圆周运动中临界问题

1、第1页共 7 页圆周运动中的临界问题教学目的：会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题教学重点：掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题教学难点：会分析判断临界时的速度或受力特征教学内容一、有关概念1 向心加速度的概念2、向心力的意义（由一个力或几个力提供的效果力）二、内容1 在竖直平面内作圆周运动的临界问题（1）如图 42-2 和图 42-3 所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况:能过最高点的条件：V.Rg，当 v .Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力;不能过最高点的条件：vvv临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）（2）如图 424 的球过最高点时

2、，轻质杆对球产生的弹力情况：1当 v=0 时，FN=mg （FN为支持力）；2当 Ovvv. Rg 时，FN随 v 增大而减小，且 mgFN 0,FN为支持力;3当 v=.、Rg 时，FN=O；当 v . Rg 时，FN为拉力，FN随 v 的增大而增大图 424图 425若是图 425 的小球在轨道的最高点时，如果 v.Rg，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.例 1 长 L = 0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 0 点，上 2kg 的小球 A ,A 绕 0 点做圆周运动（同图 5）,在 A 通过最高点， 下杆的受力：当 A 的速率 vi= 1m/s 时当 A 的速

3、率 v2= 4m/s 时解析：Vo=JgL= 10X0.5 m/ s= . 5 m / s小球的速度大于,5 m/s 时受拉力，小于 5 m/s 时受压力。 解法一：Vo临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用:图 4-232V mg=mR向上的支持力 Nv临界端连接着一个质量试讨论在下列两种情况图46第2页共 7 页当 vi= 1m/sv5 m/s 时，小球受向下的重力 mg 和第3页共 7 页m= 0.2 kg 的小球，使之在斜面上作圆周运动，求：（1）小球如细绳受到 9.8N 的拉力就会断裂，求小球通过最低点B2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度3变化时，

4、 物体有远离或向着圆心运动的要根据物体的受力情况,绳的拉力等）。通过最高点 A 时最小速度;时的最大速度（半径有变化）趋势。这时，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力， 如静摩擦力、例 3 如图 9 所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为B=30,条长度为 L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点0 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物体可看质点），物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。求绳对物体的拉力;求绳对物体的拉力。解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为2mgtcm30 m0（2分）（1）当

5、i1iglo时,有 T sin 30N cos 30ml sin 30T cos30N sin 30（ ?）当mg （2 分）解得 T13 3mg 1.03mg（2 分）球离开锥面，设绳与轴线夹角为，则32gl0时，小2v 由牛顿第二定律mg N = m 解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的的情形。/v2由牛顿第二定律mg+ F = m 得 F = m（匚g）当 vi= 1m/s 时，Fi= 16NFi为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小

6、球受力应向上,为支持力。则杆应受压力。当 V2= 4m/s 时，F2= 44N。F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。N = mg mv2=16N即杆受小球的压力 16N。当 V2= 4m/s 5 m/s 时，小球受向下的重力 mg 和向下的拉力 F,由牛顿第二定律v2mg + F = m匸mgoXf mg即杆受小球的拉力F= m L mg= 44N44N。例 2 如图 4 所示，在倾角9=30的光滑斜面上，有一长I = 0.4m 的细绳，一端固定在 0 点，另一端拴一质量为时,时,0，则有图 926第4页共 7 页第5页共 7 页最大静摩

7、擦力 2N。再对 M 运用牛顿第二定律有T + fm= M322r解得32= 6.5 rad/ s所以，题中所求3的范围是：2.9 rad/s36.5 rad/s例 6 如图 8 所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大 倍。求：当转盘角速度31= ,时，细绳的拉力 T1。T cos mg （2 分） T sin ml sin 30（2 分）解得 T 2mg（2 分）例 4 如图 6 所示，两绳系一质量为m= 0.1kg 的小球，上面绳长 L = 2m,两端都拉直时与轴的夹角分别为30与 45,问球的角速度在什么范围内，两绳始终张

8、紧，当角速度为3 rad/s 时，上、下两绳拉力分别为多大？解析：当角速度3很小时，AC 和 BC 与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当3逐渐增大到30时，BC 才被拉直（这是一个临界状态），但 BC 绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为31，则有：TACCOS30= mgTACSin30=m312Lsin30将已知条件代入上式解得31= 2.4 rad / s当角速度3继续增大时TAC减小，TBC增大。设角速度达到32时，TAC= 0 （这又是一个临界状态），则有:TBCCOS45= mgTBcsin45 =m322Lsin30将已知条件代入上式解得32= 3.16 rad/s所以 当3满足

9、2.4 rad / s33.16rad/s 时，TAC= 0，BC 与轴的夹角大于 45。例 5 如图 7 所示，细绳一端系着质量 M = 0.6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m=0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为 0.2m，并知 M 和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动,问角速度3在什么范围 m 会处于静止状态？ （ g= 10m/s2）先以 m= 0 为题引入，由浅入深解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。而 M与平面静止时有两个临界状态：当3为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向 背离圆心，

10、大小等于最大静摩擦力2N。此时，对 M 运用牛顿第二定律。有T fm= M312r且T = mg解得31= 2.9 rad/ s当3为所求范围最大值时,M 有背离圆心运动的趋势，水平面对M 的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于图 6转轴的距离为 r 时， 连接 静摩擦力是其下压力的第6页共 7 页块。A 的质量为，离轴心，B 的质量为，离轴心T2。解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为(1 )因为，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为 0，即。(2)因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体

11、施加拉力，由牛顿的第二定律得:3、连接体的临界问题例 1、如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m 的小物体 A、B， A、B 间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为 RA=20cm，RB=30cm。A、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4 倍，试求:(1) 当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度30；(2) 当 A 开始滑动时，圆盘的角速度3；(3) 当即将滑动时，烧断细线， A、B 状态如何？答案：(1)当细线上开始岀现张力时，表明B 与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为3是 kmg=mB32解得：0kg/rB=3.7rad/s又: FfAm=FfBm=kmg解得

12、3=4rad/s。(3)烧断细线，A 与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为 rA=20cm 的圆周运动，而 B 由于 FfBm不足以提供必要的向心力而做离心运动。答案：(1)3.7rad/s4rad/s (3)A做圆周运动，B 做离心运动分析：1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。但也可用整体法来求解。三、巩固练习1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为310 m/s 时，车对桥的压力为车重的 4。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为()A、1

13、5 m/ sB、20 m/ sC、25 m / sD、30m/ s2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B 两，则，解得，解得当 A 开始滑动时，表明 A 与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为3,线上拉力为FT则，对 A： FfAm-FT=mrA3对B:FfBm+FT=mrB3当转盘角速度3时，细绳的拉力0第7页共 7 页,A、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5 倍，试求（1） 当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？（2） 欲使 A、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）解析：（1） 较小时，A、B 均由

14、静摩擦力充当向心力，增大，可知，它们受到的静摩擦力也增大，而，所以 A 受到的静摩擦力先达到最大值。再增大，AB 间绳子开始受到拉力。由，得：（2） 达到 后，再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于 A 增大的向心力超过 B 增加的向心力， 再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如再增加,B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如再增加，就不能维持匀速圆周运动了， A、B 就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为 ，绳中张力为 ，对 A、B 受力分析：对 A 有对 B 有联立解得:3、 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R

15、 （比细管半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量 m!, B 球的质量为 m2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为 vo,设 A 球运动到最低点，B 球恰好运动到最高点。若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么 mi、m2、R 与v0 应满足的关系式是_ 。（97 年高考题）4、如图 39-3 所示，物体 P 用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆 转动，若转动角速度为3,则 ABCA.3只有超过某一值时，绳子AP 才有拉力B .绳子 BP 的拉力随3的增大而增大C .绳子 BP 的张力一定大于绳子 AP 的张力D .当3增大到

16、一定程度时，绳AP 的张力大于 BP 的张力5、如图 2 所示，在匀速转动的水平圆盘上， 沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体 A 和 B,它们与盘间的摩擦因数相同.当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是【】A 两物体均沿切线方向滑动B. 两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远C. 两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动團 39-3图 2第8页共 7 页D. 物体 A 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动； 物体 B 发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远6、半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示.顶部有一小物体甲，今给

17、它一个水平初速度 vo=.gR，物体甲将A .沿球面下滑至 M 点B .先沿球面下滑至某点 N，然后便离开球面做斜下抛运动第9页共 7 页C.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动D .立即离开半圆球做平抛运动7、长度为 0. 5m 的轻质细杆OA，A 端有一质量为 3kg 的木球，以 0 点为圆心，在竖直面 内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为2m/s，取 g = 10 m/s2，则此时球对轻杆的力大小是，方向向。8、如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两物体 和 B,它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好没有发生滑动时，烧断细线,

18、则两物体的运动情况将是A 两物体均沿切线方向滑动B 两物体均沿半径方向滑动，远离圆心C.两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会滑动D .物体 A 仍随圆盘做匀速圆周运动，物体B 沿曲线运动， 远离圆心9、如图所示，木板 B 托着木块 A 在竖直平面内作匀速圆周运动，从与圆心相平的位置动到最高点 b 的过程中（）A、 B 对 A 的支持力越来越大B、 B 对 A 的支持力越来越小C、 B 对 A 的摩擦力越来越大D、 B 对 A 的摩擦力越来越小10、如图所示，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球让它们在光滑的水平面内做匀速圆周运动，其中 O 为圆心，两段绳子在同一直线上，此时，两段绳子受到

19、的拉力之比T1: T2为（）A、1 : 1B、2 : 1C、3 : 2D、3 : 111、如图所示，小球 M 与穿过光滑水平板中央的小孔 0 的轻绳相连，用手拉着绳的另一端使 作半径为a ，角速度为3 1的匀速圆周运动， 求：（1）此时 M 的速率.（2）若将绳子突然放松一段, 间后又拉直，此后球绕 O 作半径为 b 的匀速圆周运动，求绳由放松到拉直的时间t .12、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为 与细管内径相同的小球（可视为质点），A 球的质量为经过最低点时的速度都是 v,设 A 球运动到最低点时， 合力为零，那么 m1, m2, R 与 v0应满足的关系。R （比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径m1, B 球的质量为 m2,它们沿环形圆管顺时针运动, B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的AM 在水平板上第10页共 7 页圆周运动补充1.一探照灯照射在云层底面上，云层底面是与地面平行的平面，如图所示，云层底面距地面高h,探照灯以角速度3在竖直平面内转动，当光束转到与竖直方向夹角为B时，云