勾股定理中的动点题

1、勾股定理中的动点题动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。 这类题目难度较大从数学知识点来看，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程的知识等综合性很强. 从数学思想方法看有：数形结合的思想方法，转化的思想方法

2、，分类讨论的思想方法，方程的数学，函数的思想方法等关键:动点中的分类讨论：抓住运动中的关键点，动中求静.1、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=4，A=120°动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位连接PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t（单位：秒），PEM的面积为S（1）判断PAE与EDM是否全等，说明理由；（2）连接BD，求证：EPMABD；（3）求S与t的函数关系式，并求出PEM的面积的最小值考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三

3、角形的判定；勾股定理；梯形。解答：解：（1）PAEEDM，理由如下：根据题意，得BP=AE=DM=2t，AB=AD=DC=4，AP=DE=42t（1分）在梯形ABCD中，AB=DC，PAE=EDM；（2分） 又AP=DE，AE=DM， PAEEDM（3分）（2）证明：PAEEDM， PE=EM，1=2（4分）3+2=1+BAD， 3=BAD；（5分）AB=AD，；（6分） EPMABD（7分）（3）过B点作BFAD，交DA的延长线于F，过P点作PGAD交于G；在RtAFB中，4=180°BAD=180°120°=60°，BF=ABsin4=4sin60&

4、#176;=SABD= （8分）在RtAPG中，PG=APsin4=（42t）sin60°= （2t） AG=APcos4=（42t）cos60°=2t，GE=AG+AE=2t+2t=2+tPE2= PG2+ GE2 （2t）2+（2+t）2=4t28t+16 EPMABD， = （9分）SEPM=4 ×=；S与t的函数关系式为S= （0t2）（10分）即S=当t=1，S有最小值，最小值为 （12分）另一解法（略解）在RtAPG中，PG=APsin4=（42t）sin60°=（2t）AG=APcos4=（42t）cos60°=2t在RtMFD中

5、，FM=DMsinMDF=2tsin60°=，DF=DMcosMDF=2tcos60°=tGF=AG+AD+DF=2t+4+t=6，GE=AG+AE=2t+2t=2+t，EF=ED+DF=42t+t=4t；SEPM=S梯形PGFMSPEGSEFM=（0t2） 2、（2010湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，D=90°，ACBC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0t5）（1）求证：ACDBAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC

6、的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。解答：解：（1）CDAB，BAC=DCA（1分）又ACBC，ACB=90°，D=ACB=90°，（2分）ACDBAC（3分）（2） 4分 ACDBAC 5分即 解得： 6分（3） 过点E作AB的垂线，垂足为G， ACBEGB 7分 即 故 8分 = 故当t=时，y的最小值为193、（2007河北）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P从点B出发沿折线段BAADDC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段C

7、B方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QKBC，交折线段CDDAAB于点E点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQDC；（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行四边形的判定。解：（1）t =（50755

8、0）÷5=35（秒）时，点P到达终点C（1分）此时，QC=35×3=105，BQ的长为135105=30（2分）（2）如图8，若PQDC，又ADBC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50755t=3t，解得t=经检验，当t=时，有PQDC（4分）（3）当点E在CD上运动时，如图9分别过点A、D作AFBC于点F，DHBC于点H，则四边形ADHF为矩形，且ABFDCH，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30DH=AF=40又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·=4t（注：用相似三角形求解亦可）S=S

9、QCE =QE·QC=6t2；（6分）当点E在DA上运动时，如图8过点D作DHBC于点H，由知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QCCH=3t30S= S梯形QCDE =(EDQC)DH =120t600（8分）（4）PQE能成为直角三角形（9分）当PQE为直角三角形时，t的取值范围是0t25且t或t=35（12分）（注：（4）问中没有答出t或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：当点P在BA（包括点A）上，即0t10时，如图9过点P作PGBC于点G ，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四边

10、形PGQE为矩形，此时PQE总能成为直角三角形当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10t25时，如图8由QKBC和ADBC可知，此时，PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t503t3075，解得t当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25t35时，如图10由ED25×330=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故EPQ不会是直角由PEQDEQ，可知PEQ一定是锐角对于PQE，PQECQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，PQE=90°，PQE为直角三角形综上所述，当PQE为直角三角形时，t的取值范围是0t25且t或t=354、

11、（2009青岛）如图，在梯形ABCD中，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE若设运动时间为（s）（）解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由考点：平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质。解：（1） 而， ， 当 2分（2）平行且等于，四边形是平行四边形 ， 过B作，交于，过作，交于

12、， 又， ， ， 6分（3）若，则有， 解得（4）在和中， 在运动过程中，五边形的面积不变 12分5、如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，D=90°，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm点P由点C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF当点P与点Q相遇时，所有运动停止若设运动时间为t（s）（1）求AB的长度；（2）当PECD时，求出t的值；（3）设PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；如图2，当PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时，则t的值是多少？（直接写出答案）考点：相似

13、三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形；三角形的外接圆与外心。解：（1）过A作AMBC于M，则四边形AMCD是矩形；AD=MC=9cm，AM=CD=12cm；RtABM中，AM=12cm，BM=BCMC=6cm；由勾股定理，得：AB=6cm（只写答案给1分）（3分）（2）D=90°，AD=9cm，CD=12cm，AC=15cmAP=15t 当PECD时AEPADC= 即 解得 （符合题意） 当PECD时，t=45/8（3）过点E，F作EGAC于G，FHAC于H因为AC=BC；EFAB易证AQ=AE=t（1分）在RTADC中，sinDAC=DC/AC=1

14、2/15 EG=AE×sinDAC=12/15t；ADBC ACB =DAC FH=CF×sinACB=CF×sinDAC=12/15(15-t)=12-12/15tPQ=15-2t EG+FH=12SPEF=SPQE+SPQF=+= = 12t+90；易知：AE=CP=t，AP=CF=CQ=15t，EAP=FCP，AEPCPF，EP=PF；EF是O的直径 EPF=90°；EPF是等腰直角三角形；易知EF=AB=6cm；S=1/2×6×3=45cm2；代入的函数关系式，得：12t+90=45，解得t=（3分）点评：此题考查了直角梯形的

15、性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力 6、如图，在直角梯形中OABC，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM若设运动时间为t（s）（0t8）（1）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形OAB与相似？（2）设DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（3）连接ME，在上述运动过程中，五边形MECBD的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由 考点：相似三角形的判定与性质；全等三

16、角形的判定；直角梯形。专题：综合题；动点型；分类讨论。解：（1）分类讨论。 若BAOBDM，则，（1分）在直角梯形中OABC由B（8，6）、C（10，0）可知AB=8，OA=6：OB=OC=108/t=10/10-t 解得t=40/9 （2分）若BAOBMD，（3分）即8/10-t=，解得t=；（4分）所以当t= 40/9 t=50/9，以B，D，M为顶点的三角形与OAB相似（2）过点M作MFAB于F，则BFMBAO；从而MF/6=(10-t)/10，所以MF=65/3×t，（5分）SBDM=1/2BDMF=1/2t（65/3×t），（6分）容易证BDNOBCSOBC=1/

17、2×10×6=30，SBDM / SOBC =（）2，所以SBDN=t2（7分）当0t5时，y=SDMN=SBDMSBDN=t（6t）t2=t2+3t；当5t8时，y=SDMN=SBDNSBDM=t2t（6t）=（8分）（3）在BDM与OME中，BD=OM=t，MBD=EOM，BM=EO=10t，所以BDMOME；（9分）从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积，因此它是一个定值，SMECBD=30（10分）点评：此题考查的知识点有：直角梯形的性质、相似三角形及全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（2）题中一定要根据M、N的不同位置分类讨论，以免漏解 7、

18、如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=4，BDCD，E是BC的中点（1）求DBC的度数；（2）求BC的长；（3）点P从点B出发沿BC以每秒3个单位的速度向点C匀速运动，同时点Q从点E出发沿ED以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t（s），连接PQ当t为何值时PEQ为等腰三角形考点：梯形；等腰三角形的判定。解：（1）设DBC=x，因为ADBC，AB=AD，所以ABD=ADB=x，四边形ABCD为等腰梯形，BCD=2x，又BDCD， 所以x+2x=90°，即x=30°即DBC=30°（2）在RtBCD中，E

19、是BC的中点，所以DE=BE=CE又C=60°，所以CDE为等边三角形所以DE=DC=4，即BC=2DE=8（3）若点P在BE上，因为PEQ=120°，所以PE=QE；即43t=t，解之t=1s；若P在EC上，因为PEQ=60°，所以PE=QE，即3t4=t，解之t=2s所以当t=1s或t=2s时，PEQ是等腰三角形8、（2009乐山）如图在梯形ABCD中，DCAB，A=90°，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发

20、，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连接PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？考点：梯形；二次函数的最值。专题：分类讨论。解：（1）作CEAB于E，则四边形ADCE是矩形 又.2分在中，由勾股定理得：3分（2）要使PC与BQ相互平分由，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，此时在上）由（1），得AB=4+8=12，则PB=122t即解得即秒时，与相互平分（3）当在上，即时，作于，则即 8分= 9分当秒时，有最大值为 10分当在上，即时，=易知随的

21、增大而减小故当秒时， 有最大值为 综上，当时，有最大值为 12分 9、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AD=6，BC=12，梯形ABCD的面积为36，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向点B运动，两点同时出发，点P到达点C时，Q点随之停止运动（1）线段CD的长为5；（2）设P、Q运动时间为t（0t5）秒，PQ与梯形ABCD的边DC、BC所围成的三角形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使以P、Q、C三点为顶点的三角形是直角三角形，若有，请求出相应时间；若没有，请说明理由考点：梯形；一次函数综

22、合题；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质。专题：代数几何综合题；存在型；分类讨论。分析：（1）作AEBC，DFBC，则四边形ADFE是矩形，ABEDCF，由勾股定理可求得CD的值；（2）过点P作PGBC于点G，则PG是PCQ的高，由平行线的性质可求得高PG用t表示的代数式，而CQ=2t，故可求得S与t的关系式；（3）分两种情况讨论：当PQBC时，作DEBC于E，由平行线分线段成比例可求解；当QPCD时，可由相似三角形的性质求解解答：解：（1）作AEBC，DFBC，垂足分为点E、F，则四边形ADFE是矩形，EF=AD=6，AE=DF，由题意四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，AEB=D

23、FC，ABEDCF，CF=BE=（BCEF）÷2=3梯形的面积为36，DF=36×2÷（AD+BC）=36×2÷（6+12）=4在RtCDF中，由勾股定理得CD=5； （2）过点P作PGBC于点G，则PG是PCQ的高，有PGDF，PG：DF=CP：CD，DP=t，CD=5，DF=4，PC=CDDPPG=，CQ=2t，SPCQ=CQPG=2t= （3）当P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形时，有两种情况：当PQBC时，作DEBC于E， PQDE，=， t=（7分）当QPCD时， QPC=DEC=90°，C=C，QPCDEC，=，=，t

24、=（9分）由、知：当t=或时，P、Q、C三点构成的三角形是直角三角形点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了平行线分线段成比价的性质、相似三角形的知识注意处级（3）小题要分两种情况讨论 10、菱形ABCD的边长为24厘米，A=60°，质点P从点A出发沿着ABBDDA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DCCBBD作匀速运动（1）求BD的长；（2）已知质点P、Q运动的速度分别为4cm/秒、5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问AMN是哪一类三角形，并说明理由考点：菱形的性质。专题：计算题；动点型。分析：（1）根据菱形各边长相等和A=60°即可求证ABD为等边三角形；（2）根据菱形的边长和P、Q的移动速度可以求得M、N的位置，即可求得AMN的形状解答：解：（1）菱形各边长相等，边长为24cm，A=60°，ABD为等边三角形，BD=24厘米，（2）P点的移动速度为4cm/秒、Q的移动速度为5cm/秒，故12秒后P与D重合、Q点为线段BD的中点， AMN为直角三角形点评：本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了等边三角形的判定，考查了等腰三角形的腰长相等的性质，本题中正确求得M、N的位置是解题的关键11、如图矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，在