高数重要知识点

1、高等数学上册重要知识点第一章函数与极限一.函数的概念1两个无穷小的比较For pers onal use only in study and research; not for commercial use设 lim f(x) =0,lim g(x) =0 且 |jm f(x)=|g(x)(1) l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0g(x)，称g(x)是比f(x) 低阶的无穷小。(2) l工0, 称f (x)与g(x)是同阶无穷小。(3) I = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) g(x)2常见的等价无穷小当x 0时sin x x, t

2、an x x, arcsinx x, arccosx x1- cos x xA2/2 , ex-1 x , ln(1 x) x , (1 x)： -1 jx二求极限的方法1 两个准则准则1 单调有界数列极限一定存在准则2.(夹逼定理)设g(x) <f (x) <h(x)放缩求极限若 lim g(x)二 A, lim h(x) = A，则 lim f (x)二 A2两个重要公式公式1lim沁=1xT x公式 2lim (1 x)"x =exT3用无穷小重要性质和等价无穷小代换4.用泰勒公式当x > 0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次23nex= 1 xxx兰o

3、(xn)2!3!n!352n 1sin x=x-x x (_1)n xo(x2n1)3!5!(2n +1)!242n XX/八n X/ 2n、COSX =1.( 一1)o(x )2!4!2n!23nln(1 x) =x -.(-1)n 1 丄 o(xn)2 3n一 、-,:C： -1) 2：-1).(二一(n -1) n , n、(1 x) '=1 Wxx .x o(x )2!n!3 52n 1.X Xn 卑 X2n 叽arctan x = x. - (一1)o(x )3 52n +15 洛必达法则定理1 设函数f(x)、F(x)满足下列条件：(1) lim f(x) =0 , lim

4、 F(x)二 0 ；Xo0则im Vim f (X)x % F(x) x 氏 F (x)(2) f(x)与F(x)在x。的某一去心邻域内可导，且 F(x) = 0 ；(3) lim丄血存在(或为无穷大)， f F (x)这个定理说明：当lim丄凶 存在时，lim上凶 也存在且等于lim丄也；当 F F (x)I刈 F(x)F F H(x)lim 口卫为无穷大时，lim卫卫也是无穷大.X 为 F (x)X 为 F(x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(LH ospitaI)法则.例1计算极限linmXe -1解该极限属于“ ”型不定式，于是由洛必达

5、法则，得例2计算极限lim竺坐XT sin bx解该极限属于“-”型不定式，于是由洛必达法则，得0sin ax a cos ax alimlimx0 sinbx xTbcosbx b注 若f(x),g(x)仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即f(x)rf(X)rf(x)limlimlim一 g(x)rg (x)X_ag(X)二、一型未定式QO定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件:(1) lim f(x) = ：:, lim F (x)二：；xSX)X0(2) f(x)与F(x)在xo的某一去心邻域内可导，且 F(x) = O ;(3) lim丄也存在(或为无穷大),|则“ f(

6、x) lim(x)_o f (x)lim = lim F (x丿x与°F(x) jKx)注：上述关于x Xo时未定式一型的洛必达法则，对于Xr '时未定式一型QOQ0同样适用.n例3计算极限lim xx (n 0).解 所求问题是二型未定式，连续n次施行洛必达法则，有0nn 1n _2xnx 一n(n -1)x 一lim 云=lim xlimxx_：.：exexx_"ex使用洛必达法则时必须注意以下几点：(1) 洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“二”型的未定式，其它的未定式须0O0先化简变形成“ 0 ”或“二”型才能运用该法则；0O0(2) 只要条件具备，可以连续应

7、用洛必达法则；(3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要.因此，在该法则失效时并不 能断定原极限不存在.7.利用导数定义求极限基本公式lm f (x° + ；一 f (x0) = f '(X。)(如果存在)8.利用定积分定义求极限1f (x)dx0(如果存在)1 n k基本格式lim 一'二f (-)=nYn 心n三.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：(1)第一类间断点设x°是函数y = f (x)的间断点。如果f (x)在间断点x°处的左、右极限都存在,则称x°是f (x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(

8、2)第二类间断点常见的第二类间断点有无第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点 穷间断点和振荡间断点。四.闭区间上连续函数的性质在闭区间a,b上连续的函数f (x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都 要用至V。定理1.(有界定理)如果函数f (x)在闭区间a,b上连续，则f (x)必在a,b上有界。定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f (x)在闭区间a,b上连续，则在这个 区间上一定存在最大值M和最小值m。定理3.(介值定理)如果函数f (x)在闭区间a,b上连续，且其最大值和最小值 分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c,在a,b上至少存在一个E，使得 f ( E ) =

9、 c推论：如果函数f (x)在闭区间a,b上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b) 内至少存在一个点E ，使得f (E) = 0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分1. 复合函数运算法则设y = f (u)，u =? (x)，如果？(x)在x处可导，f (u)在对应点u处可导，则复合 函数y = f ? ( x)在x处可导，且有 色=巴巴二f'( (x) '(x)dx du dx对应地dy二f'(u)du二f'( (x) '(x)dx，由于公式dy二f'(u)du不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。2. 由参

10、数方程确定函数的运算法则设x =?(t)，y = :(t)确定函数y = y( x)，其中'(t), '(t)存在，且 '(t)丰0,则 dy '(t)dx 一 (t)二阶导数d2ydx2d呼dxdxd哼dxdtdt _ ''(t) '(t) 一 '(t) ''(t) dx 一:'(t)A33. 反函数求导法则设y = f (x)的反函数x = g(y)，两者皆可导，且f ' (x)工0则 g'(y)1f'(x)1f'(g(y)4隐函数运算法则(可以按照复合函数理解)设y =

11、 y(x)是由方程F(x, y) = 0所确定，求y'的方法如下：把F(x, y) = 0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y 的表达式(允许出现y变量)5对数求导法则(指数类型如甘xsinx)先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y'对数求导法主要用于：幕指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数(注意定义域P106例6)关于幕指函数y = f (x) g (x)常用的一种方法,y = eg(x)ln f(x)这样就可以直接用 复合函数运算法则进行。6可微与可导的关系f (x)在x0处可微？ f (x)在x0处可导。7求n阶导数(n &

12、gt;2,正整数)先求出y' , y'',，总结出规律性，然后写出y(n),最后用归纳法证明。有 一些常用的初等函数的n阶导数公式(1) Wex(2) y = ax,y(n) = ax(ln a)n(3) y = sin x , y(n) = sin( x )2n兀(4) y = cosx, y(n) = cos(x )2(5) y = ln x, y(n) =(_1)nJL(n 一 1)!x两个吸数乘积的h阶导ii何Jfe布尼兹公Ab心)二工c：严(讣中匕)1=0苴中=创(二"， w(OI(r) = w) 1畀店)二心)假设讥x)和v(Q都是川阶可导。第三章

13、 微分中值定理与导数应用一罗尔定理设函数f (x)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f (a) = f (b) 则存在E (a,b)，使得f ' ( E ) =0二 拉格朗日中值定理(证明不等式 P134 9、10) 设函数f (x)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导； 则存在 E (a,b)，使得 f(b)- f(a)= 口)b a推论1 若f (x)在(a,b)内可导，且f ' (x) = 0,则f (x)在(a,b)内为常数。推论2 若f (x) , g(x)在(a,b)内皆可导，且 f ' (x)

14、 = g' (x)，则在(a,b) 内f (x) = g(x)+ c，其中c为一个常数。三柯西中值定理设函数f (x)和g(x)满足：(1)在闭区间a,b上皆连续；(2)在开区间(a,b)内皆可导；且g' (x)工0则存在E ( a,b)使得f一 f(a)二匚 (ab)g(b)-g(a) g'(-)(注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g( x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。) 四泰勒公式( 估值求极限(麦克劳林)P145 T10 ) 定理1.(皮亚诺余项的n阶泰勒公式)设f (x)在0 x处有n阶导数，则有公式其中询=0佔訪称为皮亚诺余项

15、对常用的初等函数如ex,sin x,cos x,ln( 1 + x)和(1 x)' = ( a为实常数)等的n阶泰勒公式都要熟记。定理2 (拉格朗日余项的n阶泰勒公式)设f (x)在包含0 x的区间(a,b)内有n+1阶导数，在a,b上有n阶连续导数，则对x/国三埠"丘-斗)舉("斗r +a+农何 a,b，有公式，£ t FT+1 1/英中一矿1+1*,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0 x为中心的n阶泰勒公式。当Xo=0时，也称为n阶麦克劳林 公式。导数的应用一基本知识设函数f(X)在Xo处可导，且Xo为f(X)的一个极值点，贝U f'(Xo)=

16、O。我们称X满足f'(Xo)=O的Xo称为f(X)的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。极值点判断方法 第一充分条件f (x)在Xo的邻域内可导，且f(Xo) = o，则若当X ”： Xo时，f(X) O，当XX)时，f (x) ： O，贝y Xo为极大值点；若当 X ”： Xo时，f(X)： O，当X xo时，f (x)O，则xo为极小值点；若在xo的两侧f (x)不变号，则Xo 不是极值点 第二充分条件f(X)在 X 处二阶可导，且 f (x°) = o , f (Xo) =O，则若 f (Xo) O

17、，则xo为极大值点；若f (xo) O，则Xo为极小值点.二凹凸性与拐点1. 凹凸的定义设f (X)在区间I上连续，若对任意不同的两点1 2 X , X，恒有Xx 4- X22则称f(X)在I上是凸(凹)的。在几何上，曲线y = f (x)上任意两点的割线在曲线下(上)面，则 y = f (x) 是凸(凹)的。如果曲线y = f (x)有切线的话，每一点的切线都在曲线之上(下) 则y = f (x)是凸(凹)的。2拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。3凹凸性的判别和拐点的求法设函数f (x)在(a,b)内具有二阶导数f''(x)，如果在(a,b)内的每一点x,恒有

18、f''(x) > 0,贝U曲线y = f (x)在(a,b)内是凹的;如果在(a,b)内的每一点x,恒有f''(x)< 0,则曲线y = f (x)在(a,b)内是凸的。求曲线y = f (x)的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数f''(x)；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点捲公2,.风;第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该 点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标。四渐近线的求法K垂直渐近线若 11 巴 /(x) = s 或 1诞 y(x)=ooXT*XT" 一则X

19、 = Xjltll线fh)的一条垂3渐近线2水平渐近线若= 或 litu /(x) = &则y = fe *曲线y = /(x)的一条水平渐近线3.斜渐近线若 lim 人“)=a 01 lim f(x)ax = bJyjtTY或 liin=门 护 0 t lim /(x)= b则y-ax + b是曲线y = f(x)的-条斜渐近线五曲率设曲线y = /(x) t它在点M(x,y)处的曲率k=,若kOt 则称R = j点M(xj)处"(/)平斤的曲率半径*在M点的法线上，凹向这边取点6 使阿| =疋，则称Q为曲率中心，级。为圆心，疋为半 録的圆周称为lill率闽L第四章不定积分

20、一基本积分表:Jtgxdx = -In cosx +CJctgxdx = ln sin x + CJsecxdx =ln secx+tgx +CJcscxdx = In cscx ctgx +Cdx = sec xdx = tgx C cos xdxcsc xdx = -ctgx C sin xsecx tgxdx 二 secx Cdx2 2a xdx2 2xadx2 2a -xdx1丄x小arctg C a aC4InS C2a a -xcscx ctgxdx - - cscx Cshxdx 二 chx Cchxdx = shx C- a2 - x2=arcs in? Cdx = In(x

21、x2 二a2) Cx2_a2二 sinn xdx 二 cosn xdx 二 n 1 In n! 2 fVx2 +a2dx =x2 +a2 + In(x + Px2 十 a2) +C2 22aIn x2-a2dx = x x2a2-x2dx = x a2222d.；22. x-x-a -In x + Px -a +C2 22 a . x xarcs inC2 a二换元积分法和分部积分法换元积分法(1) 第一类换元法(凑微分)：.f(x) _(x)dx 二' f (u)dJ u(x)(2) 第二类换元法(变量代换)：.f(x)dx 二 ' f(t)-(t)dtj_i(x) 分部积分

22、法udv = uv - vdu使用分部积分法时被积函数中谁看作u(x)谁看作v'(x)有一定规律。记住口诀，反对幕指三为u(x)，靠前就为u(x)，例如.ex arcs in xdx，应该是 arcsi nx为u(x)，因为反三角函数排在指数函数之前，同理可以推出其他三有理函数积分 f(x)P(x)1 xf(x)二P(x)1 x2f(x)二P(x)(x a)(x b)f(x)P(x)(x a)2 b-、P(x)有理函数：f (x)-Q(x)其中P(x)和Q(x)是多项式简单有理函数:拆”2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等)一概念与性质定义:第五章 定积分2、(1)bf (x)d

23、x = lim ' f( j)务 a>0 i=i(10 条)性质：£ f(x)dx = -£ f(x Vxf(x)dx = 0(x)+ 心/； (x)0* =心Z (x"x + 爲厶(3) ”*(4)(2)J f(xix = j / x Jx + f(x)dx ( c 也町以在 a.b 之外)(5)设a < b , /(x) < gCv) ( < x < 6),贝ljf(x)dx < gx)clx(6)设ov, m < /(x) < M (a<x<b)r 则n7(b a)<f (x)dx &

24、lt; M(b a)(7)设a<b,则(8) 定积分中值定理 设在d上连续，则存在孑丘肚乩使(f(X)dX = f(ab-a)定义：我们称£ f(xdx为/&)在a3b h的枳分平均值(9) 奇偶函数的枳分性质/(xVa =0 (/奇函数)伫/(*加二2£ f(x k&( /偶函数)(10) 周期函数的积分性质设/&)以丁为周期，4为常数，则£+r/(x> = /(x>/x3基本定理x变上限积分：设门(X)二.f (t)dt ,则门(X)二f (x)推广：ad *)(、f(t)dt 二 f(x)(x) - f： (x)Y

25、(x)dx (X)N L 公式：若F(x)为 f(X)的一个原函数，则bf (x)dx 二 F(b) - F(a)a4定积分的换元积分法和分部积分法仅供个人参考1.定积分的换元积分法设/&）在e"上连续，若变量替换：v =加）满足（1） 0（在久 0（或/?,cr）上连续：(2 ) ©(a)二 a ,卩(0)= b ,且当 a <t < p 时,则 f /&加=fW2.定积分的分部积分法设H'（“讨（兀）在（7,6上连续，则J "(，店加= <心hx) - J "dk加 或"(x)dHx) = &quo

26、t;(;r)v(;r)|：-(才)第六章 定积分的应用平面图形的面积1、 直角坐标：bAaf2(x) - fi(x)dx12 22、极坐标：A = 2 I(二)体积1、旋转体体积：a) 曲边梯形y二f(x), x二a,x二b,x轴，绕x轴旋转而成的旋转b 2体的体积：Vf (x)dxab) 曲边梯形y二f (x), x二a, x二b, x轴，绕y轴旋转而成的旋转b(柱壳法)体的体积：Vy2%xf (x)dxab2、平行截面面积已知的立体：V二.A(x)dxa(三)弧长1、直角坐标：S 二 a J f (x)l 2dx2、参数方程:S = J (t)l 2(t)l 2dt极坐标：T'C)

27、2C)】2d，a *第七章微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关 系的方程阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的 阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程g（y）dy 二 f （x）dx，两边积分g(y)dy = f (x)dx（三）齐次型方程dy （y） u y dxx，设 x，则dx /X、或丁 = ®（）设 v=_ 则： 或dyy，设 y，则dydyduu x.dxdx=vdx 'dv y -dy（四）一阶线性微分方程dx p（x）厂 q（x）用 常数 变 易 法 或厂 e"x)dx Q(x)eP(x)dxdx C（五）可降阶的高阶微分方程y（n） = f （x），两边积分n次;八f （x, yr）（不显含有y）, 令 ydyy" = f （