平面角.由耳加=登3()/3 = 10，得CE=Z)E = 6，又CD = 6,.ACD£是等边三角形，/CED三生，:二面角C-"_D的大小等于工.一7分 33（3） （A纸题）由4cB = 4QB='，点C,点D在以XB为直径的

13、球上.取CD 2中点尸，连 M.取 4B 中点。，连 0C . 0D .; OC = OD=gAB = 5，ft：.£OECh/O£D =：.ED = EC*：.EFLCD.21k:广%o>+AcdY'S皿3皿,分 JJJSi =Lc0EF=3EF = 3jc» -3" 43CO2-3? = 3右一 一3工=12 .皿2，三梭雒/-AC。体积的大值等于40 （体积单位）以分（3> CB坦题）由（1）知4B_L平面EC。，由S皿-5皿=30，4-10,得 CE = DE = 6 .又CD6, * ACD£是等边三角形：4cM

14、= 96二三椽锥/ - BCD 的御 V =&Sqe x/B = gx9后又 10 = 30百12 分21、（本题14分，（2） （3）小题有分A B题）已知椭圆Q苗式“直线椭2圆C相交于A B两点。（1）如果km，求动直线1所过的定点。4（2） （ A组题）记椭圆C上的定点为D ,如果冗，证明动直线l过定点（1 V.ADBPI0 -2, 3（3） （ A组题）如果 1，点B关于y轴的对称点为B',问直线AB'是否过定点？如果是， b =2求出定点的坐标；如果不是，请说明理由。（2） （ B组题）记椭圆C上的定点为D,如果1证明几。k = 0,b = - 一，Z ADB

15、 =322在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由。【答案】（3） （ B组题）如果 1 ,是否存在实数m ,使得线段AB中点的横坐标等于m?如果存 b =21.解：:由上+b。-一，可知工=1； y-一病足直线/的方程，所以动直线1过 44定点（1,一二）,4,T分Q） （A组JS） 0（0.】），设就yj，8（占jJ,直线 4）： 7=土工 + 1.ykx + l/，消y整理得（2M+1）/+4*仔=0 ,!+/ =1；, 一 .， ,4k设直线的斜率为&,有用& =-1，Xj =-r4-2¥+2则外=（一工1,-；_乂）， 3P = （_马,一1_70.JJ

16、,1、.1、伙，1 蜉一2、 4片，1 - 2甘+1、小壮丁力）+。（-“叩直而（一二诉）+言（一§一7?）=°，I>M&=riai'即-演（一士力）=一工式一上-Y）,二4PBF,从而动直线/过定点尸（0,一1）”,8分 33-1yf = Jbf 一（3） （A组题）设乂（外,月）,B（七,%），则3（吃,/），由, 2消y整理得/,* I+ y = JU ¥2>-32（2/ + l）V-4h-3 = 0的'/二10分设直线48,过定点。（%,为），则月夕=（-/-,必-凶），/。（毛-孙为-乂）,由（一5一玉）色一片）一（5一玉）（ 一月）=0，12分I2k整理得& +丐）仇+；）-附+。（巧-玉）=0,即j仇+ 2） +也（巧一再）=0 ,Xp ，西十1将0=0,%=-2,二直线4F过定点Q（Q-2）.(2)(BffiJH) 0(0,1)» !:y=一1，由.314分V 二3x2 2不4 14 1妨设 “一3厂?' B(