定积分学习指导

1、第五章定积分利用定积分的换元积分法与分部积分法计算定积分例8计算下列定积分：dxx a2 - x2(a 0)；仏；0 1- ,x，、兀/43X o ln(1 tanx)dx ； °arcsindx.令 x 二 a si nt，贝Udx解 该积分含有根号，作三角代换，可去掉根号，化为三角有理式的积分，并利用积分恒等式求解。注 意在去掉被积函数的根号时，应先写成绝对值形式，再根据积分区间确定其正负。二/2 acoSdt二/2 coSdt=f )asi rt acoS 0 si n co S/20 f(s in t)dt = 0二/2f (cost)dt,二/2costdt二/2sin t

2、dtsin t costsin t cost所以二/2costdt"cost sintsin t costsint costdtdx-X注 这里若不使用恒等式，则需进行万能代换，计算较繁琐。被积函数是x的一次多项式开平方，需做换元去掉根式，注意到两个被开方式不同，为同时去掉根号，设/ 2. x 二 si nt，贝U x =s in t，于是=2"sintdt二/6T61)(1cos2t)dt - -2 cost 0 (t sin 2t)本题易想到取u =1 n(1 tanx), v = 1用分部积分法求解。但由于二/40 VdU2二/4 xsec x ,dx不易积分,)1

3、ta nx所以不便使用分部积分法。注意到 ln(1 - tanx)4二/4si nxln(1 tan x)dx= In (1-00cosx二/4.'7 4= ln . 2dx0 0二/4-0 lncos(4X)dx 二7/4二/40 ln cosud 0 lncosxdx，=ln(sin x cosx) - ln cosx = In2 cos( x) - In cosx , 4故利用正弦与余弦互余的关系及换元积分公式求解。兀/442 cosA - x)dx= ln4dx0cosx二二/4ln cos( x)dx - ln cosxdx ,40，所以二/477 4:ln(1 tanx)d

4、x= 02dx 為1n2例9解下列各题:设 f(x) = x。dt，求 °f(x)dx ；121 2已知 f(2),f(2)=0,°f(x)dx=1，求 °x2f (2x)dx.2 解 被积函数为变上限积分，且由已知有f(X)二_ex , f (1) = 0，用分部积分公式，贝y1 1 1 1 x2 1 x2 1 1 f (x)dx =xf (x) o jxf "(x)dx =f(1) + xe dx=e 0=(e_1).这里被积函数x2f (2x)为抽象函数，并含有f(x)的二阶导数，故用分部积分法可求解，注意到f“(2x)是2q1(2) -2tf (

5、t)0 2 °f(t)dt4f(2) 2l - 0.复合函数形式，故令t =2x，先用换元积分法再用分部积分法求解。=-4 f 丨8 I4.利用积分恒等式计算定积分10求下列定积分： dx;x - i x212二/4 cos X , xdx;-二/ 41 卷 e二/21)1tan100 xdX.兀xsi nx,dx;)sin x 2cos x分析定积分的计算方法和计算技巧与不定积分相比有许多相似之处，周期性、几何意义以及区间变换、拆分区间或合并区间及积分恒等式简化计算。解 这是对称区间的积分，若被积函数具有奇偶性，则可利用定积分的分母有理化，将被积函数化成两个函数的代数和，再讨论其奇

6、偶性。但也有不同，主要体现在利用对称性、“偶倍奇零”性质求解。为此先对 3201X.X2他十 1)2积分区间为对称区间，但被有奇偶性。利用积分等式aa.(X)dx0f(x)f (X)dxE,2若严cos X , 有Xdx-/41 e二/4 cos X cos(-x)丨卫/4二x dx 二-01 e 1 ex0xe cos x2cos X "dx1 e所求积分为xf (sin x)dx形式，由积分恒等式Jin nxf(si nx)dx = 2'J0 f (si n x)dx可简化计算，也可用代方法1xsi nx,dx 二一sin x 2 cos xsin x2 _厂dx2 0

7、sin2 x 2 cos xd cosx1 cos2 X二丄0 一 JI一一arcta n cosx2这是三角有理式的积分，令t =ta nx可化为有理函数的积分，但有理函数分母次数较高，使积分困难。注意到xt可将正切函数化为余切函数，于是可利用正切和余切的关系求解。若将原积分化为2100cos x100 . 100cos x s inxdx応/2且利用 cos2 x = 1 一 sin2 x ,则积分形如；f (sin x)dx ,故也可利用公式-/2-/2f (sinx)dxf (cosx)dx计算。方法1令x J t，贝U2二/21tan100 x-121dx = 100 dx ,201

8、 +ta n100x1 tan1000n/2所以01 dx1 ta n100 x5分段函数的定积分 例11解下列各题：求-1dx ；求1 2,max1,x dx ；设f(x) 21 x ,_xe ,X",，求x _ 0.31 f(x-2)dx.当被积函数是分段函数时，值函数，本质上都是分段函数，故先化为分段函数再求解。解 被积函数含有绝对值符号，一般令绝对值之内的式子为零，求出积分区间的零点，把被积函数化为 分段函数。对本题令 X -1 = 0，得x =1，贝u2122pXX 1dx 二 °x(1 x)dx 亠 | x(x -1)dx .被积函数为最大值函数，将其化为分段函

9、数。122113max1,x2dx 二 <x2dx 亠 i dx x3分析号,-2利用定积分对区间的可加性计算定积分。注意到绝对值函数与最大(小)13被积函数是复合函数，故先用换元法将f (x - 2)化为f(t)，再用分段函数的积分方法计算。令t = x - 2 ,31011 f (x-2)dx 二f(t)dt =(1 t )dt 0e dt=t:冲323107心7.广义积分的计算例15求下列广义积分:x)e%x3/21/2dx.b解题思路 对积分.f(x)dx(a,b可为二)，应先判别它是否为广义积分，且为哪种类型的广义积分(特别a中插入分点0，则是无界函数的广义积分)，然后将其分解

10、为只有一个积分限为无穷大或瑕点(奇点)的广义积分和，用定义判别 各广义积分收敛性或求其值。如果其中有一个积分发散，则原广义积分发散；若所有的广义积分都收敛，则原广 义积分收敛，且其值为各部分值的代数和。解 这是无穷区间的广义积分，上、下限均是无穷大，在区间-be| x|0(x +x)erxdx = f (o因为x：x:匕 xx)e dx 0 (x x)e-dx = 2° xe_ dx，bb_xxe"dx limxedx = lim xde1bcLObT 七沁bb-edx) = - lim e0b> :=lim (xe所以被积函数在(x x)e 护 dx 二 2 .x

11、=1时无界，故x =1为瑕点，区间被瑕点进行了分割，于是=lim +厂1 0 1/2dx.3/27 lim1 1 220 " 2,4_(2)1撐十lim丄lnX -1 + % X2 _x舍t+2以3/21 - 2=lim arcs in (2x-1):，所In(2、3).1因为 l i m,x 1 X、X _1x =1占八、， 这是混合型的广义积分，故1 dx 二 x x1X I. X1-bodx.2dxx I x12 1 b 1=lim dx lim dx.1 ；Xi X1bi；2Xi. X1令t = x -1，则*：、 1 1Edx = !im"2dt"t2

12、- 1lim b' fdt1 t2 - 1=lim 2 arctanta 1忌+bim2arcta nt1 x2n例 18 设 g x 连续，fxx-t g t dt，求 f x .0错解因为 f "(x )= (x t fg(t dt 1 = kx -x fg(x )= 0，所以 f "(x )=0 . dx _ 22分析被积函数x-t2gt中含有积分上限变量 x，不能直接利用原函数存在定理求导数。正解因为23=22一订处如=才讪dtx-x0所以XX2X2X2f "(x )=x(g(t dt g(x )-(tg(t dt x g(x)+f g(x)=x

13、0 g t dt - 0 tg t dt，XXf x g t dt xg x Axg x g t dt.例3求由y = (x2 - 1)(X -2)与x轴围成图形的面积。2分析 曲线y=(x -1)(x-2)与x轴交于点(-1,0), (1,0), (2,0)，故x轴的两侧均有图形，被积函数应取绝对值，由定积分的几何意义可求面积。解 曲线与X轴的三个交点为(一 1,0), (1,0), (2,0)，则例5求摆线x二a(t -sint), y二a(1 -cost)的一拱与y二0所围平面图形绕直线y二2a旋转一周而成旋转体的体积。分析所求体积为两个体积之差，被减数为矩形绕y=2a旋转所得的旋转体的

14、体积。解 摆线x =a(t -sint), y =a(1 - cost)的一拱与y = 0所围图形绕直线 y =2a旋转一周而成旋转体的体积 v =Vi -V2， M -二(2a)22二a = 8二2a3 ，22二 1 亠 CO s?t2 ：-.=o a3(1 co s)s i ntdt -二a3(dt ° si «td si n)-二2a3，所以 V =V1 -V2 =8二2a3 - 二 2a3 =7二 2a3.例12设函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)内大于零，并满足 xf (x f (x) 3a x2 ( a为常数)，又曲线2y = f (x)与直线x=0,x=1,y=0所围的图形S的面积为2.求函数f(x)；a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小。 分析 由已知等式xf(X)= f (x) 3a x2( a为常数)可得xf (X)- f(x)2x3a2(x=0)，故由f (x)在x =0的连续性，对关系式两边求不定积分，可确定f (x)的含有任意常数的表达式，再由已给的面积关系确定f(x)，从而可以讨论旋转体的体积。解由已知条件可得f(X)_ xf (x) - f (x) _ 3a_ x x2_ 2(x = 0).