圆锥曲线的中点弦问题

1、第1页关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题， 是解析几何中的重要内容之一， 也是高考的一个热点问题。 这类问题一 般有以下三种类型：(1) 求中点弦所在直线方程问题；(2) 求弦中点的轨迹方程问题；(3) 求弦中点的坐标问题。 其解法有代点相减法、 设而不求法、 参数法、 待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题2 2例 1 1、过椭圆 L L 厶1内一点 M(M(2 2, 1 1)弓I一条弦，使弦被点 M M 平分，求这条弦所在的直线方程。164解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：2 2 2 2(4k1

2、)x8(2k k)x 4(2k1)160又设直线与椭圆的交点为 A(A(x-i, y1) ) , B B (x2, y2),则x1, x2是方程的两个根，于是8(2k2k)2,4k 1两式相减得x 2y 4由于过 A A、B B 的直线只有故所求直线方程为x 2y40。二、求弦中点的轨迹方程问题2 2例 2 2、过椭圆 L 1上一点 P P (-8-8 , 0 0)作直线交椭圆于6436解法一：设弦 PQPQ 中点M( x, y)，弦端点 P P (x1, y1), Q(Q(x2, y2),2 2则有9笃励打576,9x216X1x2又 M M 为 ABAB 的中点，所以x1x2224(2k

3、k)4k21故所求直线方程为x2y 40。解法二：设直线与椭圆的交点为A*, yj,B B (X2,y2), M(2M(2,所以x1x24,y1y22又 A A、B B 两点在椭圆上， 则X124y1216,2 2X24y216,两式相减得(x2X2)4(y12y22)0,所以也一y2X1X2-，即2kAB14( y1y2)2，x 2y 4A(A(x ,y) )，由于中点为 M(2M(2, 1 1),则另一个交点为B(4B(4- -X ,2 y) )，因为AB B 两点在椭圆上,所以有(42Xx)24y24(216y)2160，条，Q Q 点，求 PQPQ 中点的轨迹方程。0。1 1)为 AB

4、AB 的中点,故所求直线方程为解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为1解得k -,2第2页y2576第3页两式相减得9(x12x22) 16( y/ y22) 0,又因为XiX22x,yiy 2y，所以9 2x(xiX2) 16 2y(yiy2)0,即4(x 4)24 i，6436三、弦中点的坐标问题 例 3 3、求直线y x i被抛物线y24x截得线段的中点坐标。解：解法一：设直线y x i与抛物线y24x交于A(xi,yi)，B(X2, y?)，其中点P(Xo,y。)，由题意得y x i2y 4x消去 y y 得(x i)24x，即x26x i 0，所以yiy29xXiX2i6y而kpQy0

5、,9xy故x (8)i6y x 8化简可得9x272xi6y20(x8)。解法二：设弦中点M( x, y)Q(Xi, yi),yiy7可得Xi2x8,yi2y,又因为 Q Q 在椭圆上，所以2Xi642yi36所以 PQPQ 中点 M M 的轨迹方程为(x 4)2i6i(X8)。第4页yi24Xi，两式相减得y22yi2y24x2所以Syi)yi)4x2xi所以x0XiX223，yoxoi2,即中点坐标为(3,2)。解法二：设直线yx i与抛物线y24x交于A(xi, yi)，B(X2,y2)，其中点P(xo,yo)，由题意得4(x2Xi)，第5页所以yiy 4，即y 2,X。y。13，即中点

6、坐标为（3,2）。上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论2 2设A、B B 是二次曲线C：AxCyDxEy F 上的两点，pEpEyo）为弦AB的中点，则2AX0D（2Cy2CyE 引理kABE 0)2设A(XI,yJ、B B(x2,y2)则AxiAx22(2)得A(Xi2Ax(XiX2)X2)(XiX2)-(2Ax0-2Cy0(说明：2Ax2Cy0推论 ikAB则推论立。假设点推论D)(Xi当AD乍)2设圆x2X0小2Cyi小2Cy2C(yiDxiEyiF 0.( i i)2Cyo(yiy2)D(xiX2) (2Cy0E)(yiXiX2DX2y2

7、)(yiX2)y2)Ey2F 0y2)D(xiE(yiy2)X2)yiy2xix22AX0D2CyE即kAB上面的结论就是过二次曲线 C C(2)E(yiy2)02 Ax0D2Cy0E。上的点 P P（Xo,yo）的切线斜率公式，即DXEy F 0的弦 ABAB 的中点为P(X0, y)(y00)2y。E2X设椭圆a2。（假设点 P P 在圆上时，则过点 P P 的2yb2i的弦 ABAB 的中点为2x0D2yE切线斜率为）P P 在椭圆上，则过点2X3设双曲线a2kP P 的切线斜率为P(x0,y)(bl?昼2 a y)y。kAB0)，则b2?X02a y0。（注：对 a a b b 也成上

8、，则过 P P 点的切线斜率为推论 4设抛物线2y_b2i的弦 ABAB 的中点为k g?$ay）p p（x。，y。）(y0kAB0)则bl?Xc2a y0。（假设点 P P 在双曲线2 px的弦 ABAB 的中点为 P P（X0，y0）（y。kAB0)则卫y0。（假设点 P P 在抛物线上，则k ）过点 P P 的切线斜率为y0我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。2Xi i、求椭圆252止ii6斜率为 3 3 的弦的中点轨迹方程。:设 P P75、24i3y y）是所求轨迹上的任一点，则有75、X24i）i6 x?一25 y，故所示的轨迹方程为 i6x+75y=0i6x+

9、75y=0第6页22第7页X2例 2 2、已知椭圆a2 ,2a b求证:爲1(a b b22 ,2a bX00)，A A、B B 是椭圆上两点，线段 ABAB 的垂直平分线 I I 与 x x 轴相交于P P(x0,0)证明:a。设 ABAB 的中点为 T T(X1，y1)b2a2_?生y1由题设可知 ABAB 与 x x 轴不垂直，y10,2ayiI I 的方程为:2aX1a2a2?X0b2b2X0/ I I 丄 ABAB2宀Xb X-!?Xi)/ I X1| ab2令 y=0y=02a Iyi2詁?(x0X1)a2例 3 3、已知抛物线C:y X，直线l:y k(x 1) 1,要使抛物线 C C 上存在关于l对称的两点，k的取值范围是什么?解：设中点为kABC