讲课 第四章 静定结构位移计算

1、1第四章 静定结构的位移计算4.1 位移的概念及位移计算的目的位移的概念及位移计算的目的4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理4.3 变形体体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式变形体体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式4.5 图乘法图乘法4.6 支座移动和温度改变引起的位移计算支座移动和温度改变引起的位移计算4.7 互等定理互等定理 4.4 结构在荷载作用下的位移计算结构在荷载作用下的位移计算21.结构位移产生的原因4.1 位移的概念及位移计算的目的位移的概念及位移计算的目的引起结构位移的原因引起结构位移的原因（1 1）荷载；）荷载；（2 2）温度改变；）温度改变；（3 3）支座位移

2、；）支座位移；（4 4）制造误差；）制造误差； （5 5）材料收缩）材料收缩结构位移结构位移:建筑结构在荷载或其他因素的作用下，会发生变形建筑结构在荷载或其他因素的作用下，会发生变形 . 由于变形，结构上各点的位置将会由于变形，结构上各点的位置将会移动移动，杆件的截面，杆件的截面 会会转动转动，这些移动和转动称为结构位移。，这些移动和转动称为结构位移。2. 结构位移的种类结构位移的种类（1 1）某点的线位移某点的线位移（2）某截面的角位移某截面的角位移（3）两点间的相对线位移两点间的相对线位移（4）两截面间的相对角移两截面间的相对角移线位移：线位移：角位移：角位移：绝对位移绝对位移相对位移相对

3、位移4.1 位移的概念及位移计算的目的位移的概念及位移计算的目的线位移：线位移：角位移：角位移： 一般来说，结果的位移与结构一般来说，结果的位移与结构的几何尺寸相比都是极其微小的。的几何尺寸相比都是极其微小的。AAxAy44.1 位移的概念及位移计算的目的位移的概念及位移计算的目的53. 计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。为了校核结构的刚度。工程上，吊车梁允许的挠度工程上，吊车梁允许的挠度1/6001/600的跨度的跨度 （2）结构制造和施工的需要。结构制造和施工的需要。 （3）为分析超静定结构打下基础。为分析超静定结构打下基础。另外，结构的稳定和动力计算也以位移为基础。另外，结构的稳

4、定和动力计算也以位移为基础。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍刚体及变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算。刚体及变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算。起拱高度起拱高度4.1 位移的概念及位移计算的目的位移的概念及位移计算的目的施工完毕后：施工完毕后：施工前：施工前：6复习功的概念4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理PABP常力作的功COSPT 力偶作的功PPdMPdTPP7力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功PPW21力在非自身所产生的位移上所作的功力在非

5、自身所产生的位移上所作的功tPWPCtt1. 实功和虚功实功和虚功4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理84.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理（1）位移的双脚标符号位移的双脚标符号ABP11211P22212k j位移发生的位置位移发生的位置产生位移的原因产生位移的原因位移的大小位移的大小AB122P2122AB112P11211.实功和虚功实功和虚功94.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理1. 实功和虚功实功和虚功（2）外力的虚功外力的虚功ABP11211P22212AB122P2122AB112P1121实功实功：力在本身引起的位移上作的功。：力在本身引起的位移上作的功

6、。 实功恒为正实功恒为正虚功虚功：力在其它因素引起的位移上作：力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状别属于同一体系的两种彼此无关的状态。态。Tkj=Pkkj考察力作功的过程 静力加载：0P虚功是代数量，有正有负。虚功是代数量，有正有负。注意：作功的力必须和位移在一条作用线上，否则，二者的乘积就不是功。注意：作功的力必须和位移在一条作用线上，否则，二者的乘积就不是功。4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理2. 广义力及广义位移广义力及广义位移作作功功的的两两因因素素力：力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力

7、偶、一个力系集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为统称为广义力广义力位移：线位移位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移 统称为统称为广义位移广义位移 在在虚功表达式虚功表达式中涉及两方面因素：一个是与力有关的因素，它中涉及两方面因素：一个是与力有关的因素，它可以是一个力、一个力偶、一对力、一对力偶，甚至是一个力系，可以是一个力、一个力偶、一对力、一对力偶，甚至是一个力系，这些与力有关的因素称为这些与力有关的因素称为广义力广义力；另一个与广义力相应的位移因素；另一个与广义力相应的位移因素。把这些与位移有关的因素称为。把这些与位

8、移有关的因素称为广义位移广义位移。111P11122P21221P2P12（1）属同一体系；）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；）位移状态与力状态完全无关；3.虚功的两种状态虚功的两种状态 力状态力状态 位移状态位移状态AB122P2122AB112P11214.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理1212 虚功并不是不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点虚功并不是不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点（位移状态中的位移并非由

9、于第一种状态上的力所引起的），则第一种（位移状态中的位移并非由于第一种状态上的力所引起的），则第一种状态上的力在第二种状态的相应位移上所作的功，即为虚功。状态上的力在第二种状态的相应位移上所作的功，即为虚功。上式中，上式中，Pk(k=1,2n)为广义力，为广义力， ki (k,i=1,2n)为与广义力为与广义力Pk相相应的广义位移。应的广义位移。 Tkj=Pk（广义力）（广义力） kj（广义位移）（广义位移）当广义位移与广义力方向一致时，虚功为正，相反时为负。当广义位移与广义力方向一致时，虚功为正，相反时为负。4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理 应该指出应该指出，在虚功方程中，力状态

10、与位移状态是彼此独立的，因，在虚功方程中，力状态与位移状态是彼此独立的，因此，不仅可把位移状态视为虚设的，也可把力状态视为虚设的。此，不仅可把位移状态视为虚设的，也可把力状态视为虚设的。它们各有不同的应用。它们各有不同的应用。 4. 虚功原理的两种应用虚功原理的两种应用 对于对于刚体体系刚体体系，虚功原理叙述为：，虚功原理叙述为：计算静定结构内力的另一个普遍方法计算静定结构内力的另一个普遍方法 虚功原理虚功原理，它等价于平衡方程。，它等价于平衡方程。4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理 所谓刚体体系是指体系只发生所谓刚体体系是指体系只发生刚体位移，而不产生变形。刚体位移，而不产生变形。

11、W外外=0两种应用两种应用: :虚设位移虚设位移 虚位移原理求虚位移原理求静定结构的反力和内力静定结构的反力和内力。虚设力系虚设力系 虚力原理求虚力原理求刚体体系的位移刚体体系的位移。0XXPPFF PPX10XPpFF XPbFFa解：解：扛杆是一个可变体系，可绕扛杆是一个可变体系，可绕 C 点自由点自由转动，如图转动，如图(b)示。把这个刚体位移取作示。把这个刚体位移取作虚虚位移，可得出虚功方程为：位移，可得出虚功方程为： XPACB ab(a)例：图例：图(a)示扛杆，其中示扛杆，其中B端作用巳知荷载端作用巳知荷载FP ，求扛杆平衡时在，求扛杆平衡时在A端需加的未知力。端需加的未知力。X

12、P 设设 表示位移表示位移 和和 之间的之间的比例系数：比例系数： XPPba ACB(b)ACB(c)通常取通常取 (数值为1)1X单位位移法单位位移法(1)虚设位移状态虚设位移状态求未知力求未知力（虚功的应用之一（虚功的应用之一虚位移原理虚位移原理） FPFX4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理15 这里用的是刚体体系这里用的是刚体体系虚位移原理虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡，实质上是实际受力状态的平衡方程。方程。几点说明：几点说明： 求解时关键一步是找出虚位移状态的求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系位移关系。 虚位移与实际力状态无关，故可虚设。虚位移与实际力状态无关

13、，故可虚设。小结：小结： 求解问题直接，不涉及约束力。求解问题直接，不涉及约束力。 虚功原理（这里用虚位移原理）的特点是用几何方法解决平衡问题。虚功原理（这里用虚位移原理）的特点是用几何方法解决平衡问题。例：如图例：如图(a)所示简支梁，现欲求所示简支梁，现欲求B支座反力支座反力X。步骤如下步骤如下 FpBAal图图(a)首先解除首先解除B支座的约束，以相应的未知支座的约束，以相应的未知力力X代替，于是原结构变成了具有一个自代替，于是原结构变成了具有一个自由度的体系，它在荷载与未知力由度的体系，它在荷载与未知力X的共同的共同作用下处于平衡状态。作用下处于平衡状态。使该体系产生符合约束条件的无限

14、小使该体系产生符合约束条件的无限小虚位移，如图虚位移，如图(c)所示。所示。 FpX图图(b) X p图图(c) 在图在图(b)所示的所示的力状态力状态与图与图(c)所示的所示的位移位移状态状态之间建立虚功方程：之间建立虚功方程： 012ppxFXT(a) 这就是虚功方程的应用之一这就是虚功方程的应用之一虚位移原理虚位移原理，其特点是将一个静力问，其特点是将一个静力问题转化为几何问题。题转化为几何问题。 4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理012ppxFXT(a) 由由(a)易得易得 pxpFX (b) lx，appFlaX (c)若在位移状态中令若在位移状态中令 x=1，则，则(a)

15、式变为式变为 0112ppFXTFpBAal图图(a)FpX图图(b) X p图图(c) lappFlaX 像这样，沿未知力方向虚设单位位移的方法称为像这样，沿未知力方向虚设单位位移的方法称为单位位移法。单位位移法。该方法该方法在用机动法做梁的影响线时将会用到。在用机动法做梁的影响线时将会用到。 4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理(2)虚设力状态虚设力状态求位移求位移（虚功方程的应用之二（虚功方程的应用之二虚力原理）虚力原理） 如图如图(a)所示的静定梁，支座所示的静定梁，支座B处向下移动距离处向下移动距离 ，现欲求，现欲求D点的垂直位移点的垂直位移 DV l/2Bll/2A图图(a

16、)DCl/2 DV解：求解：求 DV，可设受力状态如图，可设受力状态如图(b)所示所示DFp图图(b)BACVBVAVC021BDVpVFT由虚功原理得由虚功原理得 这就是虚功方程的应用之二这就是虚功方程的应用之二虚力原理虚力原理，其特点是将一个，其特点是将一个几何问题转化为静力问题。几何问题转化为静力问题。 若令：若令：Fp=1，则，则pBFV4343DV43BV此时，称为此时，称为单位荷载法。单位荷载法。在求结构的位移时将会用到。在求结构的位移时将会用到。 同样可得同样可得43DV195.总结总结单位位移法：单位位移法：（1）撤除与未知力对应的约束，使原来的约束力变成主动力）撤除与未知力对

17、应的约束，使原来的约束力变成主动力X。（2）把体系可能发生的位移当作虚位移，设与未知力和荷载）把体系可能发生的位移当作虚位移，设与未知力和荷载P相应相应的虚位移分别为的虚位移分别为X 和和P，根据虚功原理根据虚功原理 ，列出虚功方程。，列出虚功方程。 若符合刚体体系的虚功原理，则根据若符合刚体体系的虚功原理，则根据W外外=0，虚功方程为：，虚功方程为： X X + P P =0（3）求出）求出X与与P的关系，代入上式，即可求出未知力。的关系，代入上式，即可求出未知力。 该法的关键步骤是找出该法的关键步骤是找出X与与P的关系。的关系。4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理20单位荷载法：单

18、位荷载法：（1）在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载。）在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载。（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出支座反力）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出支座反力R，根据虚，根据虚功原理功原理 ，列出虚功方程。，列出虚功方程。 若符合刚体体系的虚功原理，则根据若符合刚体体系的虚功原理，则根据W外外=0，虚功方程为：，虚功方程为： 1 + RC=0（3）求解方程即可求出位移）求解方程即可求出位移 。 4.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理214.2 刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理6.应用虚功原理时应注意的几个问题应用虚功原理时应注意的几个问题（1）

19、力和位移都是广义的，广义力包括力和力偶，）力和位移都是广义的，广义力包括力和力偶， 广义位移包括线位移，角位移，相对线位移，相对角位移。广义位移包括线位移，角位移，相对线位移，相对角位移。（2）线荷载对应的位移是线位移，力偶对应的是角位移。）线荷载对应的位移是线位移，力偶对应的是角位移。（3）无论实位移还是虚位移都十分微小，因此虚位移等于）无论实位移还是虚位移都十分微小，因此虚位移等于一的说法仅表示虚位移是一个单位的微小位移，不能说位移大一的说法仅表示虚位移是一个单位的微小位移，不能说位移大小是一弧度。小是一弧度。（4）虚功原理所说的外力包括外荷载也包括支座反力。）虚功原理所说的外力包括外荷载

20、也包括支座反力。（5）必须能正确地判断体系的位移图。）必须能正确地判断体系的位移图。22变形体的虚功原理变形体的虚功原理： 设设变形体在力系作用下处于变形体在力系作用下处于平衡状态平衡状态，又设又设变形体由于其它变形体由于其它原因产生原因产生符合约束条件的微小的连续变形符合约束条件的微小的连续变形，则外力在相应位，则外力在相应位移上所做的移上所做的外力虚功外力虚功T T 恒等于整个变形体各个微段内力在变恒等于整个变形体各个微段内力在变形上所做的形上所做的内力虚功内力虚功WW。WW外外= =WW内内 刚体体系的虚功原理与变形体体系的虚功原理唯一不同刚体体系的虚功原理与变形体体系的虚功原理唯一不同

21、之处就是之处就是是否需要考虑内力所作的功是否需要考虑内力所作的功。4.3 变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理23AB力状态力状态PqMds2.内力虚功的计算内力虚功的计算RARB位移状态位移状态qN NN N+d+dN NQ QQ Q+d+dQQMMMM+d+dMMdsdsdsduds dvd dsAB4.3 变形体的虚功原理变形体的虚功原理微段微段ds上的内力虚功为上的内力虚功为dW=Ndu+Qdv+Md整个结构的内力虚功为整个结构的内力虚功为sMsQsNWddds, sv, suddddddsMsQsNddd244.3 变形体的虚功原理变形体的虚功原理3. 虚功原理的两种应用虚功原理

22、的两种应用平面杆件结构的虚功方程为平面杆件结构的虚功方程为ddd (12-2)TWNsQ sMs 虚位移原理虚位移原理虚力原理虚力原理sMsQsNWdddX X + P P =sMsQsNWddd 1 + RC= P + RC=式中：式中：位移状态中沿力位移状态中沿力P方向的位移方向的位移 C位移状态中沿支座反力位移状态中沿支座反力R方向的支座位移方向的支座位移 在虚功方程中有两组独立的物理量，即平衡力系在虚功方程中有两组独立的物理量，即平衡力系P、R、Q、N、M和满足约束条件的微小连续位移及变形、和满足约束条件的微小连续位移及变形、 c、du、dv、d ，式中每一项都是虚功。式中每一项都是虚

23、功。254. 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 设平面杆系结构由于设平面杆系结构由于荷载、温度变化及支座移荷载、温度变化及支座移动等因素引起位移如图。动等因素引起位移如图。P2P1KkkKKjKj利用虚功原理利用虚功原理c1c2c3kkPK=1实际状态位移状态实际状态位移状态ds虚拟状态力状态虚拟状态力状态dsKkkkM、Q、Njjj、v、uddd外力虚功外力虚功332211jCRCRCRPKKW外外=CRKj内力虚功内力虚功W内内=jkjkjkdMdvQduN可得可得jkjjkKjdMdvQduNCR 求任一指定截面求任一指定截面K K沿沿任一指定方向任一指定方向 k kk k上的上的位

24、移位移KjKj 。t1t24.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 （4-1）26cRdMdvQduNjkjkjkKj 这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，计算时虚设单这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，计算时虚设单位荷载的指向可以任意假定，若计算结果为正，所求位移位荷载的指向可以任意假定，若计算结果为正，所求位移KjKj P PK K=1=1同向，反之反向。这种方法又称为同向，反之反向。这种方法又称为单位荷载法单位荷载法。P2P1KkkKKjKjc1c2c3kkPK=1实际状态实际状态位移状态位移状态ds虚拟状态虚拟状态力状态力状态dsKkkkM、Q、Njjj、v、udddt

25、1t24.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 274.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式适用范围与特点：适用范围与特点：2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：各种广义荷载。）变形原因：各种广义荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。）材料种类：各种变形固体材料。1） 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。5. 位移计

26、算公式的普遍性表现位移计算公式的普遍性表现6. 虚拟状态的设置虚拟状态的设置 虚单位荷载法不仅可用来计算结构的线位移，而且可用来虚单位荷载法不仅可用来计算结构的线位移，而且可用来计算其他性质的位移，只要虚拟状态中的单位荷载是与所求位计算其他性质的位移，只要虚拟状态中的单位荷载是与所求位移相应的广义力即可。移相应的广义力即可。在应用单位荷载法计算时，应据所求位在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态移不同，设置相应的虚拟力状态。例如例如:A求求AHAH实际状态实际状态虚拟状态虚拟状态A1A求求 A A1虚拟状态虚拟状态4.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式当求

27、结构的某点当求结构的某点A的线位移时的线位移时可在该点沿其位移方向加一个可在该点沿其位移方向加一个单位荷载。单位荷载。当求结构某截面当求结构某截面A的的角位移时，可在该截面角位移时，可在该截面处加一个单位力偶。处加一个单位力偶。296. 虚拟状态的设置虚拟状态的设置A实际状态实际状态AA虚拟状态虚拟状态虚拟状态虚拟状态B求求ABAB11B求求 ABAB114.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式当求结构的某两点当求结构的某两点A、B沿沿其连线方向的相对线位移时，其连线方向的相对线位移时，可在该两点沿其连线加上两个可在该两点沿其连线加上两个方向相反的虚单位荷载。方向相反的虚单位荷载。

28、当求结构两个截面的相对当求结构两个截面的相对角位移时，可在这两个截面角位移时，可在这两个截面上加两个方向相反的单位上加两个方向相反的单位力偶。力偶。30单位荷载法单位荷载法 我们知道，按照我们知道，按照虚力原理虚力原理建立的虚功方程（建立的虚功方程（4-1）式中，外力虚）式中，外力虚功一项是功一项是虚设力系的外力虚设力系的外力与与相应位移相应位移的乘积。因此，可以通过适当地的乘积。因此，可以通过适当地选择虚拟荷载，把需求的位移选择虚拟荷载，把需求的位移 包括在外力虚功中，同时为了能直接包括在外力虚功中，同时为了能直接得到所求位移，在虚功方程中不再包含其它未知位移。为此，在选择得到所求位移，在虚

29、功方程中不再包含其它未知位移。为此，在选择虚力系时，就应当虚力系时，就应当在拟求位移在拟求位移 方向上设置虚拟荷载方向上设置虚拟荷载，而在其它地方，而在其它地方不再设置荷载，并且为了计算方便，该虚拟荷载可取为无量纲的一个不再设置荷载，并且为了计算方便，该虚拟荷载可取为无量纲的一个单位值。单位值。 例如：如图示桁架，假设由于例如：如图示桁架，假设由于温 度 变 化 使 杆温 度 变 化 使 杆 A C 、 B C 各 伸 长各 伸 长 l=1.2mm，使桁架发生了变形，求，使桁架发生了变形，求由此而引起的由此而引起的C点点 竖向位移竖向位移 CV。 ABCD CV4m4m3m图图(a)位移状态位

30、移状态31AFp=1BCD1/ 21/20-5/ 6-5/ 612/ 32/ 3图图(b)虚拟受力状态虚拟受力状态对于本题对于本题 iiNCVlF注意：正号表示所得位移注意：正号表示所得位移 CV的方的方向与虚拟单位荷载的方向一致。向与虚拟单位荷载的方向一致。应用虚力原理，建立虚功方程如下应用虚力原理，建立虚功方程如下 011212dxFUTiNCV由此得由此得 iiNiNiNCVlFdxFdxFmm6 . 1BCNBCACNAClFlFABCD CV4m4m3m图图(a)位移状态位移状态321.静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时当结构只受到荷

31、载作用时，求，求K K点沿指定方向的位移点沿指定方向的位移KPKP，此时此时没有支座位移没有支座位移，故式，故式（4-1）为为PkpkPkkpdMdvQduN式中：kkkM、Q、N 为虚拟状态中微段上的内力；为虚拟状态中微段上的内力；d P、duP、dvP为为实际实际状态中微段上的变形。由材料力学知状态中微段上的变形。由材料力学知 （a）dP=EIdsMPduP=EAdsNPdvP =GAdskQP将以上诸式代入式（将以上诸式代入式（a a）得）得GAdsQQkEAdsNNEIdsMMpkPkpkkp（ 4-2 ）4.4 结构在荷载作用下的位移计算结构在荷载作用下的位移计算334.4 结构在荷

32、载作用下的位移计算结构在荷载作用下的位移计算GAdsQQkEAdsNNEIdsMMpkPkpkkp注：注： （1）符号说明）符号说明 （2）正负号）正负号k-为截面形状系数为截面形状系数1.29101AA（4-3）342. 2. 讨讨 论论 (1) (1) 梁和刚架梁和刚架(2) 桁架桁架EAlNNdsEANNEAdsNNPKPkPkkp(3)组合结构组合结构KP=EIdsMMPkEAlNNPk在实际计算时，根据结构的具体情况在实际计算时，根据结构的具体情况, ,式式（4-3）可以简化：可以简化：4.4 结构在荷载作用下的位移计算结构在荷载作用下的位移计算EIdsMMpkkp(4) 拱结构拱结

33、构KP=EAdsNNEIdsMMPkpk（4-4）（4-5）35例例 求图示刚架求图示刚架A点点 的的 竖竖 向位向位移移Ay。EA、EI为常数为常数。ABCqL LLAABC1解：解：1. 选择虚拟状态选择虚拟状态xx选取坐标如图选取坐标如图。则各杆弯矩方程为则各杆弯矩方程为: :ABAB段：段：xMBCBC段：段：LM2. 实际状态中各杆弯矩方程为实际状态中各杆弯矩方程为ABAB段：段：BCBC段：段：MP=MP=xx22qx22qL3. 代入公式代入公式（4-4）得得Ay=EIqL854，( )EIdsMMP=l0(-x)(-2qx2)EIdx+l0(-L)(-2qL2)EIdx4.4

34、结构在荷载作用下的位移计算结构在荷载作用下的位移计算36例例 ：求图示桁架求图示桁架C点的竖向位移点的竖向位移CP。图中杆旁数值为杆件的截。图中杆旁数值为杆件的截面积，并设各杆面积，并设各杆E=2.1104kN/cm2。10kN5kN10kN2m1m2m1m8cm28cm28cm28cm24cm24cm24cm2ACBDEPk=1ACBDE杆件l(cm)A(cm2)Nk(kN)NP(kN)NkNPl(kN.cm)NkNPl/A(kN.cm-1)CDCEADBEABDEAE 2002242002242001002248888444-2.002.24-2.002.24-1.000.000.00-3

35、0.0022.36-30.0027.95-12.500.00-5.5912000112191200014024 2500 0.00 0.001500140215001735 625 0.00 0.0010.32cm()KKPPCPN N lN N ldsEAEA4.4 结构在荷载作用下的位移计算结构在荷载作用下的位移计算37当结构符合下述条件时：当结构符合下述条件时：（1 1）杆轴为直线；）杆轴为直线；（2 2）EIEI= =常数；常数；（3 3）两个弯矩图中至少有一）两个弯矩图中至少有一个是直线图形。个是直线图形。 上述上述 积分可以得到简化。积分可以得到简化。MP图图xy面积面积 设两个弯

36、矩图中，设两个弯矩图中，M图为一段直线，图为一段直线，MP图为任意形状：图为任意形状：ABOABMPxMtgdxEIsMMPdd =MPdxx图M1. 图乘公式: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算积分EIsMMpkkpdEIxMxPdtgxxMEIPdtgdtgxEIxEIctgEIyc形心形心CxCyCyC=xCtg 如果结构上各杆段均可图乘，则：如果结构上各杆段均可图乘，则：EIycEIsMMpkkpd4.5 图乘法图乘法图乘法的注意事项 （1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。2. 简单图形的面积公式和形心

37、位置Lh2L/3L/32hLLhab（L+a)/3(L+b)/32hL形心形心4.5 图乘法图乘法39Lh二次抛物线顶点L/232hL二次抛物线Lh3L/4L/43L/85L/8 1 21=2/3(hL)2=1/3(hL)顶点4.5 图乘法图乘法403 .把复杂图形化为简单图形把复杂图形化为简单图形 当图形的面积和形心位置不便确定当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。另一图形相乘，然后把所得结果叠加。例如：例如：图MMMP P图图abcd dLdxMMP )22(1baybLyaLEIya=2/3c+

38、1/3dyb=1/3c+2/3d图MMP图图abcdyayb此时此时ya=2/3c1/3dyb=2/3d1/3cybyadxMMMPbPa)(bbaayyabdxMMEIP1 dxMMdxMMPbPa4.5 图乘法图乘法41 当当yC C所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应截面不相等时，均应分段相乘分段相乘，然后叠加。，然后叠加。123y1y2y3123y1y2y3=EI1( 1y1+ 2y2+ 3y3)EI1EI2EI3=333222111EIyEIyEIy4.5 图乘法图乘法42 例例 4-3 求下图所示刚架求下图所示刚架C、D

39、两点间距离的改变。设两点间距离的改变。设EIEI= =常数。常数。ABCDLhq解：解：1. 作实际状态的作实际状态的MMP P图。图。MP图图M2. 设置虚拟状态并作设置虚拟状态并作图M。11hhyC=h3. 图乘计算图乘计算（）CD=EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL3形心8qL24.5 图乘法图乘法43例例 4-4 求图示刚架求图示刚架A A点的竖向位移点的竖向位移Ay Ay 。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：解： 1. 作作MP图、图、图MP2PL2PLPLMP图图M1L；2. 图乘计算。图乘计算。Ay=（）2PL4PLEIyC=EI1(2L L2PL(L 4=

40、16EIPL3)-2EI123L)PL4.5 图乘法图乘法44 例4-5 求图示外伸梁C点的竖向位移Cy。 EI=常数。qABCL2L8qL2M图11y2y3解：1. 作MP图2. 作M图3. 图乘计算y1=8L3y2=3Ly3=4LCy=)(EI128qLEIy4Cy18qL2MP图232L4.5 图乘法图乘法45ABCDMP（kN.m）例4-6求图示刚架C截面的角位移 c ；点B的水平线位移BH ;点D 的竖向线位移DV 。ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EI305560解：解：1、作、作MP图图2、求、求 c ;图作1MABC图1MM1=119EI140)43412

41、)(532()214)(6021()314)(3021(3EI1c（ ）4.5 图乘法图乘法46EIEIEI3190 )323)(33021(1 )413432)(3532()234)(6021(4)(2)3021(-31HBABCDMP（kN.m）3055603、求、求BH;图作2MABC图2MP2=133（ ）ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EI4.5 图乘法图乘法47ABCDMP（kN.m）3055604、求、求DV;图作3MABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EIABC图3MP2=11EIEI9170 2)212)(532(2)322)(6021

42、()2304)(121(-31VD（ ）4.5 图乘法图乘法48 对于静定结构，支座移动并不引起内力，结构材料也不产生应变。此时，静定结构支座移动时的位移是刚体位移。计算公式化简：Kc=cR 例4-7：图示三铰刚架右边支座的竖向位移By=0.06m,水平位移Bx=0.04m,已知 L=12m，h=8m。求A 。hL/2L/2BxBxByBy实ABC解： 虚拟状态如图。ABC1BVLVB1BHhHB21 由式得AhLBxBy2h.204012060=0.0075rad （）虚4.6 支座移动和温度改变引起的位移计算支座移动和温度改变引起的位移计算1.支座移动引起的位移计算49（1）静定结构发生温

43、度变化时的反应特点静定结构发生温度变化时的反应特点 静定结构没有多余约束，在温度变化时不产生反力和内力；静定结构没有多余约束，在温度变化时不产生反力和内力； 由于材料热胀冷缩，结构将产生变形和位移。由于材料热胀冷缩，结构将产生变形和位移。（2）温度变化作用下静定结构位移计算公式温度变化作用下静定结构位移计算公式 设图示结构外侧温度升高设图示结构外侧温度升高 t1，内侧温度升高，内侧温度升高 t2 ,求求K点的竖向位移点的竖向位移Kt 。t t1 1t t2 2KKKtKPK=1实虚1）温度变化规律的假定温度变化规律的假定沿截面高度线性变化；沿截面高度线性变化； 材料的线胀系数为材料的线胀系数为

44、 单位长度在温单位长度在温度改变度改变11时伸长（或缩短）值。时伸长（或缩短）值。4.6 支座移动和温度改变引起的位移计算支座移动和温度改变引起的位移计算2.支座移动引起的位移计算支座移动引起的位移计算50dxt1t2t2dxt1dxdtt t1 1t t2 2KKKtKPK=1实虚2）微段的变形微段的变形dxdx 温度改变只引起材料纤维的伸温度改变只引起材料纤维的伸长或者缩短，因此：长或者缩短，因此：微段杆轴线处的伸长，微段杆轴线处的伸长，杆件截面无剪应变杆件截面无剪应变,0;dd0 xtut22;21021211212210ttthhhthhthhhhthhtt时，微段两端截面的相对角位移，微段两端截面的相对角位移，;ddddd1212xhtxhtthxtxtthh1h2dxkMkNkMkNkQkQt04.6 支座移动和温度改变引起的位移计算支座移动和温度改变引起的位移计算51Kt此时由式（4-6）可得：t t1 1t t2 2KKKtdsdxht1t2t2dxt1dxdtKdsPK=1dx实虚MMNNKtdxhtMdxtNk0k)()(3）位移计算公式位移计算公式0;, xtutdd00 dd