数字信号处理第三章4离散傅里叶变换的性质ppt课件

1、四、离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换：10( ) ( )( )( )NnkNNnX kDFT x nx n WRk101( )( )( )( )NnkNNkx nIDFT X kX k WRnN2jNNWe其中： 1、线性：, a b为任意常数这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且12max,NN N11( ) ( )X kDFT x n22( )( )XkDFT x n假设1212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk那么2、序列的圆周移位( )()( )mNNxnx nmRn 定义：( ) ( ) ()

2、x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。( )( ) ()( )mmNNXkDFT xnDFT x nmRn( )mkNWX k ()( ) ()( )NNNDFT x nmRnDFT x nm Rn证： ()( )NDFS x nm Rk( )( )mkNNWX k Rk( )mkNWX k调制特性：时域序列的调制等效于频域的圆周移位2()( )( )( )jnlnlNNNNIDFT XklRkW x nex n()( )()( )NNNIDFT XklRkIDFT X kl Rk证：()( )NIDFS

3、X kl Rn( )( )( )nlnlNNNW x n RnW x n21( )cos()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkN21( )sin()()( )2NNNnlDFT x nXklXklRkNj1()()( )2NNNIDFTXklXklRkj证：1( )( )2nlnlNNWx nW x nj22( )2jnljnlNNeex nj2( )sinnlx nN3、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：( )( )( )eox nx nx n*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*( )()1/2 ( )()oox nxnx nxn 其中

4、：任意序列可表示成 和 之和:( )ex n( )ox n*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ex nx nxn( )Nx n*()NxNn其中：*( )()1/2 ( )()oox nxnx nxn *1/2 ( )() NNx nxNn共轭反对称分量：*( )()1/2 ( )()eex nxnx nxn*1/2 ( )() NNx nxNn共轭对称分量：( )( )( )eox nx nx n任意周期序列：定义：( )( )( )epopx nxnxn则任意有限长序列：( )( )( )opoNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNn

5、Rn圆周共轭反对称序列：( )( )( )epeNxnx n Rn *1/2 ( )() ( )NNNx nxNnRn圆周共轭对称序列：圆周共轭对称序列满足：*( )()( )epepNNxnxNnRn Re( )Re()( )epepNNxnxNnRn实部圆周偶对称 Im( )Im()( )epepNNxnxNnRn 虚部圆周奇对称 ( )()( )epepNNxnxNnRn幅度圆周偶对称arg( )arg()( )epepNNxnxNnRn 幅角圆周奇对称 圆周共轭反对称序列满足：*( )()( )opopNNxnxNnRn Re( )Re()( )opopNNxnxNnRn 实部圆周奇对

6、称 Im( )Im()( )opopNNxnxNnRn虚部圆周偶对称 ( )()( )opopNNxnxNnRn幅度圆周偶对称 幅角没有对称性*( )()( )opopNNXkXNkRk *1/2( )() ( )NNNXkXNkRk( )( )( )epopX kXkXk同理：*1/2( )() ( )NNNXkXNkRk*( )()( )epepNNXkXNkRk其中： 序列 DFT共轭对称性( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFT实数序列的共轭对称性Re ( )(

7、 )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k纯虚序列的共轭对称性 序列 DFTRe ( )0( )0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: 11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用两序列构成一个复序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )W kDFT w nDF

8、T x njx n则12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXk1( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epX kDFT x nDFTw nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNNWkWNkRkj( )2DFT ( )2DFT: ( )x nNNx nNX k例：设是点实数序列，试用一次 点来计算的点( )x n解：将按奇偶分组，令12( )(2 ) 0,1,.,1( )(21) 0,1

9、,.,1x nxnnNx nxnnN12 ( )( )( )w nx njxn构成一个复序列12( )DFT( ) ( )( )( )w nNW kDFT w nX kjXk对进行一次 点运算 得12( )( )1( )( )epopX kWkXkWkjDFTN均为 点( )2DFTX kN而是点?4、复共轭序列*( )()( )()( )NNNNDFT x nXkRkXNkRk1*0( )( )( )NnkNNnDFT x nx n WRk证：*10( )( )NnkNNnx n WRk*()( )NNXkRk*1()0( )( )NN k nNNnx n WRk*()( )NNXNkRk

10、*NNDFT xnRnXk1*0()( )()( )NnkNNNNNnDFT xnRnxnRn W证：*10()NnkNNnxnW*10( )NmkNNmx mW *10NnkNNnxnW*( )Xkmn 令 *10NnkNnx n W5、DFT形式下的Parseval定理11*001( )( )( )( )NNnkx n y nX k YkN*111*0001( )( )( )( )NNNnkNnnkx n y nx nY k WN证： 11*001( )( )NNnkNknYkx n WN1*01( )( )NkX k YkN11*001( )( )( )( )NNnkx n x nX k

11、 XkN1122001( )( )NNnkx nX kN即： ( )( )y nx n令，则6、圆周卷积和1210( )() ( )NNNmx m xnmRn12( )( )( )Y kX kXk假设1120( ) ( )( )() ( )NNNmy nIDFT Y kx m xnmRn那么12( )( )x nx nN设和都是点数为 的有限长序列1212max(,)NNNN NN（若不等，分别为、点，则取，对序列补零使其为 点）11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk12( )( )( )( ) ( )Y kX kXky nIDFS Y k证：由周期卷积和，若，

12、 则 1120( )()Nmx m x nm1120( )( )( )( )() ( )NNNNmy ny n Rnx m xnmRn1120( )()NNNmxmxnm1120( )()NNmx m xnm圆周卷积过程：1补零2周期延拓3翻褶，取主值序列4圆周移位5相乘相加12( )( )x nx nN1120( )( )() ( )NNNmy nx m xnmRn1210( )() ( )NNNmx m xnmRn21( )( )x nx nNN用 表示圆周卷积和1524 ( )(5)( )( )( )x nn R nx nR n例：已知序列，求两个序列的6点圆周卷积和。-3 -2 -10

13、 1 2 3 4 56 75 4 3 2 1 01 1 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 01 1 1 1 11 0 0 1 1 11 01 0 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 1 0 0 11 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1n m1/x n m2/xn m 266xmRn 2661xmRn 2662xmRn 2663xmRn 2664xmRn 2665xmRn26xm 26xm8 10 12 14 10 6 ( )y n同样，利用对称性11201( )() ( )NNNlX l XklRkN12101( )() ( )NNNlXl Xk

14、lRkN12( )( )( )y nx nx n假设10( ) ( )( )NnkNnY kDFT y ny n W那么7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积1122( )01 ( )01x nnNx nnN设：12max,NN N令1112120( )( )*( )( )()Nlmy nx nx nx m x nm2121210( )()( )*( )Nmx m x nmx nx n线性卷积：112120( )( ) ( )( )() ( )NcNNmy nx nx nx m xnmRn121210( )() ( )( ) ( )NNNmx m xnmRnx nx nN点圆周卷积：NN讨论圆周卷

15、积和线性卷积之间的关系：1120( )()( )NNmrx mx nrNm Rn1120( )()( )NNrmx m x nrNm Rn()( )lNry nrN Rn对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；222( )( )()Nrx nxnx nrN对x2(n)周期延拓：1120( )( )() ( )NcNNmy nx m xnmRn圆周卷积：121NNNN即 当圆周卷积长度时， 点圆周卷积能代表线性卷积12( )1ly nNN而的长度为( )( )NclNy ny n点圆周卷积是线性卷积以 为周期的周期延拓序列的主值序列。12-1( )lNNNy nN只有当时，以 为周期进行

16、周期延拓才无混叠现象N1212( ) ( )( )*( )x nx nx nx n1212102NNNnNN小结：线性卷积求解方法时域直接求解 ( )( )* ( )( ) ()my nx nh nx m h nm补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n)= x(n)*h(n)( ) ( )( )( )y nIZT Y zIZT X zH zz z( ) ( )( ) ( )X zZT x nH zZT h nz变换法DFT法8、线性相关与圆周相关*( )( )()xynrmx n y nm*()( )nx nm y n线性相关：*( )( )()xx

17、nrmx n x nm*()( )()xxnx nm x nrm自相关函数：*( )( )()xyyxxyrmrmrm相关函数不满足交换率：*( )( )()yxnrmy n x nm*( ) ()kx k y km*( ) ()kx k y km *( )()kx k y km *()xyrm*( )( )()xynrmx n y nm相关函数的z变换：*1( )( )()xyRzX z Yz( )( )mxyxymRzrm z*( )()mmnx n y nm z *( )()mnmx ny nm z*()( )( )k nnkx ny k z*( )( )nknkx n zy k z*1( )()X z Yz*()()()jjjxyReX eYe2()()jjxxReX e相关函数的频谱：圆周相关定理 ( )( )xyxyrmIDFT Rk则1*0( )()( )NNNnx n ynmRn* ( )( )( )xyRkX kYk若1*0( ) ()( )NNNny n x nmRn*( )