有理数及其运算全章复习与巩固基础知识讲解

1、有理数及其运算全章复习与巩固【知识网络】要点一、有理数的相关概念 1有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大3相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0 要点诠释：

2、（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负4绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 数a的绝对值记作 （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离要点二、有理数的运算 1 法则：（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝

3、对值一个数同0相加，仍得这个数2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数即a-b=a+(-b) 3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同0相乘，都得04）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数即a÷b=a·(b0) 5）乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是06)有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号

4、的个数，例如：（3）=3，+（3）=3（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3）×（2）×（6）=36，而（3）×（2）×6=36（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， 2运算律： （1）交换律: 加法交换律:a+b=b+a； 乘法交换律:ab=ba；（2）结合律: 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； 乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方

5、法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法（4）作商比较法；（5)倒数比较法要点四、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中1，是正整数），此种记法叫做科学记数法例如：200 000=【典型例题】类型一、有理数相关概念1若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身则这个数分别为(1)_；(2)_；(3)_；(4)_；（5）_ 【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1 【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全 【总结

6、升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念举一反三：【变式】(1)的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 -（-8）的相反数是 ；的相反数的倒数是_.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-58元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 (3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 mmin(4) 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则_ 【答案】（1）； ； ；-8；2 （2）降价58元，702 元；（3）；（4）3；2如果(x-2)2+|y-3|0，那么(2x-y)2005的值

7、为( ) A1 B-1 C22006 D32005【思路点拨】利用非负数的性质，求出的值再代入计算【答案】A【解析】 因为(x-2)2，|y-3|都是非负数，且(x-2)2+|y-3|0， 所以由非负数的性质先求出x=2，y =3的值，代入得： (2x-y)2005=12005=1【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性3在下列两数之间填上适当的不等号： _【思路点拨】根据“a-b0，a-b0，a-b0分别得到ab，ab，ab”来比较两数的大小【答案】 【解析】解法一：作差法由于，所以解法二：倒数比较法：因为所以举一反三：【变式】比较大小：(1)_0.001； (2)_-0.68【答案】（1）

8、（2）类型二、有理数的运算4（1）（12）5+（14）（39）（2）32÷（3）2+3×（2）+|4|（3）（4）【答案与解析】解：（1）（12）5+（14）（39）=12514+39=31+39=8（2）32÷（3）2+3×（2）+|4|=9÷96+4=16+4=3（3）=×60×60×60=10258=23（4）=×（）÷（）32=×232=×30=24（5）举一反三：【变式】计算：（1）（2）【答案】解：（1）（2）=-16+4-3×1=-15类型三、数学思想

9、在本章中的应用5（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系 A-aa1 B1-aa C1-aa Da1-a （2）分类讨论思想：已知|x|5，|y|3求x-y的值 （3）转化思想：计算：【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a1-a，所以大小关系为：a1-a 所以正确选项为：D（2）因为| x|5，所以x为-5或5 因为|y|3，所以y为3或-3当x5，y3时，x-y5-32 当x5，y-3时，x-y5-(-3)8 当x-5，y3时，x-y-5-3-8 当x-5，y-3时，x-y-5-(-3)-2 故（x-y）的值为±2或

10、77;8（3）原式=【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段数形结合“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知” 举一反三：【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解： 当a0时，|a|-aa-a0； 当a0时，|a|-a0-00； 当a0时，|a|-a-a-a-2a0 所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数类型四、规律探索 6将1，按一定规律排列如下： 请你写出第20行从左至右第10个数是_【答案】【解析】

11、 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+20210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是拔高：类型一、有理数相关概念7已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）20，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值【思路点拨】 (1)若有理数x与y互为相反数，则x+y0，反过来也成立 (2)若有理数m与n互为倒数，则mn1，反过来也成立【答案与解析】解：因为

12、x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）20， 所以x+y0，mn1，a1， 所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 a2-(0+1)a+02009+(-1)2010 a2-a+1 a1，原式12-1+11【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念举一反三：【变式1】选择题（1）已知四种说法： |a|=a时，a>0； |a|=-a时， a<0 |a|就是a与-a中较大的数 |a|就是数轴上a到原点的距离 对于任意有理数，-|a|a|a| 其中说法正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 （2）有四个说法： 有最小的有理数 有绝对值最小

13、的有理数 有最小的正有理数 没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ） A B C D （3）已知(-ab)3>0，则（ ） Aab<0 Bab>0 Ca>0且b<0 Da<0且b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A120 B-15 C0 D-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ ） A-a6与(-a)6 B-a3与|-a|3 C(-a)23与(-a3)2 D(ab)3与ab3 【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C【变式2】明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼

14、岛最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为4680000，这个数用科学记数法表示为 【答案】 8 在下列两数之间填上适当的不等号： _ 【思路点拨】在a、b均为正数的条件下，根据“，分别得到ab，ab，ab”来比较两数的大小【答案】 【解析】解法一：作差法：（）=， 解法二：作商法：由于，所以 再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用举一反三：【变式】在下列两数之间填上适当的不等号 _ 【答案】 （提示：倒数法较简便）类型二、有理数的运算9(1) (2) (4)(5)【答案与解析】解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）举

15、一反三：【变式】（1）（2）【答案】解：（1）（2） 10先观察下列各式：；，根据以上观察，计算：的值【答案与解析】解：原式【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成的形式，然后再进行计算举一反三：【变式】用简单方法计算：【答案】解：原式=类型三、数学思想在本章中的应用11（1）数形结合思想：已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值 A2b+a B2b-a Ca Db（2）分类讨论思想：已知a是任一有理数，试比较|a|与-2a的大小（3）转化思想：【答案与解析】解：（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a0，b0，且|a|b|，所以|

16、a|-|a+b|-|b-a|-a+a+b-b+aa（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：当a0时，|a|a0，-2a0，所以|a|-2a；当a0时，|a|0，-2a0，所以|a|-2a；当a0时，|a|-a>0，-2a0，又-a-2a，所以|a|-2a综上所述：当a0时， |a|-2a；当a0时，|a|-2a（3）【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段数形结合“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知” 类型四、规律探索

17、 12下面两个多位数1248624，6248624都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A495 B497 C501 D503【思路点拨】多位数1248624是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以

18、2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4495，所以选A【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）A B C D【答案】B提示

19、：观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的倍根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是【巩固练习】一、选择题1下列判断正确的个数有( ) (1)任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等 (2)若两个有理数互为相反数，则这两个数互为倒数 (3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个有理数也相等 A0个 B1个 C2个 D3个2下列各数中最大的是( ) A23 B-32 C(-3)2 D(-2)33 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-中，负数的个数是 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个据有关

20、资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（ ）A2.02×人 B202×人 C2.02×人 D2.02×人5若-1<a<0,则a，从小到大排列正确的是（ ） Aa2<a< Ba << a2 C<a< a2 Da < a2 <6在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A6 B-6 C-1 D-1或67a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A a+b>0 B ab>0 C>0 Da-b>0 8已知有理数，在数

21、轴上对应的两点分别是A，B请你将具体数值代入，充分实验验证：对于任意有理数，计算A， B两点之间的距离正确的公式一定是（ ） A B C D二、 填空题9.对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么-3克表示_.10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是_.11德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为_ _千米12，则； ，则.13已知实数a , 在数轴上如下图所示，则= . 14若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= 15 16观察下列算式： ，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：.三、 解答题17计算： （1）（2）（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19（4）18已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，且x的绝对值为3，求2x2-(ab-c-d)+|ab+3|的值19某地的气象观测资料表明，高度每增加1k