(完整版)勾股定理经典例题(含答案)

1、勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC中，/ C=90°(1)已知 a=6, c=10 ,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c； (3)已知 c=25, b=15,求 a. 思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在4ABC中，/ C=90° , a=6, c=10,b=S(2) 在 ABC中，/ C=90° , a=40, b=9,c= 4= 41(3) 在4ABC中，/ C=90° , c=25, b=15,a=Vi =加举一反三【变式】如图/ B=Z ACD9

2、0 , AD=13, C*12, BG3,则AB的长是多少？【答案】/ ACB90AD=13, CD=12AC2 =AD2- CD =132122二25AC=5/ ABC=90 且 BC=3由勾股定理可得AB 2=Ad- BC2 =5232=16. AB= 4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用求BC的长.2、如图，已知：在 型刀口中，2H=60。，ACO , AB=3013思路点拨：由条件Z5=60° ,想到构造含3。0角的直角三角形，为此作 /O,we于D,则有 工工田=152加a =,2,再由勾股定理计算出 AD DC的长，进而求出 BC的长.解析：作3C于d,则因二3二6

3、00.ABAD = 9O0- 60° = 30° (耘的两个锐角互余)BD=-AB = 5.2(在血中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半)根据勾股定理，在及。口中,AD = JAB2-BD2 =加，=15后 .根据勾股定理，在 皿K力中,8= 4AC2- AD2 = 703-153x3 = 65- BC = BD DC = 654-15 = 80举一反三【变式1】如图，已知：2c = 9。 AU CW , MP_L3日于p.求证：白产：工户+EC°Bkc 做力解析：连结BM根据勾股定理，在 也&RMP中，二片.而在B1LAMF中，则根据

4、勾股定理有= AM2- AP2 .一 ,.一又 AM = CM （已知）， 二一匚二: I .在选/灰田中,根据勾股定理有sm2-cm2? 一 .1- -J.ABCM面积。【变式2】已知：如图，/ B=Z D=90° , / A=60° , AB=4, CD=2求：四边形分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长AB DC交于F,或延长AR BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AR BC交于E。 / A=Z 60° , / B=90° ,/ E=30°。AE=2AB=8

5、 CE=2CD=4bE"=aE-ab2=82-42=48, be=J58 =4、回。 DE= CE2-CD2=42-2 2=12,DE= =2n/J。二 S 四边形 ABC=SaABE-S ACDET 2 AB- be-2 CD- DE= *类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A点出发，沿北偏东 60。方 向走了 口行瓶到达B点，然后再沿北偏西30。方向走了 500m到达目的地Co（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地 C在营地A的什么方向。解析：（1）过B点作BE/AD / DABh ABE=60,30

6、° +/CBA吆 ABE=180/ CBA=90即 ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m AB=-，-由勾股定理可得：AC 3 = BC 3 + AB3所以.1 一”:-（2）在 RtABC中，BC=500m AC=1000m/ CAB=30 / DAB=60/ DAC=30即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车 能否通过该工厂的厂门 ？r*蹴*1CH如图所示，点【答案】由于厂门宽度足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于D在离厂门中线 0.8米处，且

7、 CDLAB, 与地面交于 H.解：。谖1米（大门宽度一半），0.8米（卡车宽度一半）RtAOCD,由勾股定理得：g 一如= ?。®=0 . 6 米，= 0.6 + 2. 3 = 2. 9 （米） 2 .5 （米）.高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四 个村庄A B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是： 最省电线就是线

8、路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较,得出结论.解析：设正方形的边长为1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD =3, AB+BC+CD3图（3）中，在RtABC中£2 = 口或 =也同理'：.】；图（3）中的路线长为2、泛对2£2图（4）中，延长 EF交 BC于 H,贝U FHL BC, BH CH30。4笈=-由/ FBHh2及勾股定理得：EA = ED= FB= FC= 36忑 .EF= 12FH= 1 -3，此图中总线路的长为 4EA+EF= 1 1 3 >2.828>2.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的

9、架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高A B为4cm, B C是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.图，在RtABC中，：6（2=底面周长的一半=1 0cm,根据勾股定理得（提问：勾股定理）AC= 口呼=4,+1胪 =2= 10. 77（ cm）（勾股定理）答：最短路程约为10.77cm.类型四：利用勾股定理作长为赤的线段5、作长为、臣、后、出的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1的等腰直角三角形，斜边长就等于 啦，直角边为J5和1的直角 三角形斜边长就是后,类似地可作。作法：如图所示（2）以AB为一条直角

10、边，作另一直角边为（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形（1）作直角边为1 （单位长）的等腰直角 ACB使AB为斜边;1的直角耳胡。斜边为与工；网尻这样斜边田田、犯、幽、飒的长度就是血、右、，口、亚。举一反三 【变式】在数轴上表示而的点。解析：可以把而看作是直角三角形的斜边，-1。，为了有利于画图，让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3 4AC± OAAC=1,以OC为半径，O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为J1。五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 .原命题

11、：猫有四只脚.（正确）2 .原命题：对顶角相等（正确）3 .原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.4 .原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果A ABC的三边分别为 a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断A ABC的形状。思路点拨：要

12、判断A ABC的形状，需要找到 a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a 2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,（a-3） 2+（b-4） 2+（c-5） 2=0。. （a-3） 2>0, （b-4） 2>0, （c-5） 2>0Oa=3 , b=4, c=5。3 2+42=52,a 2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得AABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举

13、一反三 【变式1】四边形 ABCD4 / B=90° , AB=3 BC=4, CD=12, AD=13求四边形 ABCM面积。【答案】：连结AC/ B=90° , AB=3 BC=4. aC=aB+bC=25 （勾股定理） AC=5 AC2+C5=169, AD2=169 AC2+C6=AD/ ACD=90 （勾股定理逆定理）$西坦爪6 = £曲仁-S皿e=g . 时+:加酬=黏【变式2】已知： ABC勺三边分别为m2- n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且m>n）,判断 ABC是否为直角三角形.分析：本题是利用勾股定理的的逆定理,222只要证明：

14、a +b =c即可证明:二加 44 我.-（班口 +即产所以 ABB直角三角形.【变式3】如图正方形 ABCD E为BC中点，F为AB上一点，且BF=4 AR请问FE与DE是否垂直？请说明。【答案】答：DE! EF。明：设 BF=a,则 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a, EF2=Bp+BE2=a2+4a2=5a2;DU=C+cD=4a2+16a2=20a2。连接DF （如图）D岛AF2+AD=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE, FE IDE经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思

15、路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据 勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x,根据题意得：(3x) 2+ (4x) 2=202化简得x2=16;1，直角三角形的面积=2 X 3xX4x=6x2=96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【答案】如图，等边 ABC彳ADL BC于D2则：BD=BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合) AB= AC= BC= 2 （等边三角形各边都相等

16、）BD= 1在直角三角形 ABD中，aB"=aD+bD,即：AD= .2S ABC= 二 BC- AD= 'Aj=Ad BD2=4-1 = 3注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为75a,则其面积为 a。【变式2】直角三角形周长为 12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x, v,根据题意得：>+> + 5 = 12* +/ = 5。由(1)得：x+y = 7,(x+y) 2=49, x2+2xy+y 2= 49 (3) 一(2),得：xy=12，直角三角形的面积是 2xy=2 X 12=6 (cm2)【变式3】若直

17、角三角形的三边长分别是n+1, n+2, n+3,求n。思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= ( n+3) 2化简彳导:n2=4. . n= ± 2,但当 n= 2 时，n+1= 1<0, 1. n=2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边 哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A、8, 15, 17 B 、4, 5, 6 C 、5, 8,

18、10 D 、8, 39, 40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2=a2+b2的变形：b2=c2 a2= ( ca) (c+a)来判断。例如：对于选择 D,82w ( 40+39) X ( 4039),.以8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A【变式5】四边形 ABCD43, / B=90° , AB=3 BC=4, CD=12, AD=13求四边形 ABCD勺面积。解：连结AC/ B=90° , AB=3 BC=4. AC2=AB+BC=25 （勾股定理）AC=5. , AC2+CDM69, AE2

19、=169 AC2+C6=AD/ ACD=90 （勾股定理逆定理）1 1S四边形ABC=SaABC+SaACE= J AB BC+2 AC- CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 M明口公路PQ在点P处交汇，且/ QPNk 30° ,点A处有一所中学，AP= 160ml假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？AQ 思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于 100m,小于100

20、m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要 求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束 影响学校。解析：作ABX MN垂足为Bo在 Rt AABP中，. / ABP= 90° , / APB= 30° , AP = 160,1AB= AP= 80。(在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)点A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路MN±?gPN方向行驶到点 C处学校开始受到影响，那么AC= 1

21、00(m),由勾股定理得：BC2= 1002-80 2=3600,BC=60。DJAD- 100(m), BD- 60(m),同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么,CD- 120(m)。拖拉机行驶的速度为 ：18km/h = 5m/st = 120m 5m/s = 24s。答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“

22、路”。他们仅仅少走了 步路(假设2步为1巾，却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为 3+4= 7(m)设走“捷径”的路长为 xm,则. 一 ''故少走的路长为 75=2(m)又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了 4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。(1)直接写出单位正三角形的高与面积。(2)图中的平行四边形 ABCDt有多少个单位正三角形？平行四边形ABCM面积是多少?(3)求出图中线段 AC的长(可作辅助线)24x =(2)如图可直接得出平行四边形 ABCDt有24个单位正三

23、角形，因此其面积4(3)过A作AK BC于点K (如图所示)，则在RtACK中,类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC D是斜边BC的中点，E、F分别是AR AC边上的点，且DH DF,若 BE=12, CF=5.求线段 EF 的长。思路点拨:现已知BE CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.解：连接AD.因为/ BAC=90 , AB=AC 又因为 AD为 ABC的中线，所以 AD=DC=DB ADL BC.且/ BAD=/ C=45