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文档简介

1、数学专题十圆锥曲线及其应用【考点精要】2 2考点一 椭圆、双曲线、抛物线的离心率。女口:设双曲线 笃-爲=1 (a>a b0,b > 0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离心率等于()A. 、3B. 2C. 5D. .62考点二圆锥曲线的第一或第二定义。女口:已知椭圆C:- y2=1的右焦点2I为F ,右准线为I,点A l,线段AF交C于点B,若=3FB,则|AF|=()A. JB. 2C. 3D. 3考点三.圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系。直线与圆锥曲线的位置关系,考查学生对基本概念、基本方法和基本技能的掌握。如:设2 2双曲线笃-每=1(a 0,

2、b 0)的虚轴长为2,焦距为2._3,则双曲线的渐近线方a2 b2程为()A. y = 2xB. y = 2x C. y - x D.2考点四.圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径。将圆锥曲线的相关知识与向 量等知识相结合,考查圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径等知识。考点五.圆锥曲线中有关角、线段、面积。以圆锥曲线为依托,借助点与线 的关系,考查圆锥曲线中有关角、线段、面积等知识,考查综合运算能力。如: 设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M( 3,0)的直线与抛物线相交于 A, B两点,与抛物线的准线相交于 C, | BF =2,则厶BCF ACF的面积之比=()S也CFA.B.C. 4D.考点六

3、.圆锥曲线中有关的距离最短、距离之和最小。利用圆锥曲线与直线的特殊关系,研究有关的距离最短、距离之和最小等,考查学生分析问题、解决 冋题以及数形结合的能力。如:已知直线 |1: 4x -'3y,6=0和I2:x = T,抛物线y? =4X上一动点P到li和12的距离之和的最小值是()A.2B.3C.115d.3716考点七待定系数法求曲线方程。能用待定系数法求曲线方程,处理直线与 圆锥曲线的相关问题以及有关对称问题。 此类问题多属于中档或高档题。女口:过 点(1,0)的直线I与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为乎的椭圆C相交于 A、B两点,直线y=1x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在

4、一点与右焦点关于2直线I对称,试求直线I与椭圆C的方程考点八.求圆锥曲线方程的方法。能运用多种方法(如:直接法、定义法、 几何法、代入法、参数法、交规法等)求圆锥曲线的方程,求动点轨迹时应注意 它的完备性和纯粹性。巧点妙拨1. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨 论和数形结合的思想方法2. 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求, 将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目

5、的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍3. 求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来做非常巧妙;二是代数法,将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值。【典题对应】4例1.(2009 山东)设R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y1),向量b =(x, y -1), a _ b,动点M (x, y)的轨迹为E.(1) 求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;1(2) 已知m = 1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨

6、4迹E恒有两个交点A,B,且OA_OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;1(3) 已知m二,设直线I与圆C:x22(1 4k )x 8ktx 4t -4=0,要使切线与轨迹E恒有两个交点 A,B,则使 =64k2t2-16(1 4k2)(t2-1) = 16(4k2-t2 1) 0, yR2(1<R<2)相切于A,且I与轨迹E4只有一个公共点B,当R为何值时,|A启|取得最大值?并求最大值.命题意图:本题主要考查直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位 置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题。呻 呻 斗斗斗呻°。解析:(1)因为 a _ b,

7、 a = (mx, y 1), b = (x, y -1),所以 a b =mx y -1=0,即mx2,y2 =1.当m=0时,方程表示两直线,方程为yh,1;当m=1时,方程表示的是圆;当m 0且m=1时,方程表示的是椭圆;当 m : 0时,方程表示的是双曲 线.(2)当心时轨迹E的方程为1"设圆心在原点的圆的一条切线为y 二 kx t解方程y = k x.222x 4(kx t) =4即4k2 -t2 10,即t2 :4k2 1,X1且8ktx21 4k2 4t2 -4x :1 4k22 2y1y2 =(心 t)(kx2 t) = k x1x2 kt(x!x2) t 口k2(4

8、t2-4)8k2t2t2 二t2 -4k21 4k21 - 4k21 4k2要使 O _Ax-ix2= 0y1,y即4t2 -4 t2 _4k2 5t2 _4k2 _42 2 21 4k 1 4k 1 4k恒成立.所以又因为直线y二kx t为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为2 t24 2-(1k)51 k21 k2=4,所求的圆为5x2y2存在时,切线为x5,与=1 父于点(:5,二-5)或( 5,二 .5)5555也满足0A _ 0B .综上,存在圆心在原点的圆x2yl,使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a,b,且0A_0B.1当m二一时,轨迹42E的方程为才y2J设直线l的

9、方程为y=kxt因为直线I与圆C:x2y2二 R2 (1vR<2)相切于 A 由( 2).1k2匚y女t因为I与轨迹E只有一个公共点B1,由(2)知x2得 x24(kx t)2 = 4 ,即(1 - 4k2)x2 8ktx 4t2 -4 =0 有唯一解.则厶=64k2t2 -16(1 4k2)(t2 -1) =16(4k2 -t2 T) = 0 ,即 4k2 -t2 1 = 0 ,t2 3R2由得k24-R2R2 -1此时A,B重合为B(xi,y 1)点,4 - R28ktX1 X22121 4k24t2 -4/ 2中 X1 =X2,所以,X12/4 16R _1621 4k3R2皿2

10、21 21 4k24 - R23R2|OiEh 汰i2/疇,-R在直角三角形 OABi 中,| ABi |2=|OBi |2 |OA |2 = 5-R2 =5 R4P x, y), Q xy两不同点,且 opq的面积s.opq.6其中O为坐标原点.Bi(x i ,y i)点在椭圆上,所以汀=1-1为24(R4R2)因为冷 R2 _4当且仅当j2 (1,2)时取等号,所以I ABi |气5-4 = 1,即R当R »整(1,2)时|AiBi|取得最大值,最大值为1.名师坐堂:对于两个向量垂直,a =(x, y),6 =(m, n),若a _ b,则有xm yn = 0。求圆锥曲线的轨迹方

11、程时一定要注意检验,所求方程中含有参数是要注意讨论 研究直线时应注意斜率不存在的情况。2 2例2.( 20ii 山东22)已知动直线I与椭圆C : y i交于32I)证明:Xi2 X22和yi2 y22均为定值;(U)设线段PQ的中点为M,求OMPQ的最大值;(川)椭圆C上是否存在三点D,E,G,使得S.QDE二SODG = S.OEG = f ?若存在,判断 DEG的形状;若不存在,请说明理由.命题意图:本题主要考查直线方程、椭圆的标准方程、面积公式、一元二次 方程的根与系数的关系、求最值的方法以及分类讨论的思想,考查学生解析几何 的基本思想方法,考查逻辑推理、运算能力.解析:(I )当直线

12、I的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,则Xi = X2, yi - -y,由P xi, yi在椭圆上,则xi肛=i,而Sopq = Xiyi6,则322xi =牙,yi =i于是 xi2X22 = 3,yi2y22 = 2 .当直线I的斜率存在,设直线2 2l为y = kx m,代入y 1可得322x2 3(kx m)2 =6,即 2 3k2x26 km 3 m 6 0,0 ,即 3k22 . m26km3m2x1 x22, x1x222 3k2 3k-6=1 k2 .,(片 x2)2二4x2 =1 k2j6.3k22-m22 3k21k2'Sp°Q =1 d PQ26、

13、;3k22-m22 3k2则 3k 2 =2m2,满足.=02x12 x22 二(捲 x2)22XM 二(6km )22 3(m -2)2 3k2)2 3k2yj y?2 =2(3-xj) 3(3-X22) =4-3(好 x22) =2,综上可知 xj X22 =3, y1胳 X22 w、2、2 9k y22(U)当直线I的斜率不存在时,(I)知 OMXi当直线I的斜率存在时,由(I)%x22m2X( X2 3k二 k(_) m = _om(322mpq2 2= (1k2)24(3k 2m)(2 3k2)222(2 m 1)1= 2(2 r)m2 _OM PQ =(3当且仅当3-乙m1)(2m

14、=2丄m2A)m254= ±42时等号成立,综上可知|oM ' PQ的最大值为224m2。由(I) 知 Xd ' Xe 3, Xe ' Xg = 3, Xg ' Xd = 3 ,222222小yDyE2, yEyG2, yGyD2 .2223222解牛得 XdXeXg> yD ' y yG ' 1 ,2因此xd,xe,xg只能从 6中选取,yD, yE,yG只能从-1中选取,2因此D,E,G只能从(诗,。中选取三个不同点'而这三点的两两连线必有 一个过原点,这与S ode =S odg =S °eg 相矛盾,故椭

15、圆上不存在三点D,E,G,使得Sode =S -ODG.6名师坐堂:求解定值问题可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值,再推广到一般结论。在求解圆锥曲线的最值问题时,可考虑用重要不等式、二次函数、 三角函数以及函数的单调性。【授之以渔】方法点拨:求圆锥曲线中的最值问题应注意以下几点:(1)圆锥曲线本身存在最值问题,如椭圆上两点最大距离为2a (长轴长);双曲线上两点间最小距离为2a (实轴长):椭圆上的焦半径的取 值范围为a-c,ac,a-c与a c分别表示椭圆焦点到椭圆上的最短与最 长距离;抛物线上顶点与抛物线的准线距离最近。(2)圆锥曲线上的点到定点的距离最值, 常与两点间的距离公式转化为

16、区间上的二次函数最值解决,有时也用圆锥曲线中的参数方程,化为三角函数的最值问题。(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离最值,常转化为平行切线法。(4)点在圆锥曲线上,求相关式子的取值范围,常用参数方程代入转化 为三角函数的最值问题,或根据平面几何知识或引入一个参数化为函数进行 处理。(5)由直线和圆锥曲线的位置关系,求直线中或圆锥曲线中某一个参数 满足的范围,解决方法长把所求参数作为函数,另一个变元作为自变量求解。【直击高考】2 2 2 21. 已知双曲线-上=1的准线经过椭圆7 -1 (b>0)的焦点,则b=()224 b2A.3B. 5C.、3D.2. 抛物线y=ax2与直线y=kx+b

17、(kM0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分 别为Xi, X2,直线与x轴交点的横坐标是X3,则恒有()A.X3=X1+X2B.X1X2=X1X3+X2X3C.Xi+X2+X3=0D. X1X2+X2X3+X3X1 =03. 中心在原点,焦点在坐标为(0,±5.2)的椭圆被直线3X y 2=0截得的弦的中点的横坐标为1,则椭圆方程为。24. 直线I的方程为y=x+3,在I上任取一点P,若过点P且以双曲线12X2 4y2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为 .2 25. 已知F1、F2是椭圆C:笃爲=1( a > b >0)的两个焦点,P为椭圆Ca b上一点

18、,且PR丄PF2 .若也PF1F2的面积为9,则b=6. 已知抛物线y2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线I与该抛物线 交于不同的两点A、B,且| AE| < 2p.(1)求a的取值范围.若线段AB的垂直平分线交X轴于点叫求厶NAB面积的最大值.2 2 _7. 已知双曲线 C : 2 告=1(a 0, b 0)的离心率为3,右准线方程为a b3X =3。(I)求双曲线C的方程;(n)设直线I是圆O : X2 y2 =2上动点P(X°, y0)(x°yo = 0)处的切线,I与双 曲线C交于不同的两点A,B,证明.AOB的大小为定值.高三数学三

19、轮复习(理科)参考答案数学专题十圆锥曲线及其应用【直击高考】21. 解析:可得双曲线的准线为x =1 ,又因为椭圆焦点为c(_ 4b2,0)所以有 4 匚 b2 =1 .即 b2=3 故 b=、3 .故 C. 22. 解析:解方程组丿八ax,得 ax2 kx b=0,可知 xi+x2=- ,xix2= - ,X3=y = kx + baab,代入验证即可。答案:Bk3. 解析:设所求圆的圆心为P(a, b),半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|圆P截y轴所得弦长为2,二r2=a2+1又由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为 90° ,故弦长| AB=逅r,故r2=2

20、b2,从而有 2b2 a2=1又点P(a, b)到直线x 2y=0的距离d=|2b|,J5因此,5d2=| a 2b| 2=a2+4b24ab> a2+4b2 2(a2+b2)=2 b2 a2=1,当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取最小值,为此有"a =ba =1a =得*或丿/* i 222b 一 a=1b =1-b =/ r2=2b2,二 r2=2于是所求圆的方程为:(x 1) 2+(y 1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=24. 解析:所求椭圆的焦点为 % 1,0), F2(1,0),2 a=|PF|+|PF。欲使2a最 小,只需在直线I上找一点P.使|PF|+| PF2|最小,利用对称性可解.2 2答案:=154| PF1 |+|PF2 戶 2a22225. 解析:依题意,有 <| PF1 | | PF? |=18,可得 4c + 36= 4a,即卩 a c2 2 2J PF1 | +| PF2 | =4c=9,故有 b= 3。6. 解析:(1)设直线I的方程为:y=x a,代入抛物线方程得(x a) 2=2px,即2 2x 2( a+p) x+a =0 | Aq= 2 . 4(a p)2-4a2 < 2p.4ap+2p< p;即 4ap< p2又 p>

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