高数竞赛试题集

1、高等数学竞赛一、填空题sin x若 lim (cosx b) =5，则 a =x »0eX a(n _ 1)x 设f (x) lim 2，则f (x)的间断点为x = .ye nx +1曲线y=lnx上与直线x - y =1垂直的切线方程为 .已知 f (ex) = xe，且 f (1) = 0, 则 f (x) = .3“、lx =t3 +3t +1设函数y(x)由参数方程3确定，则曲线y = y(x)向上凸的x取值y =t -3t +11.2.3.4.5.范围为6.设 y = arctanex - ln. e2x，则史+1 dx xa17若 x > 0时，(1 ax2)4

2、-1与xsin x是等价无穷小，则a=8.9.10.x2xeX22，则 i f (x -1)dx2n由定积分的定义知，和式极限lim V2n心n k、单项选X x2 -1择题13 .11 .把X 0时的无穷小量、'-二X2Xo cost dt, tan . tdt,=】P a Y.1, J【 】丘 3sint dt,使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【(A)：，.(B): ,.(C)12 设函数f(x)连续，且f(0)0,则存在0，使得(A) f(x)在(0,；)内单调增加.(C)对任意的 X (0 )有 f(x)>f(0).设 f(X)二 X(1 - X)，

3、则 【(D)(B ) f(x)在 (j,0) 内单调减少. (D)对任意的 X (-： ,0)有 f(x)>f(0).(A )(B)(C)(D )=0是f (x)的极值点，但(0, 0)不是曲线y = f (x)的拐点. =0不是f (x)的极值点，但(0, 0)是曲线y二f (x)的拐点.=0是f (x)的极值点，且(0, 0)是曲线y二f (x)的拐点.=0不是f (x)的极值点，(0, 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.14 . limnJ22In xdx.2川(1 J2等于n2(B) 2 ln xdx.$12(C)2 Jn(1 x)dx.2 2(d)J n2(1 x)dx1

4、5 .函数f(X),0).| x |sin(x -2)x(x -1)(x -2)2(B) (0 , 1).在下列哪个区间内有界.【(C) (1 , 2).(D) (2,3).16.设f (x)在(：,+)内有定义，且lim f(x)XT°Ox = 0必是g(x)的第一类间断点.fpx"，则【 0 , x = 0(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值g(x)=(A)(C) x = 0必是g(x)的连续点.17 .设f(X)在a , b上连续，且f (a) 0, f (b) : 0，则下列结论 中错误的是【有关.】(A)

5、 至少存在一点x0(a, b)， 使得 f (x0) > f (a).(B) 至少存在一点 x (a,b)，使得 f (xo) > f (b).(C) 至少存在一点x0(a,b)， 使得 f 伽)=0.(D) 至少存在一点x0(a, b)， 使得 f (x0)=0.1,x0x18 .设 f (x) = « 0 , x = 0 ， F (x) = J。f (t)dt，则 【】1, x <0(A) F(x)在x = 0点不连续.(B) F(x)在(：,+ )内连续，但在x = 0点不可导.(C) F(x)在(：,+ )内可导，且满足 F(X)= f (x).(D) F(

6、x)在(：,+ )内可导，但不一定满足 F (x) = f(x).三、解答题1 I 219.求极限lim右. xT x |_V20 .设函数f (x)在f (xkf (x 2),其cosx34),若对任意的x都满足(- ：， 上 有定义，在区间0, 2上,f (x)二 x(x -中k为常数.(I )写出 f (x)在-2, 0 上的表达式;(n )问k为何值时，f (x)在x = 0处可导.21 .设 f22 .设 ex)，g ( x)均在a, b上连续，证明柯西不等式2224:a ： b ： e ,证明 ln bln a 飞(ba).ex . xe + e23曲线y与直线x=0,x=t(t.

7、 0)及 y = 0围成一曲 边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其2体积为V(t),侧面积为S(t),在X二t处的底面积为F(t).( I )求辿9的值;(n ) limV(t)-枫 F(t)xxbb24 .设 f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足 f (t)dt ：: I g (t)dt，x : a , b)， i f (t)dt g(t)dt .aaaabb证明： xf(x)dx 岂 xg(x)dx .aa25.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的 瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减 速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的 水

8、平 速度为 700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与 飞机的速度成正比(比例系数为k =6.0106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题2x1、若 lim(一ax b )= 0 贝Uxx 1(a) a=1,b=1( b) a-1, b=1 ( c) a=1,b-1(d) a-1,b-12、设 F (x)=“(0),(A) 连续点 (B),其中f(x)在X =0处可导且f '(0) = 0f (0) = 0，贝u x =0是 F(X)的3、设常数k . 0，函数x = 0第一类间断点 (C)

9、第二类间 断点 (D )以上都不xf (x) = In x k在(0, ：)内零点的个 数为e(A)0( B)(C)4、若在0,1上有f ( 0 > g(0=)0, ng) = ag 且 f''X 9 ,0 g”(x)c011f (x) dx，121二 0g(x) dx，I31ax dx的大小关系为-05、(A) h _ |2_ 由平面 图形0乞a乞X乞b, 0乞y乞f ( x)绕y轴旋转所成 的旋转体bbV =2叮 xf( X dx( b)V =2兀 j f ( x) dXC)V-a- a(A)6、7、1、2、3、4、5、6、7、I3(B) 丨2 _ 13- I1( C

10、)13 - 12 -11的体积为b 2=二 a f (x)dx(D)(D)P(1,3, -4)关于平面 3x - y -2z =0的对称点是_( A) (5, -1,0)222设D为x y _R，D1是D位于第一象限的部分，f (x)连续，Vf(x)dx a(B)(5,1,0)( C) (-5,-1,0) ( D)(-5,1,0)22则，f(x y )d rD2(A)8 f(x2)d 二D1(B) 0( C)R R 2Jx. J(x2y2)dy(D)4 f(x2D1y2)d 二a为常数，则级数二、填空题3tan 2x “lim4(1x7XodZn 4sin(n a)1有飞(A)绝对收敛(B)发

11、散C)条件收敛(D)收敛性与a的取值有关个。具有n个不相等实根的n次多项式，其一阶导数的不 相等实根至少有对数螺 线卜re71在点(门)=e2 - 处的切线的直角坐标 方程为2设 f(x)是 x 的二次多项式，且(1 -x)f '(x ) 2f (x >，f (0) = 1，则 f (x)=23设 y =sinx ，贝U dy 二 d(x )。2 8x7 x4 4x3 2x2 -3x 1-2若级数三重积8*、已知曲线yx2 +1：(_ 1)n 亠 a收敛，则常数a = n Tn2 2 2分zln(x y zx2 "y2 记 1x3设二为 .( 42921)222 dxd

12、ydz 二。x y z 1222-3a x b与x轴相切，_则b 可以 通过a表示为b =。2 2半椭球面X z1, (0)，已知V的面积为 S，则943z。曲面积分n 1X级数的收敛区间为。n± 3n三元函数u = z -2 xy在点(1,1,1)处沿该点的向径方向的方向导 数为1 x9*、10、10*、设 f()，且 f(x)可微，则 f'(x)=。X 1 +x11、设 y = . °sin t dt (0 三 x - 二)，则曲线 y = y(x)的长度为 。X11*、若 f(x)dx=xe C，则 f (x)。12、设a, b,c都是单位向量，且满足a b0

13、，则a b b c c 。12*、函数y = 3. x的拐点为。3三、按要求做下列各题。1、求极限1 i mx2 ( x 2 .2x 1 x。)、已知函数y = f (x)对一切x满足xf''(x) 3x f x*-"1且在点xgO处取得极值，问f(Xo)是极大值还是极小值，并证明你的结论。1+1 n x x四、 计算下面 积分。1、-dx 2、3Ldx.x o X2x x刁 sin x五、f (x, y)为 D :x2 y2 _ y,x _0上的连续函数， f(x, y)二 1 - x2 - y2 - 11 f (u, v)dudv ,求 f (x, y)-D六、周

14、长为21的等腰三角形绕 其底边旋转， 问此等腰三角 形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积为最大?) 0。证明：在(a,b)内存在'，使得f ')= f ( ) o七、f(x)a,b连续(a,b)可导，f(a) f(b) 0, f(a) f (a -2八、设函数y = y(x)由方程组 2t2 _ y + asin卫二dx，b为大于零的常2九、J已知.0 e其中L是依次连结2、计算曲面积分I22x=t 2tdyd y(0 ca c1)所确定，求丄，一2 o y= 2dxdx数。设积分| = j (eA(a,0), B(a： )C (0,a axdydz ydzdx zd

15、xdy=f I 三J(x2 +y2+z) 32 2y -xy cos2xy-3y)dx (ey » sin2xy -by)dy。O (0的有向折线。求极限lim I oaJ-tC2 2z (x-2) (y-1)，其中匕为曲面1(z_ 0)的上侧。51692 2提示：先补充两个曲面二二(x,y,z)|z =0,x2 y2 _a2,a 空 " U 1，取下侧；169f 222-D =( x, y, z) | a -x -y ，取下侧，其中常数a充分小，使上 半球面Z2与积分曲面匕互不相交。九*、1、已知F (x)是f (x)的一个原函数，而F(x)是微分方程xy'+y=

16、 e满足初始 条件jm)y(x) = 1的解，试将f (x)-be n展开成x的幂级数，并求v 的和。n#( n+1)!2、女吓图，曲线C的方程为y = f (x)，点(3, 2)是它的一个拐点，直线11与12分别是曲线C在点(0, 0)与 (3,2)处的 32切线，其交点 为(2, 4)o设函数f (x)具有三阶连续导数，计算 定积分° (x x2) f '''(x )dx高等数学竞赛一、填空题x叫tanx1 2i.lim 2+ 2x' ,n n 1 n n 23.设函数y二y(x)由方程y =1 -xg确定，则dydxx =0o 4.2x -x2d

17、x =5.xdx广义积分0(1 x2)2o 6. X2 y2 =a2绕x = -b(b a 0)旋转所 成的旋转体的体积为7.z =z(x, y)由 z =x*z 2y确定，则 3'zex cy998- z = x 与2x，4y-z二0平行的 切平面的方程是9.设 r =、.,x2 y2 - z2，则 div (grad r)10.交换二次积分次序的积分次序1 _yf(x,y)dx 二11.i xy sin z ,0dx.0dy.o 口dz =12. 设l为正向圆周x2 y2 =2 在第一象 限中的部分，则曲线积分 xdy -2ydx的值为 二、单项选择题13. 设函数f (x)=(A

18、)充分必要条件.14 .设f (x)在0 , 1上连续，(A) F(1) _F(0)._p(x)，其中氓X)在X=1处连续，则护(1)=0是f(x)在x=1处可导的【1(B )必要但非充分条件.(C)1且 F (x) = f(x), a严 0则 ° f (ax)dx【(B) F(a)_F(0).( C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.】厅F(0).(D) aF(a)_ F(0).1 ( A) f (2x)dx 二 f(2x) C.d x1丁 0 f (x t)dt =f (x t).( D)dxf (xt)dt = f (x).15.下列等式中正确的是【(B) df (

19、2x) = f (2x) C.(C)16 .lim In 寸(1 +丄)2(1 +2)2(1 十上) n 厂 n八 n，')等于(A)12|n2xdx ( b) 2ln xdx. ( c)122 A In(1+x)dx. ( d)2ln 2(1 x)dx.17.设兀1f (x, y)为连续函数，_则04dv of(rcosv,rsin v)rdr 等于【.1 -x2f (x, y)dy.1 -x"；002 dy y f (x, y)dx.且y(x,y)= 0.已知(x0, y0)是f (x, y)在约束条件(x, y0下的一个极值】(A) 若 fx(x), y°)

20、=0，则 fy(x°, y°) =0.(b)若 fx(x0, y°) =0，则 fyg, y。)7" 0.(C)若 fx(x0, y°) =0，则 fy(x0, y°) 9 (d)若 fx(x°, y°) =0，则 fy(x0,y0)= o.2 219. 设|为椭圆 y 1，其周长记为43oOoo20. 级数送an收敛，级数【1 ( a)送ann(B)/ dxf(x, y)dy. (C)-0f (x, y)与(x, y)均为可微函数,(d).02dy.0 f (x, y)dx.18.设点，下列选项正确的是-H-*则

21、(2xy *3x2 +4y2)ds=【1 ( A) 4a . ( B ) 8a . ( C)12a( D)16a.n妊、解答题oOoo收敛.(b)v (-1)nan 收敛( c)7 anan1 收敛.(d)n Tn T、:anan 1 收敛.nT221sin cos xx21.极限 lim ；x22 设函数f (x)在(_匚:)上有定义，其中k为常数.(I )写出f (x)在-2, 0上的表达式;(n )问k为何值时，f(x)在 d x为最小的直线方程。在区间0,2上,f (x) = x(x2 - 4),若对任意的x都满足x = 0处可导.23.求通过点1, 1的直线y二f x中，使得|x24

22、 . 求曲面z = x2亠y2夹在二曲面x2亠y2 = y , 计算 x Y血河AB 丨222L(x y ) +y 25.2f xx2 y 2=2y之间的部分的面积。2 23 c >0，其中AB是沿着椭圆 72 =1的正向从fa bA a,0至U B 0,b的一段弧。26 设 f(x)为可微函数，且 f (0) =0, f (0) =2，试求 lim亠 hRdxdy。y2 t 2 ln(1 t3)27 .设f (x)在a,b I上连续，在a,b内可导0 ：:a ：:b，证明存在1, 2(a, b)使f'(丿二需丄(a亠b)。28.已知曲线L的方程为 卜=t +1,牡A。)(I )

23、讨论L的凹凸性；(n )过点(_j, 0)引L的切线，求切点(x0, y0)，y =4t -t2'并写出切线的方程；(山)求此切线与L (对应于x企的部分)及x轴所围成的平面图形的面积。t 0 x2高等数学竞赛一、填空题xyz = 07、设曲线 222 在点(1,1,0)处的法平面为S,则点(0,_2,2)到S的距离是x -y -z =0& 设 f(x,y) =arcsin. y ,则 fx(2,1)=() x二、选择题lx2 - y213、曲线lz =x二 12A.14、二 52 2x -yy -2-1czA.15、A.f 人 y d：D2 2 . 2x y s a b.在点

24、（1,2,-3）处的切线方程为B.B. 口二口2 -11 (in y)2 _yacos16刀为z=2 - (x2+y2)在xoy上方部分，17、(3ar + 4y)2 + (2x 十 3y)2a. ab = 0C.f cos v , rsin2x_0c. x18、19、20、c.口二山-82 -1yx * (in y)2D.x -1 y -2 z 31 一 8-2D.yx -_yin y yrd，则区域D可以表示为（y2 < ax , a : 0 d.x2.ds =（斗+-#0皿&工0）是某二元函数的全微分,b. a b = 0 c.ab = 1 d.设曲线C是由极坐标方 程r=

25、r( 0 )( 0 1 w B w 0 2)给出，则If x, y ds=cpA.Tc. f rcosrsind.f r cosp rsin 二、r2 r 2d-:n |a n! a为任意正的实数，若级数7'n AD.2B.窘 f (x,y)j1 + y'2dx3f rcosrsin rdQOzn =2n 2 - n - 2都收敛,则a,b的关系是（）a. a eB.C.a n1:a e2有（D. 0 :下列级数中发散的级数是（°° （-1 n（A'n八n 1CO；(B )n =2)-1nVn +(T $(D)oOn三石+(Tf一、解答题求极限1、i

26、imU/x 0 tan x sin xf(x)厂2C0S x , xxx ae:0a为何值时,f （x）在x = 0处连续。3、求。4、设 f(X)在 a,'2sin x -cosx +5X为 25设 f (x,y)sint dt，求X今b 1 上连续，且 F(x) = x (x- t) f (t)dt x I,alb，试求 F （x）。6 计算二次积分(fl >0).17 .计算二重积分 II dxdy 其中 D: x2 y2 _4, x2 y2 乞 16, x2 y2 _ 4x。d x2 y21x2窘8.计算极限 lim e 刊 ln( x+2y+3)db 其中 d : 0x

27、 兰 t, 0兰 y 兰t。二、证明题1.试证：F(t)= 0 ln(t22t cosx1dx偶函数。2.证明恒等式 x - 2 arctan(secxtan3.4.在 x时成立。2 2设f (x)对一切x, y满足f (x + y) = ey f (x )+ef (y )且f (x)在x = 0处连续，求证：f (x)在任意x处连续。(x)dxf g2(x)dx 1设f ( x), g ( x)均在a, b上连续，证明柯西不等式f f(x)g(x)dx兰 J fLa二、应用题x_xe +e1 .曲线y与直线x=0,x = t(t0)及 y = 0围成一曲边梯形该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转

28、体,2其体积为V(t),侧面积为S(t),在X = t处的底面积为F(t).( I )求S(t)的值;(n )计算极限lim.V(t)t-和 F(t)高等数学竞赛一、填空1.设 f x 二 tan x, f | g x： I 仝一g x则g x的定义域为求 lim arctan n! i，i . n 亠1 缶n : _. 23n +1n -13.sin 2x +xf ( x)设 lim30,则 limx 0x3x 05.曲线y =3x2xx2亠 10 亠(2 + tanx ) -( 2 4求 lim0sirx 107.9.11.13 .14 .sin x1 x2的拐点为函数f x = x 2

29、cos x在 0,上的最大值为丿 12求 J(2x +3x fdx =X 21 exdx =求02dx8.10 .12 .1 tanx求一匕 ln dx =1x 1 -x设f x连续，则d2dx1f x 51由曲线y=x ,x=2及y=2所围图形的面积S =x以向量a = m 2 n和b = m - 3n为边的三角形的面积为，其中 m" = 5, n = 3, m , n = 1设 z f xy y ： xy , f,：具有二阶连续导数，则-2:z15 .函数值增加最快的方向为1 1函数 f x, y, z= cos xyz在点，-,JI' i2 sin jj mJI2n5n

30、n!17. 求 nim:2n n18. -dx./ xd e -1幂级数表达式为19 求三重积分I* exdv =x2 -y2 -z2 4x丿2 220.设L为椭圆y =1，其周长为C，则l 2xy - 3x2 4y2 ds二19 "设fxy 是有界闭区域：D =x, y f _缶上的连续函数，则lim n f x, y dxdy =aT° 兀 a D20 ".把二、解答题fdx f(x2+y2)dy在极坐标系中进行转化：x21 '、 2 20dx0 f x y dy 二 - 1 1Qn(n + 1 j川|(2n_1)x f + x_ ej1求极限lim.2、求极限limn YnT 1 一 cosx3、求曲线nx = a(cost +t sin t),'力上任一点的法线到原点的距离y = a(si nt t cost).-2 f且满足'_ 1 2g x, y = f xy,- x1 1 2 25、设函数 f (x)连续，且 °tf (2 x t) dt arctan( x ，f (1) =1。求 f (x)dx.2 1，y axdy，其中 D=(x,